Sulla congettura di Catalan: numeri $q$-primari
Sia $\zeta_p$ una radice primitiva $p$-esima dell'unità.
Diremo che $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ è $q$-primario, con $q$ primo dispari, se esiste $\beta \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ tale che $\alpha \equiv \beta^q \mod p^2$.
Ora siano $C$ e $C_q$ rispettivamente il gruppo delle unità ciclotomiche e il gruppo delle unità ciclotomiche $q$-primarie di $\mathbb{Q}(\zeta_p)$.
Mostrare che se $p>q$ allora $C \ne C_q$.
Questo teorema è di fondamentale importanza per la dimostrazione della Congettura di Catalan (Teorema di Mihaiescu), infatti se esistessero soluzioni intere positive $a,b$ dell'equazione
$$a^p-b^q=1$$
con $p,q$ primi dispari, allora si può dimostrare (sotto opportune ipotesi) che $C=C_q$.
Diremo che $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ è $q$-primario, con $q$ primo dispari, se esiste $\beta \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ tale che $\alpha \equiv \beta^q \mod p^2$.
Ora siano $C$ e $C_q$ rispettivamente il gruppo delle unità ciclotomiche e il gruppo delle unità ciclotomiche $q$-primarie di $\mathbb{Q}(\zeta_p)$.
Mostrare che se $p>q$ allora $C \ne C_q$.
Questo teorema è di fondamentale importanza per la dimostrazione della Congettura di Catalan (Teorema di Mihaiescu), infatti se esistessero soluzioni intere positive $a,b$ dell'equazione
$$a^p-b^q=1$$
con $p,q$ primi dispari, allora si può dimostrare (sotto opportune ipotesi) che $C=C_q$.
Risposte
Sei sicuro?
Se $q
Forse vuoi che $\alpha\equiv\beta^q$ mod $q^2$ nella definizione di $q$-primarita'?
Se $q
Forse vuoi che $\alpha\equiv\beta^q$ mod $q^2$ nella definizione di $q$-primarita'?
Scusa il ritardo… sì è $\alpha \equiv \beta^q \mod q^2 $
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