Topologie determinate da funzioni continue
[ot]Mi prode la lingua che non possa parlare di fasci e germi di fasci in un punto![/ot]
Dal primo corso di topologia è noto che dato uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), esso determina l'insieme[nota]od anello, ma non è importante[/nota] \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) allo spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
Ora considero gli insiemi \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle C(X)\)[nota]A questo punto \(\displaystyle C(X)\) è un insieme di funzione da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).[/nota]: posso determinare la topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle X\)? Come?
Personalmente: nel mio primo corso di topologia non ho mai visto un esercizio o un'osservazione così fondamentale per certi sviluppi\applicazioni della topologia; ecco perché lo propongo!
Dal primo corso di topologia è noto che dato uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), esso determina l'insieme[nota]od anello, ma non è importante[/nota] \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) allo spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
Ora considero gli insiemi \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle C(X)\)[nota]A questo punto \(\displaystyle C(X)\) è un insieme di funzione da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).[/nota]: posso determinare la topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle X\)? Come?
Personalmente: nel mio primo corso di topologia non ho mai visto un esercizio o un'osservazione così fondamentale per certi sviluppi\applicazioni della topologia; ecco perché lo propongo!
Risposte
Avevo trovato tra l’altro anche un altro controesempio.
Se \(X = \{ 1, 2, 3 \}\) e \(\displaystyle \mathcal{T} = \{ \emptyset, \{1, 2\}, X \} \) allora ogni funzione \(f\colon (X,\mathcal{T})\to (\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{std}})\) è definita dall'immagine dei tre elementi e la loro immagine è un insieme discreto di \(\displaystyle (\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{std}}) \). Siccome \(\displaystyle \{i\} \notin \mathcal{T} \) per ogni \(\displaystyle i\in X \) allora \(\displaystyle f(1) = f(2) = f(3) \). Perciò \(\displaystyle \mathcal{C}(X) \cong \mathbb{R} \).
D'altra parte \(\displaystyle \mathcal{S} = \{ \emptyset, X\} \neq \mathcal{T} \).
Non è poi così diverso da quello di Epimenide.
Se \(X = \{ 1, 2, 3 \}\) e \(\displaystyle \mathcal{T} = \{ \emptyset, \{1, 2\}, X \} \) allora ogni funzione \(f\colon (X,\mathcal{T})\to (\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{std}})\) è definita dall'immagine dei tre elementi e la loro immagine è un insieme discreto di \(\displaystyle (\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{std}}) \). Siccome \(\displaystyle \{i\} \notin \mathcal{T} \) per ogni \(\displaystyle i\in X \) allora \(\displaystyle f(1) = f(2) = f(3) \). Perciò \(\displaystyle \mathcal{C}(X) \cong \mathbb{R} \).
D'altra parte \(\displaystyle \mathcal{S} = \{ \emptyset, X\} \neq \mathcal{T} \).
Non è poi così diverso da quello di Epimenide.
Il punto 1 e' una variazione sul tema della dualita' di Gel'fand: $X$ di Hausdorff e localmente compatto e' sufficiente, ma Whitney(-Nash?) non lo rende necessario; il punto 2 e' interessante: forse chiedendo che le strutture di monoide su $V$ soddisfino l'identita' di Eckmann-Hilton? E' interessante; per il punto 3 (ma in effetti anche per tutti gli altri...) c'e' la dualita' di Isbell.
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