Apertura porta.

[mcmarra]

Sto trovando difficoltà con questa tipologia di esercizi.
Una porta è aperta da un'unica chiave in un gruppo di $60$ chiavi, suddivise in $3$ mazzi da $20$ chiavi ciascuno, apparentemente identiche. Scegliere un mazzo a caso e iniziare a provare le chiavi in successione casuale escludendo via via le chiavi già provate. Se le prime $6$ chiavi non aprono la porta, quanto vale la probabilità che la chiave non sia nel mazzo scelto?

Ho definito gli eventi Ai={scelgo l'i-esimo mazzo} con i=1,2,3 la probabilità $P(Ai)=1/3$

La probabilità che le prime 6 chiavi del mazzo scelto non aprano la porta è:
P( le prime $6$ chiavi non aprono)=P(1^a chiave errata)*P(2^a chiave errata)*...*P(6^a chiave errata)=$19/20*18/19*17/18*16/17*15/16*14/15=7/10$
Da questo punto non riesco più a proseguire, come devo correlare la probabilità che nessuna chiave del mazzo apra sapendo che già 6 non hanno aperto.

[mcmarra]

In questo caso allara $P(B)=59/60*58/59*57/58*56/57*55/56*54/55=54/60=9/10$

Mentre $P(A)=1-P(Ai)=1-1/3=2/3$

Come posso fare per trovare $P(B|A)$ ?

[mcmarra]

In questo caso diventa un'evento certo con probabilità 1. Quindi $P(A|B)=(1*2/3)/(9/10)=2/3*10/9=20/27$