Somme irrazionali
Uno dei primi teoremi dimostrati in ogni corso di laurea in matematica è l'irrazionalità della radice quadrata di due.
Una immediata generalizzazione porta a provare l'irrazionalità di tutte le radici k-esime (di interi che non siano k-esime potenze perfette).
Basandosi sui risultati precedenti, un facile assurdo porta a provare l'irrazionalità della somma di radici quadrate di interi coprimi.
Insomma, quanto più in là ci si riesce a spingere?
(a) Cosa si può dire ad esempio della somma delle radici quadrate di n interi a due a due coprimi?
(b) E della somma di radici d'indici via via più alti di uno stesso numero? (p.es. $\sqrt{2}+\root{3}{2}+\root{4}{2}+\cdots$)
Conoscete altre generalizzazioni o risultati?
Una immediata generalizzazione porta a provare l'irrazionalità di tutte le radici k-esime (di interi che non siano k-esime potenze perfette).
Basandosi sui risultati precedenti, un facile assurdo porta a provare l'irrazionalità della somma di radici quadrate di interi coprimi.
Insomma, quanto più in là ci si riesce a spingere?
(a) Cosa si può dire ad esempio della somma delle radici quadrate di n interi a due a due coprimi?
(b) E della somma di radici d'indici via via più alti di uno stesso numero? (p.es. $\sqrt{2}+\root{3}{2}+\root{4}{2}+\cdots$)
Conoscete altre generalizzazioni o risultati?
Risposte
"_fabricius_":
[...]Basandosi sui risultati precedenti, un facile assurdo porta a provare l'irrazionalità della somma di radici quadrate di interi coprimi. [...]
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Grazie della precisazione, mi ero dimenticato di rispecificare la condizione che non fossero quadrati perfetti!
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