Sul gruppo $S^n$, con $S$ semplice.

[Studente Anonimo]

Un esercizio che trovo divertente e molto istruttivo.

Sia [tex]S[/tex] un gruppo semplice. Dato un intero positivo [tex]n[/tex], consideriamo il gruppo [tex]G:=S^n = S_1 \times ... \times S_n[/tex], il prodotto diretto di [tex]S[/tex] con se stesso [tex]n[/tex] volte. Indichiamo con [tex]\pi_i:G \to S_i[/tex] la proiezione sull'[tex]i[/tex]-esimo fattore. Come sono fatti i sottogruppi massimali di [tex]G[/tex]? Ce ne vengono in mente di due tipi:

1. Dato un sottogruppo massimale [tex]H[/tex] di [tex]S[/tex], chiaramente [tex]\pi_i^{-1}(H)[/tex] è un sottogruppo massimale di [tex]G[/tex] per ogni [tex]i[/tex]. Si tratta del sottogruppo [tex]S \times ... \times S \times H \times S \times ... \times S[/tex] di [tex]G[/tex], dove [tex]H[/tex] sta al posto [tex]i[/tex]-esimo. Chiameremo un tale sottogruppo "massimale standard".

2. Dato un automorfismo [tex]\varphi_{ij}:S_i \to S_j[/tex], si ha che [tex]\Delta_{\varphi_{ij}} := \{(x,\varphi_{ij}(x))\ |\ x \in S_i\}[/tex] è un sottogruppo massimale di [tex]S_i \times S_j[/tex], e di conseguenza detto [tex]\pi_{ij}:G \to S_i \times S_j[/tex], [tex]g \mapsto (\pi_i(g),\pi_j(g))[/tex], il sottogruppo [tex]\pi_{ij}^{-1}(\Delta_{\varphi_{ij}})[/tex] di [tex]G[/tex] è massimale. Chiameremo un tale sottogruppo "massimale diagonale".

Quanto al punto "2", per vedere per esempio che [tex]\Delta := \{(x,x)\ |\ x \in S\}[/tex] è un sottogruppo massimale di [tex]S \times S[/tex] basta osservare che se [tex]\Delta < H \leq S \times S[/tex] allora [tex]H \cap S_1 = \{(s,1) \in H\ |\ s \in S\}[/tex] è un sottogruppo normale non banale di [tex]S_1[/tex] (è facile dimostrarlo) e quindi [tex]H \cap S_1 = S_1[/tex] (per la semplicità di [tex]S[/tex]). Quindi [tex]H[/tex] contiene il primo fattore, ma allora per simmetria contiene anche il secondo e quindi [tex]H = S \times S[/tex].

Dimostrare che ogni sottogruppo massimale di [tex]S^n[/tex] è standard oppure diagonale

Suggerimento (nuovo):

Per induzione. Il caso [tex]n=2[/tex] è abbordabile. Ora dato [tex]M[/tex] sottogruppo massimale non standard di [tex]G=S^n[/tex], le restrizioni [tex]\rho_i=\pi_i|_M[/tex] sono suriettive (altrimenti [tex]M[/tex] sarebbe standard) e grazie all'ipotesi induttiva possiamo supporre che [tex]M[/tex] non contenga nessun fattore e di conseguenza (...) [tex]M \cap S_i = \{1\}[/tex] per ogni [tex]i[/tex]. Osserviamo quindi che [tex]MS_i=G[/tex] per ogni [tex]i[/tex] e usando il secondo teorema di isomorfismo...

PS. Non è difficile come sembra

[j18eos]

Consentimi di iniziare con l'esplicitare quanto affermi qui!

"Martino":...Quanto al punto "2", per vedere per esempio che [tex]\Delta := \{(x,x)\ |\ x \in S\}[/tex] è un sottogruppo massimale di [tex]S \times S[/tex] basta osservare che se [tex]\Delta < H \leq S \times S[/tex] allora [tex]H \cap S_1 = \{(s,1) \in H\ |\ s \in S\}[/tex] è un sottogruppo normale non banale di [tex]S_1[/tex] (è facile dimostrarlo) e quindi [tex]H \cap S_1 = S_1[/tex] (per la semplicità di [tex]S[/tex]). Quindi [tex]H[/tex] contiene il primo fattore, ma allora per simmetria contiene anche il secondo e quindi [tex]H = S \times S[/tex]...

Che \(H\) sia un sottogruppo non banale è ovvio, esso è isomorfo ad \(S\) mediante l'applicazione: \[\varphi:(s;1)\in H\cap S_1\to s\in S\] quindi è normale in \(S\times S\)!

Il resto lo lascio a qualche volenteroso studente di algebra 1!
[ot]Mi sono accorto di avere un paio di bozze in sospeso da troppo tempo... [/ot]