Calcolo combinatorio e Principio Inclusione- esclusione
Buona sera utenti del forum, mi sono appena registrato per una questione riguardante il calcolo combinatorio applicato al Principio di I-E è da un pochino che mi dà problemi per superare un esame all'università e ne vorrei capire la procedura vi scrivo i testo:
Quanti sono i numeri naturali pari di 7 cifre abcdefg tali che a + b =7, a ≤ 5 e 1≤ b≤ 4?
Giustificare la risposta.
successivamente si arriva alla composizione del sistema (che a grandi linee so' costruire viste che sono date dal esercizio.)
$\{(a + b = 7),(1 <= a <= 5),(1 <= b <= 4):}$
Grazie dell'aiuto, mi scuso se esiste già una sezione con uno svolgimento simile, ma è da un pochino che cerco di capire questo tipo di esercizio e non trovo nulla
Quanti sono i numeri naturali pari di 7 cifre abcdefg tali che a + b =7, a ≤ 5 e 1≤ b≤ 4?
Giustificare la risposta.
successivamente si arriva alla composizione del sistema (che a grandi linee so' costruire viste che sono date dal esercizio.)
$\{(a + b = 7),(1 <= a <= 5),(1 <= b <= 4):}$
Grazie dell'aiuto, mi scuso se esiste già una sezione con uno svolgimento simile, ma è da un pochino che cerco di capire questo tipo di esercizio e non trovo nulla
Risposte
Hai le seguenti possibiltà:
a=3 e b=4
a=4 e b=3
a=5 e b=2
In tutti i 3 i casi, l'ultima cifra (settima) deve essere una delle 4 pari rimanenti.
Pertanto:
$3*4*7*6*5*4=10.080$
a=3 e b=4
a=4 e b=3
a=5 e b=2
In tutti i 3 i casi, l'ultima cifra (settima) deve essere una delle 4 pari rimanenti.
Pertanto:
$3*4*7*6*5*4=10.080$
"superpippone":
Hai le seguenti possibiltà:
a=3 e b=4
a=4 e b=3
a=5 e b=2
In tutti i 3 i casi, l'ultima cifra (settima) deve essere una delle 4 pari rimanenti.
Pertanto:
$3*4*7*6*5*4=10.080$
Mi sa' che non riesco bene a dividere i casi, se non è un problema potresti spiegarmi in maniera più specifica come dividere e ricavare la soluzione di questi?
Grazie infinite , so che così vado leggermente fuori tema, ma ti ringrazio tantissimo per l'aiuto
"superpippone":
Hai le seguenti possibiltà:
a=3 e b=4
a=4 e b=3
a=5 e b=2
In tutti i 3 i casi, l'ultima cifra (settima) deve essere una delle 4 pari rimanenti.
Pertanto:
$3*4*7*6*5*4=10.080$
Ho cercato di comprendere da solo la soluzione da te proposta e nell'attesa che tu o altri mi diano un ulteriore spiegazione, ho controllato la soluzione ufficiale e ho notato che le soluzioni dei sistemi e il risultato sono diversi, adesso sono più confuso che persuaso
comunque aspetterò e vi ringrazio per l'aiuto
Ciao.
Le mie conoscenze sono modeste.
Non so cosa sia il principio di inclusione-esclusione.
Però il risultato è quello: 3.
Cioè 3 sono i possibili accoppiamenti delle prime due cifre.
Per la settima cifra possiamo scegliere tra una delle 4 pari rmanenti.
Per la terza possiamo scegliere tra le 7 cifre rimanenti.
Per la quarta, una delle 6 rimanenti.
Per la quinta una delle 5 rimanenti.
per la sesta una della 4 rimanenti.
$3*4*7*6*5*4=10.080$
Ma il risultato del libro, qual è????
Le mie conoscenze sono modeste.
Non so cosa sia il principio di inclusione-esclusione.
Però il risultato è quello: 3.
Cioè 3 sono i possibili accoppiamenti delle prime due cifre.
Per la settima cifra possiamo scegliere tra una delle 4 pari rmanenti.
Per la terza possiamo scegliere tra le 7 cifre rimanenti.
Per la quarta, una delle 6 rimanenti.
Per la quinta una delle 5 rimanenti.
per la sesta una della 4 rimanenti.
$3*4*7*6*5*4=10.080$
Ma il risultato del libro, qual è????
Ciao ti ringrazio ancora per disponibilità,
il risultato-svolgimento è preso dalla soluzione data dal professore dopo la prova:
ed è l'ultima riga dove con gli $#$ indihiamo la cardinalità degli insiemi che il principio di I-E ci porta generare:
1.) In linea di massima al primo svolgimento del principio includiamo tutti gli elementi anche se non rispettano il vincolo posto dal problema, così da creare una "stima in eccesso" della soluzione che viene indicata con $I$
2.) Invece subito dopo l'inclusione dobbiamo svolgere la parte dell'esclusione: dove escludiamo i casi considerati da $I$ che non soddisfano i vincoli ed eliminiamo la sovrastima fatta sopra che denotati con $I'$ dovrebbero indicare gli elementi che non godono di quella certa certa proprietà...
il circolo continua fino a quando non troviamo la cardinalità dell'insieme e si procede con il calcolo combinatorio(da quanto ho capito io).
Il mio cruccio era come partire dal sistema, come svolgerlo, e come arrivare a generare le serie di calcoli combinatori e darne una soluzione, io purtroppo non sono molto ferrato su questo principio, e mi scuso anticipatamente se si capisce poco da quello che ho scritto
il risultato-svolgimento è preso dalla soluzione data dal professore dopo la prova:
ed è l'ultima riga dove con gli $#$ indihiamo la cardinalità degli insiemi che il principio di I-E ci porta generare:
1.) In linea di massima al primo svolgimento del principio includiamo tutti gli elementi anche se non rispettano il vincolo posto dal problema, così da creare una "stima in eccesso" della soluzione che viene indicata con $I$
2.) Invece subito dopo l'inclusione dobbiamo svolgere la parte dell'esclusione: dove escludiamo i casi considerati da $I$ che non soddisfano i vincoli ed eliminiamo la sovrastima fatta sopra che denotati con $I'$ dovrebbero indicare gli elementi che non godono di quella certa certa proprietà...
il circolo continua fino a quando non troviamo la cardinalità dell'insieme e si procede con il calcolo combinatorio(da quanto ho capito io).
Il mio cruccio era come partire dal sistema, come svolgerlo, e come arrivare a generare le serie di calcoli combinatori e darne una soluzione, io purtroppo non sono molto ferrato su questo principio, e mi scuso anticipatamente se si capisce poco da quello che ho scritto
Mi dispiace.
Allora non sono in grado di aiutarti.
Allora non sono in grado di aiutarti.
Ti ringrazio comunque della disponibilità e del tempo passato a rispondermi , se c'è qualcuno che può aiutarmi ne sarei veramente grato
Anche qui sto procedendo con il calcolo coretto tramite pricipio di I-E
e si svolge così:
I.) $ \{(a + b = 7),(a >= 1),( b >= 1):} $ -> I' $ \{(A+B = 5),(A>=0),(B>=0):} $
questo perchè si considerano gli estremi inferiori ,ovvero 7-(1+1)=5
II)$ \{(a + b = 7),(a >= 6),( b >= 1):} $ -> II' $ \{(A+B = 0),(A>=0),(B>=0):} $
perchè si considerano l' estremo sup+1. di a e l'inferiore di b , ovvero 7-(6+1)=0
III) $ \{(a + b = 7),(a >= 1),( b >= 5):} $ -> III' $ \{(A+B = 1),(A>=0),(B>=0):} $
perchè si considerano l' estremo sup+1. di b e l'inferiore di a, ovvero 7-(1+5)=1
IV) $ \{(a + b = 7),(a >= 6),( b >= 5):} $ -> IV' $ \{(A+B = -4),(A>=0),(B>=0):} $
perchè si considerano l' estremo sup+1. di a l' estremo sup+1 di b, ovvero 7-(6+5)=-4
Da quì in poi è solo una questione di calcolo combinatorio e l'unica cortezza che dobbiamo adottare è quella di usare la formula principale dell' I-E
ovvero[size=150] I' -II'-III' + IV'[/size]
(ovviamente in forma di combinazioni con ripetizione dove n è rappresentato da A e B ovvero 2 oggetti mentre i K è dato dal valore effettivo di A+B)
Spero di essere stato utile a chi come me ha lo stesso dubbio, e se ci dovessero essere errori vi prego di coreggerli, grazie mille
e si svolge così:
I.) $ \{(a + b = 7),(a >= 1),( b >= 1):} $ -> I' $ \{(A+B = 5),(A>=0),(B>=0):} $
questo perchè si considerano gli estremi inferiori ,ovvero 7-(1+1)=5
II)$ \{(a + b = 7),(a >= 6),( b >= 1):} $ -> II' $ \{(A+B = 0),(A>=0),(B>=0):} $
perchè si considerano l' estremo sup+1. di a e l'inferiore di b , ovvero 7-(6+1)=0
III) $ \{(a + b = 7),(a >= 1),( b >= 5):} $ -> III' $ \{(A+B = 1),(A>=0),(B>=0):} $
perchè si considerano l' estremo sup+1. di b e l'inferiore di a, ovvero 7-(1+5)=1
IV) $ \{(a + b = 7),(a >= 6),( b >= 5):} $ -> IV' $ \{(A+B = -4),(A>=0),(B>=0):} $
perchè si considerano l' estremo sup+1. di a l' estremo sup+1 di b, ovvero 7-(6+5)=-4
Da quì in poi è solo una questione di calcolo combinatorio e l'unica cortezza che dobbiamo adottare è quella di usare la formula principale dell' I-E
ovvero[size=150] I' -II'-III' + IV'[/size]
(ovviamente in forma di combinazioni con ripetizione dove n è rappresentato da A e B ovvero 2 oggetti mentre i K è dato dal valore effettivo di A+B)
Spero di essere stato utile a chi come me ha lo stesso dubbio, e se ci dovessero essere errori vi prego di coreggerli, grazie mille
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