Un limite difficile

[Overflow94]

Siano $ n, m in NN $ e $ x in RR $, definiamo la funzione:

$ h(x)= lim_(m->infty)lim_(n->infty)(cos(m!pix))^n $

Dimostrare che $ AA a in RR $ non esiste il limite $ lim_(x->a)h(x) $ .

Non conosco la soluzione dell'esercizio, di seguito un po' di contesto:

L'esercizio è preso da queste dispense di Analisi di John E. Hutchinson (pag 109 esempio 6):
https://maths-people.anu.edu.au/~john/A ... 21H_97.pdf

Per adesso ho difficoltà anche a capire se la funzione $ h $ sia ben definita.

[otta96]

Non so come si dimostra ma magari questo ti può aiutare.
Uffa non capisco perché ma non mi prende il link, cerca solo https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_ ... e_proprietà.

[solaàl]

La lettera accentata non viene parsata correttamente; sanitizza il link: click.

[Overflow94]

@otta96: grazie. Dal link si capisce chiaramente come risolvere l'esercizio.

Dimostriamo che $ h(x) $ è la funzione di Dirichlet definita in $ [0, 1] $ come:

$ h(x)={ ( 1 \ \ \ x in QQ),( 0 \ \ \ x !inQQ ):} $

Se $ x $ è razionale allora $ x = p / q $ per $ p,q in NN$ quindi per $ m >= 2q $ abbiamo che $ m! $ si può scrivere come $m! =2qk$. Notiamo che:

$ cos(m!pix)=cos((m!pip)/q)=cos((2qkpi p)/q)=cos(2pkpi)=1 $

Quindi per $ x in QQ nn [0, 1]$ abbiamo $ h(x) = 1$ in quanto da un certo $ m $ in poi è costantemente $ 1 $ .

Mentre per $ x !in QQ $ abbiamo che $ m!pix != +-2pi $ in quanto il contrario implicherebbe $x=+-2/(m!) $ ne segue che $ |cos(m!pix)|<1 $, quindi:

$ lim_(n->infty)(cos(m!pix))^n = 0 $

Quindi per $ x !in QQ nn [0, 1]$ abbiamo $ h(x) = 0$.