Argomenti trattati nell'esercizio dato.
Save a tutti,
cortesemente vorrei ricevere una gentilezza.
Ho il seguente esercizio, sto studiano un sacco di pagine di teoria, ho già studiato combinatoria e probabilità e qualcosina di statistica inferenziale, ma, senza venire a capo nella risoluzione della tipologia di esercizi che mi servono proprio per il superamento dell'esame.
Potreste per cortesia dirmi, senza per forza risolvere l'esercizio, quali argomenti sono trattati, così almeno riesco a capire cosa studiare in modo più approfondito? Quali argomenti devo conoscere per stimare p? Sto letteralmente impazzendo!
Vi chiedo solamente questa cortesia, grazie mille per la vostra pazienza! Ecco l'esercizio:
Siano \(\displaystyle X_1 \sim B(p) \) e \(\displaystyle X_2 \sim B \left ( \frac{1}{2} \right ) \) indipendenti e sia \(\displaystyle X = X_2\left( 1 + X_1 \right) \).
Sia inoltre \(\displaystyle \left \{ 0,0,1,2,2,1,1,1,0 \right \} \) un campione associato a \(\displaystyle X \). Stimare \(\displaystyle p \).
cortesemente vorrei ricevere una gentilezza.
Ho il seguente esercizio, sto studiano un sacco di pagine di teoria, ho già studiato combinatoria e probabilità e qualcosina di statistica inferenziale, ma, senza venire a capo nella risoluzione della tipologia di esercizi che mi servono proprio per il superamento dell'esame.
Potreste per cortesia dirmi, senza per forza risolvere l'esercizio, quali argomenti sono trattati, così almeno riesco a capire cosa studiare in modo più approfondito? Quali argomenti devo conoscere per stimare p? Sto letteralmente impazzendo!
Vi chiedo solamente questa cortesia, grazie mille per la vostra pazienza! Ecco l'esercizio:
Siano \(\displaystyle X_1 \sim B(p) \) e \(\displaystyle X_2 \sim B \left ( \frac{1}{2} \right ) \) indipendenti e sia \(\displaystyle X = X_2\left( 1 + X_1 \right) \).
Sia inoltre \(\displaystyle \left \{ 0,0,1,2,2,1,1,1,0 \right \} \) un campione associato a \(\displaystyle X \). Stimare \(\displaystyle p \).
Risposte
Notiamo che $ p_x(x)={ ( 1/2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \per \ \x=0),( 1/2(1-p) \ \ \ \ per \ x=1 ),( 1/2p \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ per \ x=2):} $
Poiché X1 e X2 assumono il valore 0 o il valore 1 X vale 0 se e solo se X2 vale 0, vale 1 se e solose X1 vale 0 e X2 vale uno, vale 2 se e sole se X2 vale 1 e X1 vale 1, sfruttando l'ipotesi di indipendenza puoi custruire la v.c. categorica con le le probabilità di tutti i valori.
La probabilità che estraendo un campione casuale di dimensione n si verifichi $ Y=(y_1,y_2,... ,y_n) $ è:
$ P(Y)=p_x(y_1)p_x(y_2)...p_x(x_n) $ , è una conseguenza del fatto che le variabili del campione sono indipendenti e distribuite come la variabile casuale X che costituisce la popolazione generatrice.
Definiamo con $ x_1 $ come il numero di componenti del campione uguali a 0, $ x_2 $ il numero di 1.
Raccogliendo i termini la probabilità del campione diventa:
$ P(Y)=p_x(0)^(x_1)p(1)^(x_2)p(2)^(n-x_1-x_2) $
$ P(Y|p)=(1/2)^(x_1)[1/2(1-p)]^(x_2)(1/2p)^(n-x1-x2) $
Lo stima di massima verosimiglianza di p è il valore che rende massima questa probabilità.
Facciamo la derivata logaritmica e otteniamo:
$ l'(p|Y)=-x_1/(1-p)+(n-x_1-x_2)/p $
Questa quantità è uguale a 0 per $ p=(n-x_1-x_2)/(n-x_1) $ che quindi è lo stimatore di massima verosimiglianza di p.
Ricapitolando l'esercizio richiedeva di (1) aver chiara la distribuzione di probabilità di una v. c. bernoulliana e da questa capire logicamente come scrivere la funzione di probabilità di X, (2) aver chiaro il concetto che le variabili casuali che descrivono un campione sono IDD, indipendenti e identicamente distribuite e con questi concetti ricavare la funzione di probabilità del campione e (3) conoscere il metodo della stima di massima verosimiglianza per le popolazioni descritte da modelli che dipendono da parametri, in questo caso il solo p.
Sto assumendo che l'esercizio richieda di stimare p con lo stimatore di massima verosimiglianza, fammi sapere se il tuo prof/libro non l'hanno ancora introdotto, potrebbe fare riferimento a altri metodi.
Poiché X1 e X2 assumono il valore 0 o il valore 1 X vale 0 se e solo se X2 vale 0, vale 1 se e solose X1 vale 0 e X2 vale uno, vale 2 se e sole se X2 vale 1 e X1 vale 1, sfruttando l'ipotesi di indipendenza puoi custruire la v.c. categorica con le le probabilità di tutti i valori.
La probabilità che estraendo un campione casuale di dimensione n si verifichi $ Y=(y_1,y_2,... ,y_n) $ è:
$ P(Y)=p_x(y_1)p_x(y_2)...p_x(x_n) $ , è una conseguenza del fatto che le variabili del campione sono indipendenti e distribuite come la variabile casuale X che costituisce la popolazione generatrice.
Definiamo con $ x_1 $ come il numero di componenti del campione uguali a 0, $ x_2 $ il numero di 1.
Raccogliendo i termini la probabilità del campione diventa:
$ P(Y)=p_x(0)^(x_1)p(1)^(x_2)p(2)^(n-x_1-x_2) $
$ P(Y|p)=(1/2)^(x_1)[1/2(1-p)]^(x_2)(1/2p)^(n-x1-x2) $
Lo stima di massima verosimiglianza di p è il valore che rende massima questa probabilità.
Facciamo la derivata logaritmica e otteniamo:
$ l'(p|Y)=-x_1/(1-p)+(n-x_1-x_2)/p $
Questa quantità è uguale a 0 per $ p=(n-x_1-x_2)/(n-x_1) $ che quindi è lo stimatore di massima verosimiglianza di p.
Ricapitolando l'esercizio richiedeva di (1) aver chiara la distribuzione di probabilità di una v. c. bernoulliana e da questa capire logicamente come scrivere la funzione di probabilità di X, (2) aver chiaro il concetto che le variabili casuali che descrivono un campione sono IDD, indipendenti e identicamente distribuite e con questi concetti ricavare la funzione di probabilità del campione e (3) conoscere il metodo della stima di massima verosimiglianza per le popolazioni descritte da modelli che dipendono da parametri, in questo caso il solo p.
Sto assumendo che l'esercizio richieda di stimare p con lo stimatore di massima verosimiglianza, fammi sapere se il tuo prof/libro non l'hanno ancora introdotto, potrebbe fare riferimento a altri metodi.
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