Aiutatemi a risolvere questo esercizio!
Avrei bisogno di sapere come si risolve questo esercizio. Si tratta di un esercizio di un corso di base di statistica. Per favore aiutatemi. L'esercizio è il seguente.
Il calore (in calorie per grammo) emesso dalla combustione di un composto chimico è normalmente distribuito. Un campione di 10 osservazioni ci ha fornito il seguente risultato.
106.7, 97.5, 104.5, 108.9, 98.2, 102.2, 104.7, 97.5, 99.0, 90.4
1) Utilizzando stimatori non distorti, stimare la media e la varianza del calore emesso dalla combustione;
2) determinare un intervallo di confidenza per la media di livello γ=0.9;
3) determinare un intervallo di confidenza per la varianza di livello γ=0.9;
Diversi studi precedenti sembrano mostrare che la media del calore emesso è 100.
4)Scegliere le ipotesi opportune per decidere se le nostre osservazioni sono in accordo o smentiscono gli studi precedenti;
5) impostare ed eseguire il test di livello α=0.01 per prendere la decisione di cui al punto precedente.
GRAZIE MILLE A CHI MI SA RISPONDERE!
Il calore (in calorie per grammo) emesso dalla combustione di un composto chimico è normalmente distribuito. Un campione di 10 osservazioni ci ha fornito il seguente risultato.
106.7, 97.5, 104.5, 108.9, 98.2, 102.2, 104.7, 97.5, 99.0, 90.4
1) Utilizzando stimatori non distorti, stimare la media e la varianza del calore emesso dalla combustione;
2) determinare un intervallo di confidenza per la media di livello γ=0.9;
3) determinare un intervallo di confidenza per la varianza di livello γ=0.9;
Diversi studi precedenti sembrano mostrare che la media del calore emesso è 100.
4)Scegliere le ipotesi opportune per decidere se le nostre osservazioni sono in accordo o smentiscono gli studi precedenti;
5) impostare ed eseguire il test di livello α=0.01 per prendere la decisione di cui al punto precedente.
GRAZIE MILLE A CHI MI SA RISPONDERE!
Risposte
Da regolamento, dovresti dire cos'hai provato a fare e dove ti blocchi per poter sperare in un aiuto.
Ho calcolato la media e la varianza del punto 1. Dal punto 2 in poi non riesco ad andare avanti. Che formula devo utilizzare per calcolare l'intervallo di confidenza per la media e tutto il resto? grazie
1) Giusto, se hai calcolato la Media campionaria e la varianza campionaria corretta
2) L'intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota è:
$[\bar{X}_n -t_{alpha/2}*sqrt((Sc^2)/(n)) ,\bar{X}_n+t_{alpha/2}*sqrt((Sc^2)/(n))]$
dove $\bar{X}_n$ è la media campionaria, $Sc^2$ la varianza campionaria corretta e $t_{alpha/2}$ è tale che $P(T>=t_{alpha/2})=alpha/2$, con $T\simt_(n-1)$, cioè una t-student con $n-1$ gradi di libertà
Ad esempio qua $1-alpha=0.9$, dunque $alpha/2=0.05$ e i gradi di libertà corrispondono alle 10 osservazioni meno 1. Guardando sulle tavole della t-student con $9$ gdl e in corrispondenza di $0.05$, il $t_{alpha/2}$ che ti serve è $1.8331$
3)L'intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione Normale è:
$[(n*S^2)/(\chi^2_{alpha/2}), (n*S^2)/(\chi^2_{1-alpha/2})]$
dove $S^2$ è la varianza campionaria (non quella corretta; se vuoi usare la varianza campionaria corretta devi moltiplicare per $n-1$ e non per $n$ nel numeratore dell'intervallo).
Il $\chi^2_{alpha/2}$ è tale che $P(Y>=\chi^2_{alpha/2})=alpha/2$ dove $Y\sim\chi^2_{n-1}$, cioè un chi-quadrato con $n-1$ gdl; lo stesso vale per il $\chi^2_{1-alpha/2}$, semplicemente usando $1-alpha/2$ invece che $alpha/2$.
Qua ad esempio hai ancora un $alpha=0.10$; dunque $alpha/2=0.05$ e in corrispondenza di $9$ gdl sulle tavole del $\chi^2$ hai $\chi^2_{alpha/2}=16.919$. L'altro lo calcoli nello stesso modo usando $1-alpha/2$
4) Sulla base della Media campionaria del punto 1, vedi come impostare l'ipotesi alternativa. Ad esempio, se $\bar{X}_n$ era $98$ allora sceglierai come ipotesi alternativa la "unilaterale sinistra", cioè $H_0:mu=100$ e $H_1:mu<100$
5) Il test d'ipotesi sulla media con varianza non nota è:
$T=(\bar{X}_n-mu_0)/sqrt(((Sc^2)/n)) \sim t_{n-1}$
Al solito in questa formula hai la media campionaria; la varianza campionaria corretta e quel $mu_0$ è il $100$ dell'ipotesi nulla; e tutto si distribuisce come una t-student con $n-1$ gradi di libertà.
Calcoli questo valore $T$, poi calcoli il $t_alpha$ come si era già fatto al punto 2 (anche se là era un $alpha/2$) e poi se $H_1:mu>100$, rifiuti $H_0$ se $T>=t_alpha$; se $H_1:mu<100$, rifiuti se $T<=-t_alpha$
2) L'intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota è:
$[\bar{X}_n -t_{alpha/2}*sqrt((Sc^2)/(n)) ,\bar{X}_n+t_{alpha/2}*sqrt((Sc^2)/(n))]$
dove $\bar{X}_n$ è la media campionaria, $Sc^2$ la varianza campionaria corretta e $t_{alpha/2}$ è tale che $P(T>=t_{alpha/2})=alpha/2$, con $T\simt_(n-1)$, cioè una t-student con $n-1$ gradi di libertà
Ad esempio qua $1-alpha=0.9$, dunque $alpha/2=0.05$ e i gradi di libertà corrispondono alle 10 osservazioni meno 1. Guardando sulle tavole della t-student con $9$ gdl e in corrispondenza di $0.05$, il $t_{alpha/2}$ che ti serve è $1.8331$
3)L'intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione Normale è:
$[(n*S^2)/(\chi^2_{alpha/2}), (n*S^2)/(\chi^2_{1-alpha/2})]$
dove $S^2$ è la varianza campionaria (non quella corretta; se vuoi usare la varianza campionaria corretta devi moltiplicare per $n-1$ e non per $n$ nel numeratore dell'intervallo).
Il $\chi^2_{alpha/2}$ è tale che $P(Y>=\chi^2_{alpha/2})=alpha/2$ dove $Y\sim\chi^2_{n-1}$, cioè un chi-quadrato con $n-1$ gdl; lo stesso vale per il $\chi^2_{1-alpha/2}$, semplicemente usando $1-alpha/2$ invece che $alpha/2$.
Qua ad esempio hai ancora un $alpha=0.10$; dunque $alpha/2=0.05$ e in corrispondenza di $9$ gdl sulle tavole del $\chi^2$ hai $\chi^2_{alpha/2}=16.919$. L'altro lo calcoli nello stesso modo usando $1-alpha/2$
4) Sulla base della Media campionaria del punto 1, vedi come impostare l'ipotesi alternativa. Ad esempio, se $\bar{X}_n$ era $98$ allora sceglierai come ipotesi alternativa la "unilaterale sinistra", cioè $H_0:mu=100$ e $H_1:mu<100$
5) Il test d'ipotesi sulla media con varianza non nota è:
$T=(\bar{X}_n-mu_0)/sqrt(((Sc^2)/n)) \sim t_{n-1}$
Al solito in questa formula hai la media campionaria; la varianza campionaria corretta e quel $mu_0$ è il $100$ dell'ipotesi nulla; e tutto si distribuisce come una t-student con $n-1$ gradi di libertà.
Calcoli questo valore $T$, poi calcoli il $t_alpha$ come si era già fatto al punto 2 (anche se là era un $alpha/2$) e poi se $H_1:mu>100$, rifiuti $H_0$ se $T>=t_alpha$; se $H_1:mu<100$, rifiuti se $T<=-t_alpha$
Grazie mille. Davvero gentilissimo.
Scusa mi servirebbe una precisazione: agli ultimi 2 punti in base a quel criterio si formulano le ipotesi? Mi spiego meglio. Lei mi ha detto che pongo H0:μ=100 e H1:μ<100. Giusto? Perchè invece non pongo H0:μ=100 e H1:μ≠100? Che cos'è un'alternativa unilaterale sinistra? Grazie mille.
L'ipotesi nulla è per forza $H_0:mu=100$, te lo dice il testo nella frase che anticipa i due punti.
Ora, bisogna scegliere l'ipotesi alternativa. Unilaterale sinistra è semplicemente il nome assegnato quando l'ipotesi alternativa prevede il $<$; la unilaterale destra è col $>$, mentre la bilaterale col $!=$.
Al di là della terminologia, la scelta sarà influenzata, come ti dice il testo, da ciò che hai potuto vedere nei punti precedenti ed in particolare al punto 1 quando hai ottenuto la Media campionaria.
Facendo i calcoli esce una $\bar{X}_n=100,96$, quindi sarebbe bene porre $H_1:mu>100$. Certo, anche $H_1:mu!=100$ andrebbe bene, però così tieni conto dell'opportunità che possa essere maggiore o minore, mentre i dati che abbiamo ci indicano che è più probabile il fatto che sia maggiore. Quindi, secondo me, andrebbe meglio impostare il test con $H_1:mu>100$, anche se non è totalmente sbagliato usare il $!=$.
Ora, bisogna scegliere l'ipotesi alternativa. Unilaterale sinistra è semplicemente il nome assegnato quando l'ipotesi alternativa prevede il $<$; la unilaterale destra è col $>$, mentre la bilaterale col $!=$.
Al di là della terminologia, la scelta sarà influenzata, come ti dice il testo, da ciò che hai potuto vedere nei punti precedenti ed in particolare al punto 1 quando hai ottenuto la Media campionaria.
Facendo i calcoli esce una $\bar{X}_n=100,96$, quindi sarebbe bene porre $H_1:mu>100$. Certo, anche $H_1:mu!=100$ andrebbe bene, però così tieni conto dell'opportunità che possa essere maggiore o minore, mentre i dati che abbiamo ci indicano che è più probabile il fatto che sia maggiore. Quindi, secondo me, andrebbe meglio impostare il test con $H_1:mu>100$, anche se non è totalmente sbagliato usare il $!=$.
Allora mi sono calcolato il tα ed ho ottenuto: tα=2,82. Successivamente ho calcolato il T ottenendo: T=0,55. Come ipotesi ho utilizzato H0:μ=100 e H1:μ≠100. Pertanto essendo T
[mod="LB"]balmes299,
dai un titolo più consono al thread.[/mod]
dai un titolo più consono al thread.[/mod]
No. C'è un errore di "teoria".
Come ti avevo detto all'inizio, se $H_1:mu>100$, si rifiuta $H_0$ se $T>=t_alpha$ e se $H_1:mu<100$, si rifiuta $H_0$ se $T<=-t_alpha$.
Però se usi $H_1:mu!=100$, allora rifiuti $H_0$ se $|T|>=t_{alpha/2}$, e devi quindi calcolarti $t_{alpha/2}$ e non $t_alpha$. Scusa, ma non avevo neppure messo quest'ultimo caso nel mio messaggio, perchè avevo escluso la possibilità di condurre il test usando $!=$, pensavo solo a $>$ o $<$ a seconda della Media campionaria. Come dire, usare $!=$ è corretto a prescindere perchè tieni conto di entrambi i casi (e per questo spezzi il $t_alpha$ in $t_{alpha/2}$ e devi tener conto del valore assoluto di $T$), e quindi ti avevo esposto la teoria solo per gli altri due casi e non anche nel caso scegliessi il $!=$.
Come ti avevo detto all'inizio, se $H_1:mu>100$, si rifiuta $H_0$ se $T>=t_alpha$ e se $H_1:mu<100$, si rifiuta $H_0$ se $T<=-t_alpha$.
Però se usi $H_1:mu!=100$, allora rifiuti $H_0$ se $|T|>=t_{alpha/2}$, e devi quindi calcolarti $t_{alpha/2}$ e non $t_alpha$. Scusa, ma non avevo neppure messo quest'ultimo caso nel mio messaggio, perchè avevo escluso la possibilità di condurre il test usando $!=$, pensavo solo a $>$ o $<$ a seconda della Media campionaria. Come dire, usare $!=$ è corretto a prescindere perchè tieni conto di entrambi i casi (e per questo spezzi il $t_alpha$ in $t_{alpha/2}$ e devi tener conto del valore assoluto di $T$), e quindi ti avevo esposto la teoria solo per gli altri due casi e non anche nel caso scegliessi il $!=$.
Quindi ricapitolando l'errore mio è stato nell'aver calcolato il tα invece del tα/2 avendo io considerato come ipotesi H1:μ≠100 giusto? grazie.
Esatto.
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