Arrivi di Poisson
Salve a tutti,
sia dato il seguente problema: "Su un tratto stradale a singola corsia di lunghezza pari a 2 km sono presenti 100 autovetture. Alla velocità consigliata su questa strada la distanza di sicurezza tra due autovetture è 10 metri.
Qual è la probabilità che la distanza di sicurezza non venga rispettata?"
Ho capito che si deve usare la probabilità degli arrivi di Poisson, se non altro perché l'ho interpretato come un evento raro (se sono 100 macchine su 2 km la distanza media dovrebbe essere 20 metri) che si verifica su un numero relativamente alto di prove, ciò quindi soddisferebbe le ipotesi di Poisson.
In ogni caso non ho chiaro come approcciarmi al problema. Segue la soluzione proposta dal libro: "Se su 2 km sono presenti 100 autovetture la distanza media tra due di esse è 20 metri. Affinché la distanza di sicurezza venga rispettata un tratto di strada pari a 10 metri prima e dopo ogni macchina deve essere libero, ovvero su un tratto di 20 metri deve essere presente al più una macchina. (E fino a qui nessun problema). Poiché su un tratto di 20 metri il numero medio di auto è $100 20/200 = 1 $ la probabilità che la distanza di sicurezza non venga rispettata è:
1 - P[0 auto] - P[1 auto] = $1 - e^(-1) - e^(-1) ~= 26.4%$ "
Da dove viene l'ultima formula? Perché ha questa struttura? Come ha definito i parametri affinché dalla formula generale di Poisson ( $ p = exp(-n (t/T)*(n(t/T))^k)/(k!) $ con t intervallo di tempo << T) si arrivi a quella di cui sopra?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.
sia dato il seguente problema: "Su un tratto stradale a singola corsia di lunghezza pari a 2 km sono presenti 100 autovetture. Alla velocità consigliata su questa strada la distanza di sicurezza tra due autovetture è 10 metri.
Qual è la probabilità che la distanza di sicurezza non venga rispettata?"
Ho capito che si deve usare la probabilità degli arrivi di Poisson, se non altro perché l'ho interpretato come un evento raro (se sono 100 macchine su 2 km la distanza media dovrebbe essere 20 metri) che si verifica su un numero relativamente alto di prove, ciò quindi soddisferebbe le ipotesi di Poisson.
In ogni caso non ho chiaro come approcciarmi al problema. Segue la soluzione proposta dal libro: "Se su 2 km sono presenti 100 autovetture la distanza media tra due di esse è 20 metri. Affinché la distanza di sicurezza venga rispettata un tratto di strada pari a 10 metri prima e dopo ogni macchina deve essere libero, ovvero su un tratto di 20 metri deve essere presente al più una macchina. (E fino a qui nessun problema). Poiché su un tratto di 20 metri il numero medio di auto è $100 20/200 = 1 $ la probabilità che la distanza di sicurezza non venga rispettata è:
1 - P[0 auto] - P[1 auto] = $1 - e^(-1) - e^(-1) ~= 26.4%$ "
Da dove viene l'ultima formula? Perché ha questa struttura? Come ha definito i parametri affinché dalla formula generale di Poisson ( $ p = exp(-n (t/T)*(n(t/T))^k)/(k!) $ con t intervallo di tempo << T) si arrivi a quella di cui sopra?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.
Risposte
La pdf di poisson è questa
$ p (X=x)=(e^(-lambda) lambda^x)/(x!) $
$ x=0,1,2,.... $
Se hai capito che $ lambda=(100)/(2000)\cdot20=1$
per risolvere il problema basta applicare la formula $1-p (0)-p (1) $ che rappresenta la probabilità complementare a quella di avere al più un'auto in 20 m.
La pdf che hai scritto tu ha una parentesi sbagliata
$ p (X=x)=(e^(-lambda) lambda^x)/(x!) $
$ x=0,1,2,.... $
Se hai capito che $ lambda=(100)/(2000)\cdot20=1$
per risolvere il problema basta applicare la formula $1-p (0)-p (1) $ che rappresenta la probabilità complementare a quella di avere al più un'auto in 20 m.
La pdf che hai scritto tu ha una parentesi sbagliata
Innanzitutto grazie per la risposta, volevo poi chiederti se potessi chiarirmi meglio il significato di lambda, non ho ben capito cosa rappresenti come valore, mi è chiaro che è l'unico parametro della funzione di Poisson, ma non come ricavarmelo.
Per quanto riguarda l'equazione, sì, avevo sbagliato ad interpretarla leggendo la formula sul libro.
Grazie ancora.
Per quanto riguarda l'equazione, sì, avevo sbagliato ad interpretarla leggendo la formula sul libro.
Grazie ancora.
Lambda rappresenta la media degli arrivi. Nel tuo esempio si hanno 100 auto in 2000 metri, ovvero 0,05 auto al metro. Per la risoluzione del problema siamo interessati a calcolare la probabilità che vi siano k auto ogni 20 metri e quindi il parametro "media" delle auto deve essere anch'esso riferito all'unità di 20 metri -> $ lambda=1$
Ora se vuoi calcolare la probabilità che in 20 metri ci siano k auto sarà $ e^(-1)/(k!) $
Affinché la distanza di almeno 10 m fra un'auto e la successiva sia rispettata è necessario che in 20 metri ci siano zero oppure 1 auto -> $ p=e^(-1)/(0!)+e^(-1)/(1!) $
La probabilità complementare, ovvero la soluzione richiesta, è $(1-p) $
Spero di essere stato chiaro
Ora se vuoi calcolare la probabilità che in 20 metri ci siano k auto sarà $ e^(-1)/(k!) $
Affinché la distanza di almeno 10 m fra un'auto e la successiva sia rispettata è necessario che in 20 metri ci siano zero oppure 1 auto -> $ p=e^(-1)/(0!)+e^(-1)/(1!) $
La probabilità complementare, ovvero la soluzione richiesta, è $(1-p) $
Spero di essere stato chiaro
Perdonami, fatico ancora ad entrare nel meccanismo. Il ragionamento mi sembra molto pulito e lineare, ma non capisco l'ipotesi a priori "Per la risoluzione del problema siamo interessati a calcolare la probabilità che vi siano k auto ogni 20 metri e quindi il parametro "media" delle auto deve essere anch'esso riferito all'unità di 20 metri -> λ=1". In particolare mi chiedo:
1. Ma le k auto ogni 20 metri non sono $ k-= 1 $ ? Cioè non dovrei avere una e una sola macchina ogni 20 metri?
2. "quindi il parametro "media" delle auto deve essere anch'esso riferito all'unità di 20 metri" non ho capito che intendi, o meglio, ok immagino tu abbia moltiplicato il numero di macchine per metro (0.05, ovvero il parametro media) per il numero di metri d'interesse (quindi 20), ma perché? se m'interessa che ci sia una macchina ogni 20 metri perché moltiplicare la media per 20? E soprattutto come si relaziona quest'operazione con il fatto di riferire il parametro al cambio di unità?
Mi spiace essere così seccante, ma proprio non riesco ad entrare in questo tipo di ragionamento. Grazie di nuovo.
1. Ma le k auto ogni 20 metri non sono $ k-= 1 $ ? Cioè non dovrei avere una e una sola macchina ogni 20 metri?
2. "quindi il parametro "media" delle auto deve essere anch'esso riferito all'unità di 20 metri" non ho capito che intendi, o meglio, ok immagino tu abbia moltiplicato il numero di macchine per metro (0.05, ovvero il parametro media) per il numero di metri d'interesse (quindi 20), ma perché? se m'interessa che ci sia una macchina ogni 20 metri perché moltiplicare la media per 20? E soprattutto come si relaziona quest'operazione con il fatto di riferire il parametro al cambio di unità?
Mi spiace essere così seccante, ma proprio non riesco ad entrare in questo tipo di ragionamento. Grazie di nuovo.
secondo me basta che fai un po' di esercizi per entrare nella giusta mentalità. Questo è già abbastanza articolato.
Innanzitutto nota che, affinché la distanza di almeno 10 metri sia rispettata, può accadere che in 20 m ci sia una ma anche zero auto.....di qui l'unione dei due eventi $p(0)$ e $p(1)$
per quanto riguarda il calcolo della media riferita a 20m si può fare grazie alla proprietà di riproduttività delle poisson indipendenti secondo cui la somma di n poisson indipendenti di parametro $lambda$ è ancora una poisson di parametro $nlambda$ .
Di conseguenza possiamo dire che $lambda=1$, se riferito a 20 metri....
Ora se io so qual è il numero medio di auto ogni 20 metri posso, tramite la legge di poisson, calcolarmi la probabilità che il numero di auto in 20 metri (arrivi poissoniani) sia $0,1,2...$
Innanzitutto nota che, affinché la distanza di almeno 10 metri sia rispettata, può accadere che in 20 m ci sia una ma anche zero auto.....di qui l'unione dei due eventi $p(0)$ e $p(1)$
per quanto riguarda il calcolo della media riferita a 20m si può fare grazie alla proprietà di riproduttività delle poisson indipendenti secondo cui la somma di n poisson indipendenti di parametro $lambda$ è ancora una poisson di parametro $nlambda$ .
Di conseguenza possiamo dire che $lambda=1$, se riferito a 20 metri....
Ora se io so qual è il numero medio di auto ogni 20 metri posso, tramite la legge di poisson, calcolarmi la probabilità che il numero di auto in 20 metri (arrivi poissoniani) sia $0,1,2...$
Ok, sì, mi torna!
Credo di aver capito, grazie
Credo di aver capito, grazie
