Applicazione teorema di bayes con urne

[feddy]

So che ci sono miriade di esercizi su questa sezione, ma non avendo il risultato vorrei avere una conferma.

Il testo è il seguente:

Si considerino due urne identiche. Si sa che l’urna 1 contiene 1 pallina bianca, 2 palline nere e 3 palline rosse, mentre l’urna 2 contiene 3 palline bianche, 1 pallina nera e 2 palline rosse.

Si calcoli:

i) la probabilità di estrarre ogni colore(ad esempio una bianca) scegliendo un’urna a caso tra le due;
ii)supponiamo di scegliere un’urna a caso e di estrarre una pallina bianca, qual è la probabilità che l’urna scelta sia la numero 1?

iii)si supponga, come al punto (ii) che venga scelta un’urna a caso e che venga estratta una pallina bianca. Si supponga ora di effettuare una seconda estrazione dall’ altra urna e che venga estratta una pallina nera.

Qual è la probabilità che la prima urna usata sia l’urna 1?

Risoluzione.

Chiamo \( \Omega= \cup_i = {\mathbf{estrazione \\dall'i-esima \\urna}} \) .

Sia $B$={pesco una pallina bianca}.

i)
Visto che ho partizionato l'evento certo $Omega$, posso utilizzare la formula delle probabilità totali.

$mathbb{P}(B)= sum_{i=1}^{2} mathbb{P}(B|I_i)*mathbb{P}(I_i)= mathbb{P}(B|I_1)*mathbb{P}(I_1)+mathbb{P}(B|I_2)*mathbb{P}(I_2)=1/6 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 1/3$.


ii)

Qui mi pare abbastanza immediato usare Bayes:

$mathbb{P}(I_1|B)=(mathbb{P}(B|I_1)*mathbb{P}(I_1))/(mathbb{P}(B|I_1)*mathbb{P}(I_1)+mathbb{P}(B|I_2)*mathbb{P}(I_2))=1/4$



iii) E' quello che mi ha messo più in difficoltà:

Chiamo $E_1$={La prima urna è la 1}.
Chiamo $B$={Dalla prima urna scelta pesco una bianca}
Chiamo $N$={Dalla seconda urna scelta pesco una nera}


Mi viene dunque chiesta $mathbb{P}(E_1|B cap N)=(mathbb{P}(B cap N|E_1)*mathbb{P}(E_1))/(mathbb{P}(B cap N|E_1)*mathbb{P}(E_1) + mathbb{P}(B cap N|E_2)*mathbb{P}(E_2))$


Ho che $mathbb{P}(B cap N|E_1)=1/6 * 1/6 = 1/36$, $mathbb{P}(E_i)=1/2$, e $mathbb{P}(B cap N|E_2)=1/6$.

da cui sostituendo nella formula trovo che $mathbb{P}(E_1|B cap N)=1/13$.


Chiedo gentilmente conferma, specialmente sull''ultimo punto dove sono un po' incerto.

[Lo_zio_Tom]

E' tutto davvero molto semplice....ed hai fatto tutto quasi alla perfezione.....dico quasi perché nel punto iii) hai fatto un errorino di calcolo





...anche a te ri ri ri propongo ... questo che è davvero carino (da provare a risolvere senza guardare la soluzione, ovviamente)

...se nemmeno tu rispondi giuro che non lo riproporrò più....

[feddy]

Grazie mille tommik ! Ora lo guardo e provo