Successione di \(C^1\) con estratta convergente in \(L^1\)
Propongo un esercizio di un docente della S.I.S.S.A.; lo stesso autore del seguente altro esercizio, di natura indipendente!
Prima della traccia, metto in spoiler le seguenti nozioni: norma, successione di Cauchy in norma e procedura diagonale; ovviamente chi le conosce può saltare la lettura!
Esercizio. Indicato con \(I=[0;1]\), sia \(\left\{u_n\in C^1(I):|u_n(0)|+\displaystyle{\int_I}\left|\dot u_n(t)\right|dt\leq1\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) allora esiste una successione estratta \(\{u_{n_k}\in C^1(I)\}_{k\in\mathbb{N}}\) convergente in norma \(\|\cdot\|_1\) a una funzione \(u\) di \(L^1(I)\).
Penso che bastino le conoscenze dei corsi di analisi matematica 1 e quanto ho messo in spoiler!
Prima della traccia, metto in spoiler le seguenti nozioni: norma, successione di Cauchy in norma e procedura diagonale; ovviamente chi le conosce può saltare la lettura!
Esercizio. Indicato con \(I=[0;1]\), sia \(\left\{u_n\in C^1(I):|u_n(0)|+\displaystyle{\int_I}\left|\dot u_n(t)\right|dt\leq1\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) allora esiste una successione estratta \(\{u_{n_k}\in C^1(I)\}_{k\in\mathbb{N}}\) convergente in norma \(\|\cdot\|_1\) a una funzione \(u\) di \(L^1(I)\).
Penso che bastino le conoscenze dei corsi di analisi matematica 1 e quanto ho messo in spoiler!
Risposte
Scusa j18eos ma proprio non ci arrivo a capire che mi vuoi suggerire... Provo allora a completare con le idee che ho esposto finora visto che altre vie non ne trovo 
...
Def: chiamo $\epsilon$ griglia con $\epsilon$ positivo minore di $1$ un insieme finito di punti su $[0,1]$ contenente sia lo 0 che l'1 e t.c. la più piccola distanza tra questi punti sia minore di $\epsilon$.
Prendiamo su $[0.1]$ un denso numerabile t.c. per ogni $\epsilon$ positivo piccolo a piacere esiste un naturale $N(\epsilon)$ t.c. i primi $N(epsilon)$ punti del denso siano una $\epsilon-$ griglia.
Non è difficile trovare esempi di un denso di questo tipo.
Con procedimento diagonale facciamo in modo di estrarre una sottosuccessione che converga su tutti i punti del denso.
Questa è la struttura, voglio provare a vedere che questa sottosuccessione è di Cauchy in $L^1$. Per questo fissiamo un $\epsilon'$. Prendiamo tra i punti del denso una $\epsilon'$ griglia. Grazie alle ipotesi di convergenza per $n,m>N$ vale che $|u_n(x)-u_m(x)|<\epsilon$ se $x$ appartiente alla $\epsilon'-$ griglia. $N$ dipende da $\epsilon$ ed $\epsilon'$. Uso ora il seguente lemma.
Lemma: sia $u$ regoler come nel problema t.c. $||u||_B<=2$ e su una $\epsilon'-$ griglia valga $|u| < \epsilon$. Allora $||u||_{L^1}<=\epsilon'+\epsilon$.
Dim: Ordino in ordine crescente con $I_k$ gli intervalli definiti dalla griglia e con $M_k$ il massimo del modulo della funzione nell'intervallo $k-$esimo. Allora:
$||u||_{L^1}=\sum_k \int_{I_k}|u|<=\sum_k M_k \epsilon' =2\sum_k (M_k-\epsilon)*(\epsilon')/2+\epsilon' \sum_k (\epsilon)<=$
$<=||u||_B(\epsilon')/2+\epsilon'*1/(\epsilon')\epsilon<=\epsilon'+\epsilon$,
avendo stimato il numero di intervalli e la sommatoria con i massimi in modo simile al post precedente. c.v.d.
Grazie al lemma sappiamo che $||u_n-u_m||_{L^1}<=\epsilon'+\epsilon$ per $n,m>N(\epsilon,\epsilon')$. Basta prendere quindi $\epsilon'=\epsilon$ ed abbiamo la proprietà di Cauchy.
Può andare?
...Def: chiamo $\epsilon$ griglia con $\epsilon$ positivo minore di $1$ un insieme finito di punti su $[0,1]$ contenente sia lo 0 che l'1 e t.c. la più piccola distanza tra questi punti sia minore di $\epsilon$.
Prendiamo su $[0.1]$ un denso numerabile t.c. per ogni $\epsilon$ positivo piccolo a piacere esiste un naturale $N(\epsilon)$ t.c. i primi $N(epsilon)$ punti del denso siano una $\epsilon-$ griglia.
Non è difficile trovare esempi di un denso di questo tipo.
Con procedimento diagonale facciamo in modo di estrarre una sottosuccessione che converga su tutti i punti del denso.
Questa è la struttura, voglio provare a vedere che questa sottosuccessione è di Cauchy in $L^1$. Per questo fissiamo un $\epsilon'$. Prendiamo tra i punti del denso una $\epsilon'$ griglia. Grazie alle ipotesi di convergenza per $n,m>N$ vale che $|u_n(x)-u_m(x)|<\epsilon$ se $x$ appartiente alla $\epsilon'-$ griglia. $N$ dipende da $\epsilon$ ed $\epsilon'$. Uso ora il seguente lemma.
Lemma: sia $u$ regoler come nel problema t.c. $||u||_B<=2$ e su una $\epsilon'-$ griglia valga $|u| < \epsilon$. Allora $||u||_{L^1}<=\epsilon'+\epsilon$.
Dim: Ordino in ordine crescente con $I_k$ gli intervalli definiti dalla griglia e con $M_k$ il massimo del modulo della funzione nell'intervallo $k-$esimo. Allora:
$||u||_{L^1}=\sum_k \int_{I_k}|u|<=\sum_k M_k \epsilon' =2\sum_k (M_k-\epsilon)*(\epsilon')/2+\epsilon' \sum_k (\epsilon)<=$
$<=||u||_B(\epsilon')/2+\epsilon'*1/(\epsilon')\epsilon<=\epsilon'+\epsilon$,
avendo stimato il numero di intervalli e la sommatoria con i massimi in modo simile al post precedente. c.v.d.
Grazie al lemma sappiamo che $||u_n-u_m||_{L^1}<=\epsilon'+\epsilon$ per $n,m>N(\epsilon,\epsilon')$. Basta prendere quindi $\epsilon'=\epsilon$ ed abbiamo la proprietà di Cauchy.
Può andare?
Scusa il ritardo, l'ultima volta che lessi questa tua dimostrazione a mente lucida mi parve corretta; ora non ti saprei dire, rimando a domani!
P.S.: Ti risponderò al tuo messaggio privato quanto prima.
P.S.: Ti risponderò al tuo messaggio privato quanto prima.
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