Somma di infiniti numeri razionali
Buongiorno a tutti 
.
E' noto che in generale la somma di infiniti numeri razionali non è un razionale. Anzi, è possibile definire i numeri reali (tramite le espansioni decimali) come somme di particolari successioni di numeri razionali. La mia domanda è: data una successione di numeri razionali sommabile, quali ipotesi si possono aggiungere su di essa perchè la somma di tutti i suoi termini sia ancora un razionale?
.E' noto che in generale la somma di infiniti numeri razionali non è un razionale. Anzi, è possibile definire i numeri reali (tramite le espansioni decimali) come somme di particolari successioni di numeri razionali. La mia domanda è: data una successione di numeri razionali sommabile, quali ipotesi si possono aggiungere su di essa perchè la somma di tutti i suoi termini sia ancora un razionale?
Risposte
Risposta idiota: solo finiti termini sono non nulli!
Una condizione necessaria ma non sufficiente la si può ricavare dal criterio di Liouville.
Altro non mi viene in mente...
Una condizione necessaria ma non sufficiente la si può ricavare dal criterio di Liouville.
Altro non mi viene in mente...
"j18eos":
Una condizione necessaria ma non sufficiente la si può ricavare dal criterio di Liouville.
Non ho capito cosa c'entra questa pagina che hai linkato. Puoi spiegarti?
Comunque se prendiamo $a_n= (1/2)^n$ si ha $a_n in QQ\\{0}$ e $sum_{n=1}^{+oo}a_n= 1 in QQ$
Una risposta alla domanda di Vave può essere data ricorrendo al fatto che un numero razionale può essere sempre rappresentato da un numero decimale periodico.
La rappresentazione decimale periodica di un razionale può essere scritta in forma di serie geometrica, ad esempio:
$ 0,bar(17)=0,171717...=0,17+0,0017+0,000017+...=0,17(1+10^-2+10^-4...) $ $ =0.17(1/(1-10^-2))=0,17(10^2/99)=17/99.$
Quindi una serie di razionali converge a un razionale se è della forma:
$0,n_1n_2...n_n (1+10^-2+10^-4+...)$
E' una condizione sufficiente, ovviamente non necessaria, si possono trovare miliardi di esempi di serie di razionali non di questa forma che convergono a razionali, vedi l'esempio delle successioni definitivamente nulle fatto da j18eos.
Sarei anche io curiosa di sapere a che pensava come condizione necessaria j18eos con quel link.
Esisteranno condizioni necessarie e sufficienti? Boh, istintivamente direi di no, si possono immaginare ,mi sembra, troppe serie di razionali che convergono a un razionale completamente diverse tra loro.
La rappresentazione decimale periodica di un razionale può essere scritta in forma di serie geometrica, ad esempio:
$ 0,bar(17)=0,171717...=0,17+0,0017+0,000017+...=0,17(1+10^-2+10^-4...) $ $ =0.17(1/(1-10^-2))=0,17(10^2/99)=17/99.$
Quindi una serie di razionali converge a un razionale se è della forma:
$0,n_1n_2...n_n (1+10^-2+10^-4+...)$
E' una condizione sufficiente, ovviamente non necessaria, si possono trovare miliardi di esempi di serie di razionali non di questa forma che convergono a razionali, vedi l'esempio delle successioni definitivamente nulle fatto da j18eos.
Sarei anche io curiosa di sapere a che pensava come condizione necessaria j18eos con quel link.
Esisteranno condizioni necessarie e sufficienti? Boh, istintivamente direi di no, si possono immaginare ,mi sembra, troppe serie di razionali che convergono a un razionale completamente diverse tra loro.
Nulla...
Data una serie (assolutamente) convergente di numeri razionali che non soddisfa il criterio di Liouville, allora la "somma" non è un numero (trascendente) di Liouville.
L'idea era quella di escludere almeno i numeri trascendenti tramite apposito criterio, ma come mi sono ricordato poi, non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville; e.g. \(\displaystyle e\) e \(\displaystyle\pi\)!
Conoscete altri criteri per la trascendenza?
Poi la domanda è un pò troppo "ampia", ad esempio \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\notin\mathbb{Q}\) eppure soddisfa le ipotesi del problema...
Data una serie (assolutamente) convergente di numeri razionali che non soddisfa il criterio di Liouville, allora la "somma" non è un numero (trascendente) di Liouville.
L'idea era quella di escludere almeno i numeri trascendenti tramite apposito criterio, ma come mi sono ricordato poi, non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville; e.g. \(\displaystyle e\) e \(\displaystyle\pi\)!
Conoscete altri criteri per la trascendenza?
Poi la domanda è un pò troppo "ampia", ad esempio \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\notin\mathbb{Q}\) eppure soddisfa le ipotesi del problema...
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