Calcolare questo limite

[frapippo1]

Propongo un esercizio che già ho postato nella sezione di Analisi Matematica (limite-di-somme-parziali-t86120.html), perché ero interessato a conoscere una dimostrazione che si basasse non su metodi probabilistici.

Dimostrare che:

$lim_(n->infty)sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!}=1/2$

Hint: teorema del limite centrale.

[DajeForte]

Considera $X_n$ una successione di Poisson i.i.d. di parametro 1, dunque $Y_n=X_1+...+X_n$ è una Poisson di parametro n.
Il termine n-esimo della serie è $P(Y_n<=n)\ =\ P((1/nY_n-1)/(1/sqrt(n))<=0)$ che converge a $1/2$ per il TLC.

Edit: "Il termine n-esimo della serie" questo sta per "il termine della somma parziale fino ad n".

[frapippo1]

che dire.. Bravissimo!

Hai visto la dimostrazione "matematica"? Decisamente più complicata rispetto a quella "probabilistica"..

[DajeForte]

"frapippo":che dire.. Bravissimo!

Grazie

"frapippo":Hai visto la dimostrazione "matematica"? Decisamente più complicata rispetto a quella "probabilistica"..

Si, decisamente più difficele, però carino quel teorema di Laplace...andrò a dare un'occhiata.

Ciao.

[Andrea2976]

E' un bel controesempio al teorema di Prohorov.

[DMNQ]

"DajeForte":Considera $X_n$ una successione di Poisson i.i.d. di parametro 1, dunque $Y_n=X_1+...+X_n$ è una Poisson di parametro n.
Il termine n-esimo della serie è $P(Y_n<=n)\ =\ P((1/nY_n-1)/(1/sqrt(n))<=0)$ che converge a $1/2$ per il TLC.

Edit: "Il termine n-esimo della serie" questo sta per "il termine della somma parziale fino ad n".

Bellissima , questa dimostrazione !

So che $ \lim_{ n-> +infty } \sum_{k=0}^{n} e^(-\alpha *n) \frac{( n \alpha )^k}{ k!} = 1 $ se $ 0 < \alpha < 1 $
e vado a cercare una giustificazione probabilista .
La stessa dimostrazione funziona senza dubbio se prendo $ X_k $ una Poisson di parametro $ n \alpha $ .
Arrivo a
$ \sum_{k=0}^{n} e^(-\alpha *n) \frac{( n \alpha )^k}{ k!} = \ P((1/( n \alpha ) Y_n-1)/(1/sqrt(n \alpha))<= sqrt( n)*(1-\alpha)/(sqrt(\alpha)) ) $ ma dopo non sono sicuro ....