Ancora convergenza di v.a. indipendenti

[dissonance]

Una disuguaglianza dovuta a Kolmogorov afferma che:

Siano [tex]\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N[/tex] v.a. reali 1-dimensionali indipendenti. Se esiste [tex]C\ge 0[/tex] tale che [tex]\lvert \xi_n \rvert \le C[/tex] q.o. per ogni [tex]n[/tex], allora [tex]\forall \epsilon >0[/tex]

[tex]$1-\frac{(\epsilon-2C)^2}{\sum_{n=1}^N \bold{V}\xi_n} \le \bold{P}\{\max_{K=1..N} \left\lvert \sum_{n=1}^K \left( \xi_n -\bold{E}\xi_n \right) \right\rvert \ge \epsilon \}[/tex][/list:u:bh8i8e9f]

[size=75](si intende che [tex]$-\frac{(\epsilon-2C)^2}{\sum_{n=1}^N \bold{V}\xi_n}=-\infty[/tex] se [tex]\sum_{n=1}^N \bold{V}\xi_n=0[/tex], comunque è un caso banale).[/size]

Una conseguenza di questa disuguaglianza è la


Proposizione Sia [tex](\xi_n)_{n\in\mathbb{N})[/tex] una successione di v.a. 1-dim. indipendenti. Se esiste [tex]C\ge 0[/tex] tale che [tex]\lvert \xi_n \rvert \le C[/tex] q.o. per ogni [tex]n[/tex], e se [tex]$\sum_{n=1}^\infty \bold{V}\xi_n=\infty[/tex], allora

[tex]$\bold{P}\{\exists \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n(\xi_k-\bold{E}\xi_k)\}=0[/tex][/list:u:bh8i8e9f]

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Ora naturalmente uno si chiede cosa succede se si lasciano cadere delle ipotesi. Per esempio lasciando cadere l'ipotesi di indipendenza la Proposizione è falsa e non è difficile costruire controesempi; anche lasciando cadere l'ipotesi [tex]\sum\bold{V}\xi_n=\infty[/tex] succede la stessa cosa.

Ma quello che proprio non riesco a trovare è un esempio così composto:


una successione [tex]\xi_1, \xi_2 ...[/tex] di v.a. 1-dim. indipendenti, e con [tex]\sum\bold{V}\xi_n=\infty[/tex] ma relativamente alle quali non esiste alcuna [tex]C[/tex] t.c. [tex]\lvert\xi_n \rvert\le C[/tex], per cui risulti

[tex]$\bold{P}\{\exists \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n(\xi_k-\bold{E}\xi_k)\}>0[/tex].[/list:u:bh8i8e9f]

Un esempio siffatto esiste, ne sono sicuro perché lo trovo scritto su un pdf del mio professore. Ma proprio non lo trovo. Qualche spunto?

[Andrea2976]

Forse una successione del tipo: $X_0=X_1=0$, $X_n$ t.c. $P(X_n=0)=1-\frac{2}{n^2}$, $P(X_n=n)=\frac{1}{n^2}$ e $P(X_n=-n)=\frac{1}{n^2}$ per $n\geq 2$.

[dissonance]

Così [tex]\bold{E}X_n=0[/tex], [tex]\bold{V}X_n=2[/tex] e quindi [tex]\sum\bold{V}X_n=\infty[/tex]; ma

[tex]$\bold{P}\{\exists\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n(X_k-\bold{E}X_k)\}=1[/tex].

Si, mi pare che funzioni. Grazie mille Andrea!!!