Calcolo cardinalità insieme numeri naturali
Ciao, volevo chiedere se è corretta l'interpretazione ed il ragionamento di questo esercizio:
Sia $X:={1,2,3,4,5,6,7}$ Si risponda ai seguenti quesiti:
a) Quanti numeri naturali di cinque cifre si possono costruire utilizzando le cifre appartenenti ad $X$ ?
Risposta:
posto:
$n$=numero di cifre appartenenti ad X = 7
$k$=numero di cifre da rappresentare = 5
le possibilità sono $n^k = 7^5 $
b) Quanti numeri naturali di cinque cifre si possono costruire utilizzando esattamente due cifre appartenenti ad $X$ ?
Risposta:
posto:
$n$=numero di cifre appartenenti ad X = 2
$k$=numero di cifre da rappresentare = 5
le possibilità sono $n^k=2^5 $
$
c) Quanti numeri naturali di cinque cifre, aventi almeno tre cifre uguali, si possono costruire utilizzando le cifre appartenenti ad $X$ ?
Risposta:
Non lo so !!
Grazie
Sia $X:={1,2,3,4,5,6,7}$ Si risponda ai seguenti quesiti:
a) Quanti numeri naturali di cinque cifre si possono costruire utilizzando le cifre appartenenti ad $X$ ?
Risposta:
posto:
$n$=numero di cifre appartenenti ad X = 7
$k$=numero di cifre da rappresentare = 5
le possibilità sono $n^k = 7^5 $
b) Quanti numeri naturali di cinque cifre si possono costruire utilizzando esattamente due cifre appartenenti ad $X$ ?
Risposta:
posto:
$n$=numero di cifre appartenenti ad X = 2
$k$=numero di cifre da rappresentare = 5
le possibilità sono $n^k=2^5 $
$
c) Quanti numeri naturali di cinque cifre, aventi almeno tre cifre uguali, si possono costruire utilizzando le cifre appartenenti ad $X$ ?
Risposta:
Non lo so !!
Grazie
Risposte
Penso sia più da probabilità questo topic, se passa un moderatore di algebra probabilmente sposterà lì... comunque il secondo (chiaramente è una questione di interpretazione) penso che sia sbagliato.
Così tu trovi il numero di cifre che puoi formare una volti fissati i tuoi due numeri, ma tu non ce li hai già fissati.. in pratica, prima dovresti scegliere i tue due numeri tra i 7 proposti (binomiale) e solo dopo moltiplicare per $2^5$.
Per il terzo punto, prova a sommare i tre casi: esattamente 3 cifre uguali, esattamente 4 cifre uguali, esattamente 5 cifre uguali... ricordati sempre che per ogni punto devi innanzitutto scegliere la cifra e poi tenere conto anche dell'ordine.
Così tu trovi il numero di cifre che puoi formare una volti fissati i tuoi due numeri, ma tu non ce li hai già fissati.. in pratica, prima dovresti scegliere i tue due numeri tra i 7 proposti (binomiale) e solo dopo moltiplicare per $2^5$.
Per il terzo punto, prova a sommare i tre casi: esattamente 3 cifre uguali, esattamente 4 cifre uguali, esattamente 5 cifre uguali... ricordati sempre che per ogni punto devi innanzitutto scegliere la cifra e poi tenere conto anche dell'ordine.
Il primo punto è esatto!
Sul 3° punto concordo con Gatto.
Il 2° punto è un po' più delicato.
Se infatti fisso 2 cifre (ad esempio 1,2) e trovo i $2^5$ numeri che posso formare avrò anche il numero 11111
Se ne fisso altre 2 di cifre (ad esempio1,3) trovo ancora anche il numero 11111.
Perciò se moltiplico $2^5$ per il coefficiente binomiale trovo in realtà più numeri di quanti ne posso realmente fare!
Se vogliamo quindi usare il metodo del coefficiente binomiale da moltiplicare per $2^5$ dobbiamo poi togliere i numeri (11111, 22222,.....) che si ripetono.
Dobbiamo quindi contare quante ripetizioni di questi numeri abbiamo.
Ora, dato che ogni cifra di X viene abbinata con qualsiasi altra cifra di X, avremo che ognuno di questi numeri (11111, 22222,.....) si ripete 6 volte e quindi, di ognuno, ne vanno tolti 5.
Perciò in totale dobbiamo togliere $7*5=35$ possibilità a quelle che otteniamo col calcolo che ha spiegato Gatto
Sul 3° punto concordo con Gatto.
Il 2° punto è un po' più delicato.
Se infatti fisso 2 cifre (ad esempio 1,2) e trovo i $2^5$ numeri che posso formare avrò anche il numero 11111
Se ne fisso altre 2 di cifre (ad esempio1,3) trovo ancora anche il numero 11111.
Perciò se moltiplico $2^5$ per il coefficiente binomiale trovo in realtà più numeri di quanti ne posso realmente fare!
Se vogliamo quindi usare il metodo del coefficiente binomiale da moltiplicare per $2^5$ dobbiamo poi togliere i numeri (11111, 22222,.....) che si ripetono.
Dobbiamo quindi contare quante ripetizioni di questi numeri abbiamo.
Ora, dato che ogni cifra di X viene abbinata con qualsiasi altra cifra di X, avremo che ognuno di questi numeri (11111, 22222,.....) si ripete 6 volte e quindi, di ognuno, ne vanno tolti 5.
Perciò in totale dobbiamo togliere $7*5=35$ possibilità a quelle che otteniamo col calcolo che ha spiegato Gatto
"misanino":
Perciò in totale dobbiamo togliere $7*5=35$ possibilità a quelle che otteniamo col calcolo che ha spiegato Gatto
In linea generale mi ci trovo con il tuo ragionamento,
ma ci sta un piccolo particolare che rende inesatto il tuo calcolo.
Quale ?
Non lo so. Se no me ne accorgevo subito 
Scrivilo così giampfrank risolve il suo esercizio, no?
Scrivilo così giampfrank risolve il suo esercizio, no?
Si trattava di una caXXatina... 
Aspettiamo Gianfrank, vediamo se lo scopre.
Aspettiamo Gianfrank, vediamo se lo scopre.
"Umby":
[quote="misanino"]
Perciò in totale dobbiamo togliere $7*5=35$ possibilità a quelle che otteniamo col calcolo che ha spiegato Gatto
In linea generale mi ci trovo con il tuo ragionamento,
ma ci sta un piccolo particolare che rende inesatto il tuo calcolo.
Quale ?[/quote]
Per Umby:
Qual'è la parte del mio ragionamento che ritieni sbagliata?
il secondo punto dovrebbe essere a posto con un piccolo accorgimento: $((7),(2))*(2^5-2)$.
per il terzo punto io ho ottenuto (ma non so se ho sbagliato qualche conto) $2737$: viene anche a voi?
per il terzo punto io ho ottenuto (ma non so se ho sbagliato qualche conto) $2737$: viene anche a voi?
"adaBTTLS":
il secondo punto dovrebbe essere a posto con un piccolo accorgimento: $((7),(2))*(2^5-2)$.
perchè non $((7),(2))*(2^5)-35$?
"misanino":
[quote="adaBTTLS"]il secondo punto dovrebbe essere a posto con un piccolo accorgimento: $((7),(2))*(2^5-2)$.
perchè non $((7),(2))*(2^5)-35$?[/quote]
Hai individuato che le disposizioni del tipo XXXXX si ripetono per ben 6 volte, ma poi ne togli 5, lasciandone quindi 1.
Considerato che il testo chiede di usare "esattamente due cifre", andrebbero eliminate tutte. Quindi $6*7=42$
Molto piu' lineare il calcolo di Ada, che elimina a monte le due combinazioni di (XXXXX e YYYYY) dalle 32.
"adaBTTLS":
per il terzo punto io ho ottenuto (ma non so se ho sbagliato qualche conto) $2737$: viene anche a voi?
immagino come sommatoria di $2520+210+7$
"Umby":
Hai individuato che le disposizioni del tipo XXXXX si ripetono per ben 6 volte, ma poi ne togli 5, lasciandone quindi 1.
Considerato che il testo chiede di usare "esattamente due cifre", andrebbero eliminate tutte.
Esattamente 2 cifre!!!!!
Non avevo letto bene.
Pensavo dicesse di utilizzare non più di 2 cifre!!
Allora d'accordissimo.
Ne devo togliere $7*6=42$
e quindi il mio risultato coincide esattamente con quello di Ada.
Perfetto.
Thanks
ormai sul punto 2 penso sia chiarito. grazie ad Umby per aver risposto al posto mio a misanino.
per il 3 la mia sommatoria è diversa: $7+630+2100$.
per il 3 la mia sommatoria è diversa: $7+630+2100$.
"adaBTTLS":
ormai sul punto 2 penso sia chiarito. grazie ad Umby per aver risposto al posto mio a misanino.
Figurati... Ero io che dovevo da tempo rispondere a misanino, aspettavo l'autore del post. Non capisco: molti utenti scrivono e poi non si fanno manco piu vedere...
"adaBTTLS":
per il 3 la mia sommatoria è diversa: $7+630+2100$.
mi costringi a farmi fare di nuovo i calcoli...
Per almeno "tre cifre uguali" prendo tutti i numeri di 5 cifre che hanno:
A) 3 cifre uguali + altre 2 che devono essere diverse dalle prime 3, ma che potrebbero essere anche uguali tra loro
B) 4 cifre uguali + la quinta diversa
C) 5 cifre uguali
Calcolo:
C) --> 7
B) --> XXXXY (La X può essere scelta in 7 modi diversi, la Y in 6, inoltre la Y può essere posizionata in una delle 5 posizioni). $7*6*5 = 210$
A) --> XXXYY (La X può essere scelta in 7 modi, entrambe Y in 6 modi [in questo modo ottengo anche le combinazioni tipo 11155]. Le 2 Y possono essere disposte in 10 modi $((5),(2))$. Quindi $7*6*6*10=2520$
Te, invece ?
A) 3 cifre uguali + altre 2 che devono essere diverse dalle prime 3, ma che potrebbero essere anche uguali tra loro
B) 4 cifre uguali + la quinta diversa
C) 5 cifre uguali
Calcolo:
C) --> 7
B) --> XXXXY (La X può essere scelta in 7 modi diversi, la Y in 6, inoltre la Y può essere posizionata in una delle 5 posizioni). $7*6*5 = 210$
A) --> XXXYY (La X può essere scelta in 7 modi, entrambe Y in 6 modi [in questo modo ottengo anche le combinazioni tipo 11155]. Le 2 Y possono essere disposte in 10 modi $((5),(2))$. Quindi $7*6*6*10=2520$
Te, invece ?
la mia suddivisione è sull'uso di 1,2,3 cifre diverse.
1. una cifra: solo cinque cifre uguali. un solo modo, 7 possibilità avendo 7 "elementi dell'alfabeto".
2. due cifre: è possibile 4 cifre di un modo e l'altra diversa, oppure 3 cifre di un modo e 2 di un altro. allora $2*((7),(2))*[((5),(1))+((5),(2))]=42*15=630$
3. tre cifre: è possibile solo 3 cifre in un modo ed altre due cifre diverse. allora $((7),(3))*((5),(3))*2*3$ ovvero $7*6*5*((5),(2))$, cioè comunque $2100$
1. una cifra: solo cinque cifre uguali. un solo modo, 7 possibilità avendo 7 "elementi dell'alfabeto".
2. due cifre: è possibile 4 cifre di un modo e l'altra diversa, oppure 3 cifre di un modo e 2 di un altro. allora $2*((7),(2))*[((5),(1))+((5),(2))]=42*15=630$
3. tre cifre: è possibile solo 3 cifre in un modo ed altre due cifre diverse. allora $((7),(3))*((5),(3))*2*3$ ovvero $7*6*5*((5),(2))$, cioè comunque $2100$
"Umby":
Figurati... Ero io che dovevo da tempo rispondere a misanino, aspettavo l'autore del post. Non capisco: molti utenti scrivono e poi non si fanno manco piu vedere...
Grazie per la risposta Umby.
E ti dò ragione in pieno.
Come si fa a postare esercizi e poi a sparire??
Boh...
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