Scuola Superiore di Udine, prob 1 (algebra elementare) 08/09
Questo era fattibile, buono per chi vuole ripassare un po' di algebra di base con un esercizio carino.
Si consideri il polinomio
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Sappiamo che
$ad>0$
Stabilire se le seguenti affermazioni, prese una per volta, sono vere, false o se la loro validità dipende dai casi.
i)Il polinomio ammette 3 radici positive
ii)Il polinomio ammette almeno una radice negativa
iii)Il polinomio si annulla per un valore $x_0>100$
iv)La funzione $p(x)$ è concava verso il basso per $x>0$
Buone cose!
Si consideri il polinomio
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Sappiamo che
$ad>0$
Stabilire se le seguenti affermazioni, prese una per volta, sono vere, false o se la loro validità dipende dai casi.
i)Il polinomio ammette 3 radici positive
ii)Il polinomio ammette almeno una radice negativa
iii)Il polinomio si annulla per un valore $x_0>100$
iv)La funzione $p(x)$ è concava verso il basso per $x>0$
Buone cose!
Risposte
Grazie mille!
prego!
Steven,potresti postare la dimostrazione che il prodotto delle tre radici di un equazione di 3°grado è uguale a $-d/a$? Grazie.
Volentieri 
Scriviamo per l'appunto l'equazione per trovare le radici del polinomio.
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ o anche, dividendo per $a!=0$, si ha $x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=0$
ma, dette $x_1,x_2,x_3$ le tre radici il polinomio può scriversi
$x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Svolgendo i calcoli al secondo membro, ho
$x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=x^3-(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x^2+(x_1+x_2+x_3)x-x_1x_2x_3$
quindi, per il principio di identità dei polinomi, vale
$b/a=-(x_1x_2+x_1x_3+x-2x_3)$
$c/a=(x_1+x_2+x_3)$
e, infine,
$d/a=-x_1x_2x_3$
Sbucano fuori ogni tanto, non le ricordo mai e devo sempre ricavarmele.
Ciao!
Scriviamo per l'appunto l'equazione per trovare le radici del polinomio.
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ o anche, dividendo per $a!=0$, si ha $x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=0$
ma, dette $x_1,x_2,x_3$ le tre radici il polinomio può scriversi
$x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
Svolgendo i calcoli al secondo membro, ho
$x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=x^3-(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x^2+(x_1+x_2+x_3)x-x_1x_2x_3$
quindi, per il principio di identità dei polinomi, vale
$b/a=-(x_1x_2+x_1x_3+x-2x_3)$
$c/a=(x_1+x_2+x_3)$
e, infine,
$d/a=-x_1x_2x_3$
Sbucano fuori ogni tanto, non le ricordo mai e devo sempre ricavarmele.
Ciao!
grazie mille.. Ma quindi somma delle soluzione $-b/a$e prodotto delle soluzioni $c/a$ non vale solo per le equazioni di secondo grado,ma vale qualsiasi equazione di grado n?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo