Approsimazione della normale
Ciao a tutti...
Un esercizio dice: ho una moneta equa. Qual è la $ p $ di fare esattamente 300 volte TESTA su 600 lanci? Calcolarla con l'approssimazione della normale.
Applico la correzione di continuità e svolgo tutti i calcoli, ma ottengo come risultato finale una $ p=0 $ .
Non credo sia possibile...
Un esercizio dice: ho una moneta equa. Qual è la $ p $ di fare esattamente 300 volte TESTA su 600 lanci? Calcolarla con l'approssimazione della normale.
Applico la correzione di continuità e svolgo tutti i calcoli, ma ottengo come risultato finale una $ p=0 $ .
Non credo sia possibile...
Risposte
Infatti esce $0.0319$, sia con la Normale che con la Binomiale.
Posta il tuo procedimento, così vediamo dove hai sbagliato
Posta il tuo procedimento, così vediamo dove hai sbagliato
Eccolo:
$ P(300-1/2<=x<=300+1/2)$
$ =P(299.5<=x<=300.5) $
$ u=n*p= 600*1/2=300 $
$ sigma^2=n*p*(1-p)=600*1/2*1/2=150 $
per $ X=299.5 $ ho $ Z'=(299.5 -300)/sqrt(150) = -0.041 $
per $ X=300.5 $ ho $ Z'=(300.5 -300)/sqrt(150) = 0.041 $
Infine, dalle tavole:
$ P(-0.041<=Z<=0.041) = $
$=P(Z<0.041)-[1-P(Z<-0.041)]=$
$=0.51595-1+0.48405=0 $
Grazie...
$ P(300-1/2<=x<=300+1/2)$
$ =P(299.5<=x<=300.5) $
$ u=n*p= 600*1/2=300 $
$ sigma^2=n*p*(1-p)=600*1/2*1/2=150 $
per $ X=299.5 $ ho $ Z'=(299.5 -300)/sqrt(150) = -0.041 $
per $ X=300.5 $ ho $ Z'=(300.5 -300)/sqrt(150) = 0.041 $
Infine, dalle tavole:
$ P(-0.041<=Z<=0.041) = $
$=P(Z<0.041)-[1-P(Z<-0.041)]=$
$=0.51595-1+0.48405=0 $
Grazie...
Direi che ha ragione trappolina la prob. approssimata deve venire zero.
Non ho visto bene il suo ragionamento ma per me fare l'approssimazione normale significa
parametrizzare quest'ultima, in base alla distrib. di partenza, e fare i conti.
Bé allora l'approssimazione nel caso in analisi non ha senso perché un'integrale calcolato in un punto è sempre
nullo a prescindere dal punto. Si acquista senso se si cerca la massa di prob. in una regione
dell'asse reale.
Per Arado 90, non so come hai fatto i conti, ma
d'altra parte anche ragionando in modo differente se facciamo un'approssimazione
con qualsiasi strumento, il risultato non dovrebbe essere uguale al risultato esatto
Non ho visto bene il suo ragionamento ma per me fare l'approssimazione normale significa
parametrizzare quest'ultima, in base alla distrib. di partenza, e fare i conti.
Bé allora l'approssimazione nel caso in analisi non ha senso perché un'integrale calcolato in un punto è sempre
nullo a prescindere dal punto. Si acquista senso se si cerca la massa di prob. in una regione
dell'asse reale.
Per Arado 90, non so come hai fatto i conti, ma
d'altra parte anche ragionando in modo differente se facciamo un'approssimazione
con qualsiasi strumento, il risultato non dovrebbe essere uguale al risultato esatto
No, per me l'errore sta nelle ultime 3 righe.
Siamo a $P(-0.041<=Z<=0.041)$ che corrisponde a $phi(0.041)-phi(-0.041)$.
Ora, dato che $phi(-z)=1-phi(z)$, lo svolgimento dev'essere $phi(0.041)-1+phi(0.041)$, e secondo le tavole diventa $0.51595-1+0.51595=0.0319$
@markowitz: la Normale è una distribuzione continua e dunque, come giustamente ricordi, la probabilità su un singolo punto è nulla. Ma è proprio per questo che applichiamo la correzione di continuità in modo da trasformare il nostro $r$ in un intervallo $[r-1/2,r+1/2]$ su cui si addensa una probabilità. Altrimenti tutti gli esercizi di questo tipo avrebbero una soluzione scontata.
Ed in secondo luogo, se i parametri vanno bene per un'approssimazione (qua $np=300>5$ e $nq=300>5$), il risultato non può essere certamente diverso solo perchè si usa un'altra distribuzione.
Siamo a $P(-0.041<=Z<=0.041)$ che corrisponde a $phi(0.041)-phi(-0.041)$.
Ora, dato che $phi(-z)=1-phi(z)$, lo svolgimento dev'essere $phi(0.041)-1+phi(0.041)$, e secondo le tavole diventa $0.51595-1+0.51595=0.0319$
@markowitz: la Normale è una distribuzione continua e dunque, come giustamente ricordi, la probabilità su un singolo punto è nulla. Ma è proprio per questo che applichiamo la correzione di continuità in modo da trasformare il nostro $r$ in un intervallo $[r-1/2,r+1/2]$ su cui si addensa una probabilità. Altrimenti tutti gli esercizi di questo tipo avrebbero una soluzione scontata.
Ed in secondo luogo, se i parametri vanno bene per un'approssimazione (qua $np=300>5$ e $nq=300>5$), il risultato non può essere certamente diverso solo perchè si usa un'altra distribuzione.
@Arado90
Hai ragione!!!
Ho sbagliato io trovando sulle tavole il valore di $\Phi$ corrispondente a $ z=-0.04 $ invece che a $ z=0.04 $ .
Grazie comunque!!!
Hai ragione!!!
Ho sbagliato io trovando sulle tavole il valore di $\Phi$ corrispondente a $ z=-0.04 $ invece che a $ z=0.04 $ .
Grazie comunque!!!
@arado90,
relativamente all'esercizio in se sono d'accordo con la tua soluzione, ma con le ultime (tue) 3 righe
proprio NO perché c'è un'importante considerazione di merito da chiarire. Tu dici testualmente:
"il risultato non può essere certamente diverso solo perchè si usa un'altra distribuzione"
ma qui si parla di risultati approssimati che, se individuabili gli esatti, tipicamente trovano la loro
ragion d'essere, in relazione alla precisione necessaria, in un notevole risparmio computazionale.
In tale contesto quello che dici non è vero i risultati sono generalmente diversi applicando la
versione approssimata (e non solo in probabilità) tale differenza si annulla solo al limite.
Altrimenti perché parlare di approssimazione?
In secondo luogo per portare un'esempio analogo a quello analizzato
sono abituato a ragionare di approssimazione in un caso del tipo $B(n=100,p=0,5)$,
notando che $mu=50$ e $sigma=25$ trovare $P(mu-sigma<=x<=mu+sigma)$ che vale $0,7287..$ tuttavia con risparmio sui conti, era immediato riconoscere che tramite l'approssimazione Normale si otteneva $P=0,6827..$, dove il minor valore dell'approssimazione
è intuitivamente giustificabile con la massa di prob. non nulla che la Normale mantiene
per valori esterni all'intervallo $+-100$.
Se nel tuo caso i risultati coincidono è un'eccezione e non la regola.
D'altra parte, non ho fatto i conti, ma sei sicuro che portandoci dietro molte cifre decimali
(purtroppo, per la Normale, nel tuo caso, non si può fare diversamente perché si lavora con gli
irrazionali) i risultati siano identici? Io non credo, ed in ogni caso sarebbe solo una coincidenza.
Se vuoi toglierti la curiosità ti consiglio di non usare le tavole per trovare le prob.
ma fai i conti con Excel, la sua precisione è sicuramente sufficiente.
relativamente all'esercizio in se sono d'accordo con la tua soluzione, ma con le ultime (tue) 3 righe
proprio NO perché c'è un'importante considerazione di merito da chiarire. Tu dici testualmente:
"il risultato non può essere certamente diverso solo perchè si usa un'altra distribuzione"
ma qui si parla di risultati approssimati che, se individuabili gli esatti, tipicamente trovano la loro
ragion d'essere, in relazione alla precisione necessaria, in un notevole risparmio computazionale.
In tale contesto quello che dici non è vero i risultati sono generalmente diversi applicando la
versione approssimata (e non solo in probabilità) tale differenza si annulla solo al limite.
Altrimenti perché parlare di approssimazione?
In secondo luogo per portare un'esempio analogo a quello analizzato
sono abituato a ragionare di approssimazione in un caso del tipo $B(n=100,p=0,5)$,
notando che $mu=50$ e $sigma=25$ trovare $P(mu-sigma<=x<=mu+sigma)$ che vale $0,7287..$ tuttavia con risparmio sui conti, era immediato riconoscere che tramite l'approssimazione Normale si otteneva $P=0,6827..$, dove il minor valore dell'approssimazione
è intuitivamente giustificabile con la massa di prob. non nulla che la Normale mantiene
per valori esterni all'intervallo $+-100$.
Se nel tuo caso i risultati coincidono è un'eccezione e non la regola.
D'altra parte, non ho fatto i conti, ma sei sicuro che portandoci dietro molte cifre decimali
(purtroppo, per la Normale, nel tuo caso, non si può fare diversamente perché si lavora con gli
irrazionali) i risultati siano identici? Io non credo, ed in ogni caso sarebbe solo una coincidenza.
Se vuoi toglierti la curiosità ti consiglio di non usare le tavole per trovare le prob.
ma fai i conti con Excel, la sua precisione è sicuramente sufficiente.
Con "Il risultato non può essere diverso" intendo che le differenza devono essere minime, ad un livello tale che arrotondando il risultato alle prime cifre decimali praticamente non ci sia differenza. 
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