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[palladino.al]

ciao a tutti, non so se questo esercizio sono riuscito a farlo bene o no
Sia X ~ geo(p) e Y ~ b(2,p) v.a. indipendenti con p appartiene a {0,1} con z:=XY+1, determinare il codominio, media e la varianza di z, calcolare p(z=1) e p(z=2). Allora io ho fatto:
Codominio:
x y z
1 0 1=1*0+1
2 1 3=2*1+1
3 2 7=3*2+1
4 3 13=4*3+1
il cod della geometrica è >=1 mentre il cod della binomiale è {0....n)
La media: \(\displaystyle
E(Z) = E(XY + 1) = E(X)E(Y) + 1 = \frac{1}{P} \cdot 2 \cdot P + 1 = 3
\)
La varianza: \(\displaystyle V(Z) = V(XY + 1) = V(X)V(Y) = \frac{(1 - P)}{P^2} \cdot \big(2P(1 - P)\big) = \frac{2P^2 - 4P + 2}{P}
\)

\(\displaystyle P(Z = 1) = P(XY + 1 = 1) = P(XY = 0) = P(X = 1)P(Y = 0) \)
\(\displaystyle P(Z = 1) = P(X = 1) = p(1 - p)^0 = P(Y = 0) = \binom{2}{0} p^0 (1 - p)^2 = 1 \cdot 1 \cdot (1 - p)^2 = p^2 - 2p + 1 \)

\(\displaystyle P(Z = 2) = P(XY + 1 = 2) = P(XY = 1) = P(X = 2)P(Y = 1)
\)

\(\displaystyle P(Z = 2) = P(X = 2) = p(1 - p)^1 = p \cdot p^2; \quad P(Y = 1) = \binom{2}{1} p^1 (1 - p)^1 = 2 \cdot p \cdot (1 - p) = p^2 - 2p^2 \)
Mi sapete dire se è giusto?