Una grondaia
Problema:
Un'azienda di laminati metallici vuole progettare una grondaia.
Il profilo della grondaia è ottenuto sagomando una lamina di metallo di larghezza assegnata (diciamola $L>0$) come mostrato in figura.[nota]I forumisti ingegneri mi perdoneranno la rozzezza delle quotature![/nota]
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-1.5; ymax=4.5;
noaxes();
strokewidth=1; stroke="grey"; line([1.85, 1],[3,1]); line([2,-0.75],[2,1.15]); line([-3,3],[0.15,3]); line([0,-0.75],[0,3.15]);
marker="arrow"; line([0,3],[-2.12,0.89]); text([-1.06, 1.95],"R", aboveleft); line([2,1],[2.71, 0.29]); text([2.35, 0.65],"r", aboveright); line([1, -0.6],[0,-0.6]); line([1,-0.6],[2,-0.6]); text([1,-0.6],"l",below);
strokewidth=2; stroke="red"; marker="none"; line([0,0],[2,0]); arc([2,0],[3,1],1); arc([-3,3],[0,0],3);[/asvg]
1. Assegnata la lunghezza $l \in [0,L[$ del tratto rettilineo centrale, mostrare che la grondaia con portata massima si ottiene in corrispondenza di profilati simmetrici, cioè con $R=r= \frac{L-l}{\pi}$.
2. Tra tutti i possibili profilati simmetrici, qual è quello con portata massima?
Un'azienda di laminati metallici vuole progettare una grondaia.
Il profilo della grondaia è ottenuto sagomando una lamina di metallo di larghezza assegnata (diciamola $L>0$) come mostrato in figura.[nota]I forumisti ingegneri mi perdoneranno la rozzezza delle quotature![/nota]
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-1.5; ymax=4.5;
noaxes();
strokewidth=1; stroke="grey"; line([1.85, 1],[3,1]); line([2,-0.75],[2,1.15]); line([-3,3],[0.15,3]); line([0,-0.75],[0,3.15]);
marker="arrow"; line([0,3],[-2.12,0.89]); text([-1.06, 1.95],"R", aboveleft); line([2,1],[2.71, 0.29]); text([2.35, 0.65],"r", aboveright); line([1, -0.6],[0,-0.6]); line([1,-0.6],[2,-0.6]); text([1,-0.6],"l",below);
strokewidth=2; stroke="red"; marker="none"; line([0,0],[2,0]); arc([2,0],[3,1],1); arc([-3,3],[0,0],3);[/asvg]
1. Assegnata la lunghezza $l \in [0,L[$ del tratto rettilineo centrale, mostrare che la grondaia con portata massima si ottiene in corrispondenza di profilati simmetrici, cioè con $R=r= \frac{L-l}{\pi}$.
2. Tra tutti i possibili profilati simmetrici, qual è quello con portata massima?
Risposte
Supponendo che la portata sia proporzionale alla sezione della grondaia, in caso contrario, non ricordando quasi nulla di fluidodinamica, non sono in grado di formulare alcun ragionamento, è facile rispondere ai quesiti.
1) la somma $ s=R+r= 2(L-l)/\pi $ è costante. Si può calcolare la sezione della grondaia considerando il trapezio rettangolo delimitato dalla retta cui appartiene il tratto rettilineo, dalle due perpendicolari a questa condotte per gli estremi della grondaia e dalla congiungente gli estremi. L'area del trapezio essendo funzione solo di $ s $ (a parte le costanti date) è costante e la parte da eliminare, proporzionale a $ R^2+r^2 =(R+r)^2-2Rr$ risulterà minima quando $ Rr $ è massimo, cioè quando $ R=r $.
2) Quello con "l=0", cioè una semicirconferenza: se esistesse una grondaia con $ l>0 $ di area maggiore, abbinandola alla sua simmetrica rispetto alla congiungente i due estremi, si otterrebbe una figura isoperimetrica ad un cerchio e di area più grande.
Ciao
B.
1) la somma $ s=R+r= 2(L-l)/\pi $ è costante. Si può calcolare la sezione della grondaia considerando il trapezio rettangolo delimitato dalla retta cui appartiene il tratto rettilineo, dalle due perpendicolari a questa condotte per gli estremi della grondaia e dalla congiungente gli estremi. L'area del trapezio essendo funzione solo di $ s $ (a parte le costanti date) è costante e la parte da eliminare, proporzionale a $ R^2+r^2 =(R+r)^2-2Rr$ risulterà minima quando $ Rr $ è massimo, cioè quando $ R=r $.
2) Quello con "l=0", cioè una semicirconferenza: se esistesse una grondaia con $ l>0 $ di area maggiore, abbinandola alla sua simmetrica rispetto alla congiungente i due estremi, si otterrebbe una figura isoperimetrica ad un cerchio e di area più grande.
Ciao
B.
"orsoulx":
1) la somma $ s=R+r= 2(L-l)/\pi $ è costante. Si può calcolare la sezione della grondaia considerando il trapezio rettangolo delimitato dalla retta cui appartiene il tratto rettilineo, dalle due perpendicolari a questa condotte per gli estremi della grondaia e dalla congiungente gli estremi. L'area del trapezio essendo funzione solo di $ s $ (a parte le costanti date) è costante e la parte da eliminare, proporzionale a $ R^2+r^2 =(R+r)^2-2Rr$ risulterà minima quando $ Rr $ è massimo, cioè quando $ R=r $.
Non ho mai visto una grondaia che si riempie col pelo dell'acqua inclinato... Ma, a scanso di equivoci, preciso quanto segue: la grondaia è da pensarsi montata col tratto rettilineo parallelo al suolo.
"gugo82":
Non ho mai visto una grondaia che si riempie col pelo dell'acqua inclinato
Neppure io, ed infatti intendevo con i due estremi alla stessa altezza. Se, come dici, la parte piatta deve essere parallela al suolo, la dimostrazione continua da essere valida: si perde sezione utile a mano a mano che aumenta la differenza fra i due raggi.
Ciao
B.
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