[SNS] Es. 1 2016, Analisi

[Dobrogost]

Ciao! Mi è sorto un dubbio su questo esercizio per l'ammissione al IV anno in normale:

Siano i punti del piano definiti in coordinate polari $(r,\phi)$. Consideriamo l'anello $A={2 \le r \le 3}$ e sia $F:A\to A$ t.c. $F(r,\phi)=(r,r\phi mod2\pi)$. Sia $g:A\to \mathbb{R}$ una funzione continua. Discutere l'esistenza di \begin{align} \lim_{n\to \infty} \int_{A}g\left(F^{(n)}(x)\right)\,dx\end{align}, dove $F^{(n)}$ indica F composta con sè stessa n volte.

Ora, io mi sto perdendo qualcosa SICURAMENTE, ma perchè non posso dire:

$F^{(n)}(r,\phi)=(r,r^n\phi mod2\pi)$. Essendo allora g continua su un compatto, ammette massimo e minimo e dunque il limite è sicuramente finito, essendo $\int_{A}g\dx< max\{g\}*|A|$

?

[Half95]

non ho neanche provato a risolverlo ma ad occhio il problema è che il limite potrebbe benissimo non esistere, dopo provo a farlo.

[j18eos]

No: hai una successione a valori in un intervallo chiuso e limitato; e non è detto che questa converga!

[Dobrogost]

Grazie per le risposte, adesso ci guardo meglio

[Rigel1]

Se non sbaglio l'integrale converge a $\int_A g$.

A meno di dettagli, grosso modo si ha che
\[
I_n := \int_A g(F^{(n)}) = \int_2^3 r \int_0^{2\pi} g(r e^{i r^n \phi}) d\phi\, dr.
\]
L'integrale più interno si può riscrivere col cambio di variabile $\theta = r^n \phi$ come
\[
\int_0^{2\pi} g(r e^{i r^n \phi}) d\phi =
\frac{1}{r^n} \int_0^{2\pi r^n} g(r e^{i\theta})\, d\theta = 2\pi \overline{g}(r) + O(r^{-n}),
\]
dove
\[
\overline{g}(r) := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(r e^{i\theta})\, d\theta
\]
è la media integrale di $g$ sulla circonferenza di raggio $r$.
Di conseguenza
\[
I_n \to 2\pi \int_2^3 r\, \overline{g}(r)\, dr = \int_A {g}.
\]

[Dobrogost]

C'è una cosa che non mi torna Rigel..

Te dici che l'integrale è $2\pi\hat{g}(r)$, dove $\hat{g}(r)$ è la media su $[0,2\pi]$ di $g(r,\theta)$. Ma non dovrebbe essere la media su $[0,2\pi r^n]$? In pratica, come fai ad "eliminare" $r$?

[Rigel1]

@Dobrogost:

Hai un integrale del tipo
\[
\frac{1}{R}\int_0^{2\pi R} g(r e^{i\theta})\, d\theta,
\]
con $R$ che sta tendendo a $+\infty$ (qui $R = r^n$ e $r\geq 2$).
L'idea è quella di integrare su $[R]$ periodi (con $[R]=$ parte intera di $R$), per cui ottieni qualcosa del tipo
\[
\frac{1}{R}\int_0^{2\pi R} g(r e^{i\theta})\, d\theta =
\frac{1}{[R]}\int_0^{2\pi [R]} g(r e^{i\theta})\, d\theta
+ \frac{\text{resto}}{R},
\]
dove il "resto" è una quantità limitata (la puoi stimare sostanzialmente con l'integrale su un periodo di $g$).
Ma, ora, sfruttando la periodicità,
\[
\frac{1}{[R]}\int_0^{2\pi [R]} g(r e^{i\theta})\, d\theta
= \int_0^{2\pi} g(r e^{i\theta})\, d\theta.
\]

[Dobrogost]

Tutto molto chiaro, grazie