Calcolare speranza matem. da una funzione di ripartizione

[Tirrel]

Ciao a tutti, sto cercando un aiuto perché ho ENORMI problemi con la Statistica e la Probabilità
Il mio attuale problema è questo:

Ho la funzione

$f(x)={(x, if x∈(0,1]),(2-x, if x∈[1,2)),(0, text{altrimenti}):}$

Da cui ho calcolato la funzione di densità

$F(x)={(0, if x<=0), (x^2 /2, text{ if x∈ (0,1]}),(2x -x^2/2 -1, text{ if x∈(1,2]}),(1, if x∈ (2, +$oo))


Ora come faccio a calcolare la Speranza matematica (o valore atteso)?

Perché so che per calcolare la EX devo fare l'integrale nell'intervallo (+$oo, -$oo) tra la probabilità di un evento e il suo valore, quindi credo che dovrei fare la somma di diversi integrali.
Quindi dentro questi integrali parziali dovrei mettere, la mia FdR moltiplicata per cosa?

E la Varianza?
E perché non riesco ad andare a capo quando scrivo queste formule?

[walter891]

attenzione che secondo i tuoi calcoli la densità è $f(x)$ mentre $F(x)$ è la funzione di ripartizione
la media si può calcolare direttamente partendo dalla densità facendo $int_(-infty)^(+infty)xf(x)dx$

[Tirrel]

Si, scusa ho invertito

Quindi è corretto fare:

EX= \( \int_0^1 x\ \text{d} x \) + \( \int_1^2 2-x\ \text{d} x \)

+ gli integrali di 0 nell'intervallo (-$oo$, 0) e nell'intervallo (2, +$oo$)

?

[walter891]

non esattamente, devi anche moltiplicare per $x$ i vari pezzi della funzione $EX=int_0^1x*xdx+int_1^2x(2-x)dx$

[Tirrel]

Ok, mi risulta EX=1
Ora, per trovare la Varianza devo usare la formula:

$Var(x)=$ $\int (x -EX)^2 *f(x)\ \text{d} x $

cioè:

$Var(x)=$ $\int_0^1 (x -1)^2 x\ \text{d} x $ + $\int_1^2 (x -1)^2 (2-x)\ \text{d} x $

Sbaglio?