Un gioco con la calcolatrice elettronica

[Erasmus_First]

Rovistando nella memoria del mio vecchio computer ho ritrovato un "paper" che avevo scritto più di vent'anni fa.
Il primo paragrafo, introduttivo al vero argomento del "paper", incomincia così:

––> Un gioco con la calcolatrice elettronica (PNG

Appunto: Che cosa rappresentano le m radici quadrate?
_______

[Rigel1]

Onestamente, non è che io abbia capito la domanda (sarà l'ora un po' tarda per me...).
Tu chiedi di considerare la successione definita per ricorrenza da
\[
\begin{cases}
x_0 \in [-2,2],\\
x_{n+1} = - \sqrt{x_n +2},
\end{cases}
\]
che converge a \(x = -1\). Non ho capito cosa si dovrebbe ripetere ciclicamente.

[orsoulx]

Visto che Erasmus_First non fornisce l'interpretazione autentica del problema proposto (è impegnato in altri forum a cercare incongruenze per il problema dei tre segmenti casuali), provo a decriptarlo.
a) Si fissa un valore di m= 1, 2, ...
b) Si ripete la procedura fino a quando, nei limiti degli arrotondamenti della calcolatrice, il risultato 'x' si stabilizza.
c) a quel punto $ \sqrt(2+x), \sqrt(2+\sqrt(2+x)), \sqrt(2+\sqrt(2+\sqrt(2+x))),...$ assumeranno sempre gli stessi m valori.
Viene chiesto cosa rappresentino questi valori.
Io riconosco i valori per m=2, dopo non ricordo che me li abbiano presentati.
Ciao
B.

[Erasmus_First]

"Rigel":Onestamente, non è che io abbia capito la domanda (sarà l'ora un po' tarda per me...).
Tu chiedi di considerare la successione definita per ricorrenza da
\[
\begin{cases}
x_0 \in [-2,2],\\
x_{n+1} = - \sqrt{x_n +2},
\end{cases}
\]
che converge a \(x = -1\). Non ho capito cosa si dovrebbe ripetere ciclicamente.

Il testo che ho scritto è "inequivocabile" se solo lo si legge con attenzione.
Le "ripetizioni" sono di due tipi.
a) C'è da ripetere un ciclo di istruzioni (nel quale sul visore [o display] della calcolatrice appaiono tot numeri in un dato ordine) fino a che quei numeri non si ripetono tutti nel medesimo ordine.
b) Nel ciclo da ripetere fino a che il processo non diventa periodico c'è una coppia di mosse da ripetere uguali un numero m di volte in ogni ciclo. Queste due mosse sono
– aggiungere 2
– fare la radice quadrata [della somma ottenuta]
Infatti il ciclo di istruzioni è
• memorizzare il numero che si legge sul display
• Per m volte aggiungere 2 e fare la radice quadrata della somma
• cambiare di segno.
Supponiamo che m sia 3 e che io sia partito con il numero x (con –2 < x < 2]
Il primo ciclo è:
•
• $x_1 = √(2+x)$;
• $x_2 = √(2+x_1)$;
• $x_3 = √(2 + x_2)$;
• x$ = –x_3$.
Se per caso è x$=x$ allora ho finito. Se no ripeto il ciclo.
Chiamo di nuovo $x$ l'ultimo numero (che era x$=-x_3$) e riparto ripetendo esattamente il ciclo di istruzioni:
•
• $x_1 = √(2+x)$;
• $x_2 = √(2+x_1)$;
• $x_3 = √(2 + x_2)$;
• x$ = –x_3$.

Per m = 3 il giochino finisce quando il numero memorizzato è $x = -1,879385241572$
Infatti allora
• < memorizzare $x$> (––> in memoria ora ci va $x = -1,879385241572$)
• $x_1 = √(2+x) = √(0,120614758428) = 0,347296355334$
• $x_2 = √(2+x_1) = √(2,347296355334) = 1,532088886238$
• $x_3 = √(2+x_2) = √(3,532088886238) = 1,879385241572$
• {} x$ = -x_3 = -1,879385241572$
Vedi, rigel, che x ora è uguale ad $x$?

Allora:
VCosa rappresentano i numeri «$x_1 = 0,347296355334$; $x_2 = 1,532088886238$; $x_3 = 1,879385241572$»?
Ovviamente è la relazione tra un numero ed il precedente che ci permette di capire che cosa rappresentano questi tre numeri,
Anzi: visto che saltano fuori da un ciclo periodico, mettiamoli in ordine ciclico.
[Dopo il primo viene il secondo; dopo il secondo viene il terzo; dopo il terzo viene il primo.
$x_2 = √(2 + x_1);$ $x_3 = √(2+x_2);$ $x_1 = √(2 – x_3)$

E nel caso m=1 in cui il numero memorizzato diventa $-1$ (come giustamente hai trovato) e l'unica radice quadrata per ciclo diventa 1 ... cosa rappresenta questo 1?
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Ma non c'è bisogno di eseguire 'effettivamente' il giochino [con una calcolatrice "non scientifica" che però sa fare la radice quadrata]!
[Semmai ... meglio programmarlo ché il computer fa ben più presto a trovare il "punto fisso"!]
Basta immaginare di farlo!
[Ti ricordi gli "esperimenti mentali" di Einstein?]
Insomma: "Cosa rappresentano le m radici quadrate?"

@orsoulx
Sì, per m = 2 si casca nell'andazzo stazionario seguente:
<numero memorizzato> = $-1,61803398875$ (che si riconoscere essere $-[√(5) + 1]/2$);
<prima radice quadrata> =$√(2 - 1,61803398875) = √(0,38196601125 ≈0,61803398875$ (che si riconoscere essere $[√(5) -1]/2$);
<seconda radice quadrata> =$√(2 + 0,61803398875) = √(2,61803398875 ≈1,61803398875$ (che si riconoscere essere $[√(5) +1]/2$);
$-1,61803398875$ (che è uguale numero memorizzato),
Ti dò un gran suggerimento.
Quel numero $[√(5) + 1]/2$ invece di pensarlo come numero aureo "PHI" preferisco pensarlo $2cos(π/5)$.
_______

[orsoulx]

@Erasmus_First
grazie al tuo suggerimento capii! Trattasi di:

\( 2 cos{2^i \pi\over{2^m+1}} \) con \( i\in [0..m] \)

Beh! Hai delle belle pretese. Non tutti hanno i neuroni goniometrici vispi come i tuoi.
Poi mi spiegherai:
a) il ritardo, diversamente educato, con cui ci hai risposto;
b) quel che ti spinge a farcire gli interventi di montagne di cifre inutili ed informazioni ridondanti evitando invece di facilitarne la lettura (ad esempio per ottenere una radice ben fatta basta scrivere \sqrt() e riempire fra le parentesi delimitando, con $, il tutto).
Ciao
B.