Aiuto su problema con funzione di ripartizione e intervalli
Salve a tutti. Volevo chiedervi aiuto nel risolvere un esercizio di statistica. il testo è il seguente:
Consideriamo una v.a. $X$ di funzione di ripartizione
\[F(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } t<0 \\\ \frac{t^2}{50} & \mbox{if } 0 \leq t \leq 5 \\\ -\frac{t^2}{50} + \frac{2t}5- 1 &\mbox{if } 5 \leq t \leq 10 \\\ 1 & \mbox{if } t\geq 10 \end{cases}\]
a) Mostrare che la v.a. X prende con probabilità 1 valori in un intervallo $[a,b]$ e determinarlo
b) Mostrare che X ha densità e calcolarlo
c) Quanto vale E(x)?
In realtà una soluzione parziale l' ho già trovata qui http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100128113921AAjfJKO, anche se il problema è leggermente diverso. Quello che mi interessa di più però, e che non ho trovato da nessuna parte, è la soluzione al punto a).
In tutti gli esercizi risolti trovo l' intervallo con valori già definiti. Come faccio invece a determinare [a,b]?
Grazie per l' attenzione, e scusate l' incapacità di scrivere bene le formule
Consideriamo una v.a. $X$ di funzione di ripartizione
\[F(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } t<0 \\\ \frac{t^2}{50} & \mbox{if } 0 \leq t \leq 5 \\\ -\frac{t^2}{50} + \frac{2t}5- 1 &\mbox{if } 5 \leq t \leq 10 \\\ 1 & \mbox{if } t\geq 10 \end{cases}\]
a) Mostrare che la v.a. X prende con probabilità 1 valori in un intervallo $[a,b]$ e determinarlo
b) Mostrare che X ha densità e calcolarlo
c) Quanto vale E(x)?
In realtà una soluzione parziale l' ho già trovata qui http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100128113921AAjfJKO, anche se il problema è leggermente diverso. Quello che mi interessa di più però, e che non ho trovato da nessuna parte, è la soluzione al punto a).
In tutti gli esercizi risolti trovo l' intervallo con valori già definiti. Come faccio invece a determinare [a,b]?
Grazie per l' attenzione, e scusate l' incapacità di scrivere bene le formule
Risposte
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Statistica e Probabilità.[/xdom]
Ciao Fede, beh...x come è definita la funzione di ripartizione F(t)=P(X
Spero di esserti stato di aiuto
Spero di esserti stato di aiuto
ti ringrazio infinitamente per la tua risposta, mi sono proprio persa in un bicchier d'acqua altra domanda, se avessi avuto una funzione di ripartizione di questo tipo:
\[F(t) = \begin{cases}\\\ \frac{t^2}{50} & \mbox{if } t \leq 5 \\\ -\frac{t^2}{50} + \frac{2t}5- 1 &\mbox{if } 5 \leq t \\\ \end{cases}\]
sarebbe ancora possibile determinare [a,b]? in che modo?
altra domanda, se avessi avuto una funzione di ripartizione di questo tipo:\[F(t) = \begin{cases}\\\ \frac{t^2}{50} & \mbox{if } t \leq 5 \\\ -\frac{t^2}{50} + \frac{2t}5- 1 &\mbox{if } 5 \leq t \\\ \end{cases}\]
sarebbe ancora possibile determinare [a,b]? in che modo?
"Fede89TN":
se avessi avuto una funzione di ripartizione di questo tipo:
\[F(t) = \begin{cases}\\\ \frac{t^2}{50} & \mbox{if } t \leq 5 \\\ -\frac{t^2}{50} + \frac{2t}5- 1 &\mbox{if } 5 \leq t \\\ \end{cases}\]
sarebbe ancora possibile determinare [a,b]?
Prima ti dovresti domandare se è una funzione di ripartizione
"philipcool":
Affinche X abbia poi densità è necessario dimostrare che la F(t) definita sia derivabile in ogni suo punto,
Io sapevo che è sufficiente dimostrare che la $F$ è continua su tutto $RR$ e $C^1$ a tratti (al di fuori di un insieme finito di punti). Ti torna?
Secondo me se la F(t) non è derivabile in qualche punto (come mi sembra tu intenda dire quando diche che appartiene a C1 a tratti) la densità non esiste. Prendiamo infatti che la funzione di ripartizione abbia un punto angoloso, questo fatto implicherebbe la discontinuità della funzione di densità (punto di discontinuità di prima specie). Io di densità discontinue non ne ho mai viste...ma posso sbagliarmi...attendo opinioni
x fede:
la funzione che hai messo nel secondo post come fa giustamente notare retrocomputer non è una funzione di ripartizione xk non rispetta le condizioni sui limiti della stessa. Ma mettiamo che in effetti tu abbia una fdr che abbia solo un punto di cambio legge (come nel tuo caso era t=5) e che abbia a destra e a sinistra una certa espressione (tale però che la renda effettivamente una fdr non quindi quella che hai scritto tu) in questo caso affinchè le condizioni su limiti vengano rispettate è necessario che la legge "di sinistra" faccia tendere asintoticamente a zero la funzione per t che tende a -infinito. la legge di destra viceversa dovrà far tendere asintoticamente a 1 la funzione per t che tende a +infinito. quindi in questo caso l'intervallo sarebbe ]-infinito, +infinito[...spero di essermi esresso in maniera comprensibile.
la funzione che hai messo nel secondo post come fa giustamente notare retrocomputer non è una funzione di ripartizione xk non rispetta le condizioni sui limiti della stessa. Ma mettiamo che in effetti tu abbia una fdr che abbia solo un punto di cambio legge (come nel tuo caso era t=5) e che abbia a destra e a sinistra una certa espressione (tale però che la renda effettivamente una fdr non quindi quella che hai scritto tu) in questo caso affinchè le condizioni su limiti vengano rispettate è necessario che la legge "di sinistra" faccia tendere asintoticamente a zero la funzione per t che tende a -infinito. la legge di destra viceversa dovrà far tendere asintoticamente a 1 la funzione per t che tende a +infinito. quindi in questo caso l'intervallo sarebbe ]-infinito, +infinito[...spero di essermi esresso in maniera comprensibile.
avete ragione, scusate, quella non è una fdr...ho scritto di fretta modificando quella prima e non ci ho fatto caso...
Cmq grazie mille adesso ho capito!
ne aprofitto per chiedere un altro esercizio senza aprire una nuova discussione
Un componente viene prodotto da una fabbrica che utilizza due diverse linee di lavorazione da cui escono elementi esteriormente indistinguibili ma di qualità diversa. Si può anzi supporre che i pezzi prodotti dalla prima e dalla seconda linea abbiano un tempo di vita esponenziale di parametri [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] rispettivamente ([tex]\lambda>\mu[/tex]). Inoltre è noto che le proporzioni di pezzi prodotti dalle due linee sono rispettivamente p e q (p >0, q>0, p+q=1)
Domande:
a) un pezzo viene scelto a caso. indichiamo con T il suo tempo di vita. qual'è la legge di T? Quanto vale E(T)? (speranza)
b) Sapendo che il pezzo è ancora funzionante al tempo s, qual'è a probabilità che esso provenga dalla prima linea?Quanto vale questa probabilità per s grande?
mi sono fermata già al primo punto perchè non so come definire la legge di T.
Avevo pensato che la prima linea segue la legge [tex]f(x)=\lambda*\exp(-x\lambda)[/tex] e la seconda [tex]f(y)=\lambda*\exp(-y\lambda)[/tex]. La legge di T è X+Y?
EDIT: Altro dubbio ancora.
Siano X e Y due v.a. indipendenti, entrambe di leggi normale N(0,1). Qaunto vale P(X>Y)? e P(X>Y+1/2)?
il primo credo sia 0 ma non riesco a dimostrarlo. il secondo idem non so ricavarlo, anche se penso che dovrebbe essere abbastanza semplice...
Cmq grazie mille adesso ho capito!
ne aprofitto per chiedere un altro esercizio senza aprire una nuova discussione
Un componente viene prodotto da una fabbrica che utilizza due diverse linee di lavorazione da cui escono elementi esteriormente indistinguibili ma di qualità diversa. Si può anzi supporre che i pezzi prodotti dalla prima e dalla seconda linea abbiano un tempo di vita esponenziale di parametri [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] rispettivamente ([tex]\lambda>\mu[/tex]). Inoltre è noto che le proporzioni di pezzi prodotti dalle due linee sono rispettivamente p e q (p >0, q>0, p+q=1)
Domande:
a) un pezzo viene scelto a caso. indichiamo con T il suo tempo di vita. qual'è la legge di T? Quanto vale E(T)? (speranza)
b) Sapendo che il pezzo è ancora funzionante al tempo s, qual'è a probabilità che esso provenga dalla prima linea?Quanto vale questa probabilità per s grande?
mi sono fermata già al primo punto perchè non so come definire la legge di T.
Avevo pensato che la prima linea segue la legge [tex]f(x)=\lambda*\exp(-x\lambda)[/tex] e la seconda [tex]f(y)=\lambda*\exp(-y\lambda)[/tex]. La legge di T è X+Y?
EDIT: Altro dubbio ancora.
Siano X e Y due v.a. indipendenti, entrambe di leggi normale N(0,1). Qaunto vale P(X>Y)? e P(X>Y+1/2)?
il primo credo sia 0 ma non riesco a dimostrarlo. il secondo idem non so ricavarlo, anche se penso che dovrebbe essere abbastanza semplice...
nessuno? ho l'esame domani e mi servirebbe un chiarimento >.<
"Fede89TN":
mi sono fermata già al primo punto perchè non so come definire la legge di T.
Avevo pensato che la prima linea segue la legge [tex]f(x)=\lambda*\exp(-x\lambda)[/tex] e la seconda [tex]f(y)=\lambda*\exp(-y\lambda)[/tex]. La legge di T è X+Y?
Non credo. Potresti introdurre l'evento A "il componente appartiene alla prima linea" che ha probabilità $p$ e ricavarti la funzione di ripartizione della $T$ così:
$P\{T\leq x\}=P\{T\leq x|A\}p+P\{T\leq x|A^c\}q$
e le due probabilità condizionate sono le due esponenziali.
Siano X e Y due v.a. indipendenti, entrambe di leggi normale N(0,1). Qaunto vale P(X>Y)? e P(X>Y+1/2)?
il primo credo sia 0 ma non riesco a dimostrarlo. il secondo idem non so ricavarlo, anche se penso che dovrebbe essere abbastanza semplice...
Per il primo potresti scrivere $P(X>Y)=P(X-Y>0)$ e $X-Y$ si dovrebbe sapere che legge ha, ok?
Il secondo è uguale.
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