Approsimazione normale

[Blackienbad]

Esercizio A.1.38. Si sa che una v-a X ha varianza σ^2 = 3; si eseguono n = 243 misure di X e se ne calcola la media Xn. Facendo uso dell’approssimazione normale, calcolare la probabilità $P{|Xn − µ| > 1/6}$ che il valore assoluto della differenza fra Xn e il suo valore d’attesa µ superi 1/6
Risposta: $P{|Xn − µ| > 1/6}≃ 0.134$

Io utilizzando la formula $(bar(X)-mu)/sigma sqrt(n)=(bar(X)-mu)/sqrt(3) sqrt(243)=9.16(bar(X)-mu)$ ho ottenuto $P{|Z| > 1.52}$, facendo invecela formula completa $(1.8967-1.73)/sqrt(3) sqrt(243)$ ho ottenuto il risultato $1.52*phi(1.52)=1.422$ che è completamente sbagliato, potreste aiutarmi?

[Lo_zio_Tom]

se fai bene i conti ottieni

$mathbb{P}{|bar(X)_243-mu|>1/6}=mathbb{P}{|Z|>sqrt(243)/(6*sqrt(3))}=mathbb{P}{|Z|>1.5}=1-[Phi(1.5)-Phi(-1.5)]=1-(0.933-0.067)=0.134$

@Black&Bad: benvenuto nella community, sono contento che ogni tanto qualche noiscritto posti messaggi ben scritti.

[Blackienbad]

"tommik":se fai bene i conti ottieni

$mathbb{P}{|bar(X_(n))-mu|>1/6}=mathbb{P}{|Z|>sqrt(243)/(6*sqrt(3))}=mathbb{P}{|Z|>1.5}=1-[Phi(1.5)-Phi(-1.5)}]=1-(0.933-0.067)=0.134$

Scusami ma non riesco a capire perchè 1-[Phi(1.5)-Phi(-1.5)], sempre su questo forum in un altro esercizio ho trovato una soluzione che prevedeva il per questo è il link https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=8383862 desti tu la risposta, potresti aiutarmi nel capire quando usare il per, quando no e perchè usare due phi?

[Lo_zio_Tom]

ci sono vari modi di procedere del tutto equivalenti...non è che ogni volta mi ricordo come ho fatto anni prima.. di volta in volta ragiono, e così dovresti fare tu.

ti chiede, dopo aver standardizzato, fatto i conti ecc ecc, con $k$ positivo, di determinare $P(|Z|>k)$

puoi fare così[nota]per semplicità di notazione non uso le disuguaglianze forti / deboli come dovrei, tanto la distribuzione è continua e quindi a misura nulla in ogni punto...[/nota]

$P(|Z|>k)=1-P(|Z|
$=1-(0.933-0.067)=0.134$

ma anche così: sai che la distribuzione Z e simmetrica rispetto a zero e quindi

$P(|Z|>k)=P(Z<-k)+P(Z>k)=2P(Z<-k)=2Phi(-k)=" nel tuo esempio "=2*0.067=0.134$

[Blackienbad]

Grazie mille per le risposte