Scuola Superiore di Udine, prob 1 (algebra elementare) 08/09
Questo era fattibile, buono per chi vuole ripassare un po' di algebra di base con un esercizio carino.
Si consideri il polinomio
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Sappiamo che
$ad>0$
Stabilire se le seguenti affermazioni, prese una per volta, sono vere, false o se la loro validità dipende dai casi.
i)Il polinomio ammette 3 radici positive
ii)Il polinomio ammette almeno una radice negativa
iii)Il polinomio si annulla per un valore $x_0>100$
iv)La funzione $p(x)$ è concava verso il basso per $x>0$
Buone cose!
Si consideri il polinomio
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Sappiamo che
$ad>0$
Stabilire se le seguenti affermazioni, prese una per volta, sono vere, false o se la loro validità dipende dai casi.
i)Il polinomio ammette 3 radici positive
ii)Il polinomio ammette almeno una radice negativa
iii)Il polinomio si annulla per un valore $x_0>100$
iv)La funzione $p(x)$ è concava verso il basso per $x>0$
Buone cose!
Risposte
La iv si risolve considerando il segno della derivata seconda di p(x), cioè p''(x)=6ax+2b.
Ora considero il caso in cui b=0 e pongo p''(x)<0, cioè 6ax<0. Affinchè sia vera la proposizione iv (ottenere cioè x>0) si deve porre a<0.
Quindi la iv è vera se b=0 e a<0 (di conseguenza d<0).
La condizione ad>0 non credo che sia rilevante in questo caso, perchè d non è presente nell'espressione analitica di p''(x).
Ora considero il caso in cui b=0 e pongo p''(x)<0, cioè 6ax<0. Affinchè sia vera la proposizione iv (ottenere cioè x>0) si deve porre a<0.
Quindi la iv è vera se b=0 e a<0 (di conseguenza d<0).
La condizione ad>0 non credo che sia rilevante in questo caso, perchè d non è presente nell'espressione analitica di p''(x).
Per la i ho pensato così. Condizione necessaria (ma non sufficiente) per avere 3 radici positive è avere 2 punti stazionari per x>0.
Calcolo la derivata prima di p(x) e trovo p'(x)=3ax+2bx+c.
Risolvo l'equazione p(x)=0 per trovare i punti stazionari.
Esce x= [-b +o- RAD(b^2-3ac)]/3a.
Innanzitutto si deve avere b^2-3ac>0 per ottenere due radici reali (e quindi due punti stazionari).
Devo ottenere inoltre due radici positive.
Se a>0 il numeratore deve essere positivo; affinchè ciò avvenga, deve essere b<0 e RAD(b^2-3ac)<-b.
Se a<0, il numeratore deve essere negativo: ciò, però, non può mai avvenire contemporaneamente per il + e il - (ho fatto uno schemetto per verificarlo).
Quindi le condizioni sono b^2-3ac>0 e a>0 e b<0 e RAD(b^2-3ac)<-b.
(Scusate se apporto modifiche, ma mi sono accorto di un errore).
A questo punto potrei "semplificare" ulteriormente le condizioni per renderle più snelle...in ogni caso per ora non saprei come impostare la condizione "sufficiente".
Calcolo la derivata prima di p(x) e trovo p'(x)=3ax+2bx+c.
Risolvo l'equazione p(x)=0 per trovare i punti stazionari.
Esce x= [-b +o- RAD(b^2-3ac)]/3a.
Innanzitutto si deve avere b^2-3ac>0 per ottenere due radici reali (e quindi due punti stazionari).
Devo ottenere inoltre due radici positive.
Se a>0 il numeratore deve essere positivo; affinchè ciò avvenga, deve essere b<0 e RAD(b^2-3ac)<-b.
Se a<0, il numeratore deve essere negativo: ciò, però, non può mai avvenire contemporaneamente per il + e il - (ho fatto uno schemetto per verificarlo).
Quindi le condizioni sono b^2-3ac>0 e a>0 e b<0 e RAD(b^2-3ac)<-b.
(Scusate se apporto modifiche, ma mi sono accorto di un errore).
A questo punto potrei "semplificare" ulteriormente le condizioni per renderle più snelle...in ogni caso per ora non saprei come impostare la condizione "sufficiente".
"VINX89":
La iv si risolve considerando il segno della derivata seconda di p(x), cioè p''(x)=6ax+2b.
Ora considero il caso in cui b=0 e pongo p''(x)<0, cioè 6ax<0. Affinchè sia vera la proposizione iv (ottenere cioè x>0) si deve porre a<0.
Quindi la iv è vera se b=0 e a<0 (di conseguenza d<0).
La condizione ad>0 non credo che sia rilevante in questo caso, perchè d non è presente nell'espressione analitica di p''(x).
Mmmmmm..........pensandoci bene la iv è vera anche nel caso particolare in cui p(x) diventa una parabola (con a=0). In tal caso basterebbe porre b<0 e
(-c/2b)<=0....cioè c<=0. Però si deve avere ad>0, quindi questo caso non vale...(scusate se sto invadendo questo topic con i miei interventi!)
Posto come ho risolto il secondo punto il spoiler..
Naturalmente dal punto due segue il punto 1, per il teorema fondamentale dell'algebra. Ovvero il polinomio avrà al più 3 radici, e se una è di sicuro negativa, il punto 1 è falso.
Per il punto 4:
Per quanto riguarda il terzo punto,secondo me dipende dai casi..
spero di cavarmela con lo spoiler. ci credo poco. eventualmente provvedi tu.
ciao.
Sono tornato oggi a casa, allora, vediamo un attimo.
Non puoi dire "considero b=0", in questo modo stai tralasciando tutti gli altri casi.
Ok kekko89 per i punti 1 e 2, mentre non ho capito come collega la soluzione che dai del 3 alla richiesta effettiva.
Hai pensato che potrebbe essere $a<0$?
Per il 4, io mi sono limitato a riportare dei casi che non coincidono.
Ma non ho capito perché adaBTTLS dice che può essere solo se a,d<0.
Inoltre non penso sia giusto, kekko, dire che a e b devono essere discordi.
Se fossero concordi andrebbe a genio, perché il secondo membro sarebbe negativo, il primo positivo, quindi sempre vera.
Domani posto le mie soluzioni.
Ciao!
"Vinx89":
Ora considero il caso in cui b=0 e pongo p''(x)<0, cioè 6ax<0.
Non puoi dire "considero b=0", in questo modo stai tralasciando tutti gli altri casi.
Ok kekko89 per i punti 1 e 2, mentre non ho capito come collega la soluzione che dai del 3 alla richiesta effettiva.
Hai pensato che potrebbe essere $a<0$?
Per il 4, io mi sono limitato a riportare dei casi che non coincidono.
Ma non ho capito perché adaBTTLS dice che può essere solo se a,d<0.
Inoltre non penso sia giusto, kekko, dire che a e b devono essere discordi.
Se fossero concordi andrebbe a genio, perché il secondo membro sarebbe negativo, il primo positivo, quindi sempre vera.
Domani posto le mie soluzioni.
Ciao!
Per il terzo punto,è sicuro che il polinomio abbia almeno una radice negativa.. Ma non è detto che ne debba avere qualcuna positiva. E a maggior ragione,maggiore di cento. Potremmo dare dei valori al polinomio,affinchè di annulli per $x>100$, ma sono appunto valori arbitrari..(basta sostituire,per esempio,$x=101$ e trovare una relazione che lega i parametri a,b,c,d. Ma è vero anche che calcolando la derivata prima,otteniamo che : $3ax^2+2bx+c$. Se la derivata prima è sempre positiva,vuol dire che la funzione è crescente (in questo caso $a>0$). Se invece è sempre negativa,è decrescente,ovvero $a<0$. In tutti e due i casi,il polinomio avrà una sola radice negativa. Quindi non è vero che il polinomio si annulla per $x>100$,ma dipende dai casi..
Va bene kekko89, ho capito.
Posto la mia risoluzione.
i)Procedo usando le note relazioni che intercorrono tra i coefficienti dei termini del polinomio, e le radici.
Si può dimostrare facilmente, che dette $x_1,x_2,x_3$ le radici, si ha
$x_1x_2x_3=-d/a$
Ma siccome $ad>0$ per hp, i due termini sono concordi, quindi anche $d/a>0$ e risulta dunque
$x_1x_2x_3<0$
Quindi è evidente che le tre radici non possono essere contemporaneamente positive.
ii)Sempre vera. Discende banalmente da i)
iii)
Forza bruta
$p(x)=(x-101)^2(x+1)$
e
$p(x)=(x+1)^3$
Entrambi i polinomi rispettano le ipotesi, ma il primo ammette una radice maggiore di cento, il secondo no.
Non è vero o falso, dipende dai casi.
iv)Come voi, alla fine.
Ciao.
Posto la mia risoluzione.
i)Procedo usando le note relazioni che intercorrono tra i coefficienti dei termini del polinomio, e le radici.
Si può dimostrare facilmente, che dette $x_1,x_2,x_3$ le radici, si ha
$x_1x_2x_3=-d/a$
Ma siccome $ad>0$ per hp, i due termini sono concordi, quindi anche $d/a>0$ e risulta dunque
$x_1x_2x_3<0$
Quindi è evidente che le tre radici non possono essere contemporaneamente positive.
ii)Sempre vera. Discende banalmente da i)
iii)
Forza bruta
$p(x)=(x-101)^2(x+1)$
e
$p(x)=(x+1)^3$
Entrambi i polinomi rispettano le ipotesi, ma il primo ammette una radice maggiore di cento, il secondo no.
Non è vero o falso, dipende dai casi.
iv)Come voi, alla fine.
Ciao.
scusami, ma ormai questo quesito l'avevo messo nel dimenticatoio!
spero di riuscire a chiarire il tuo dubbio.
... puoi anche vederlo con lo studio del segno delle derivate, ma non serve se hai presente com'è fatta una cubica.
se a,d>0, nell'intorno di -infinito la funzione p(x) è negativa e concava, mentre nell'intorno di +infinito è positiva e convessa (dipende appunto dal segno di a)
se deve essere concava verso il basso per x>0, io suppongo significhi per ogni x positivo, quindi anche nell'intorno di +infinito.
dunque deve essere a<0. d concorde con a lo impone il problema. in tal caso però è sì possibile ma non si verifica se il polinomio, ad esempio, ha una radice negativa e due radici positive.
ciao.
spero di riuscire a chiarire il tuo dubbio.
... puoi anche vederlo con lo studio del segno delle derivate, ma non serve se hai presente com'è fatta una cubica.
se a,d>0, nell'intorno di -infinito la funzione p(x) è negativa e concava, mentre nell'intorno di +infinito è positiva e convessa (dipende appunto dal segno di a)
se deve essere concava verso il basso per x>0, io suppongo significhi per ogni x positivo, quindi anche nell'intorno di +infinito.
dunque deve essere a<0. d concorde con a lo impone il problema. in tal caso però è sì possibile ma non si verifica se il polinomio, ad esempio, ha una radice negativa e due radici positive.
ciao.
dunque deve essere a<0. d concorde con a lo impone il problema. in tal caso però è sì possibile ma non si verifica se il polinomio, ad esempio, ha una radice negativa e due radici positive.
Mi verrebbe da dire che una condizione necessaria affinché vi sia concavità vero il basso per $x>0$ è che le radici siano tutte e tre negative.
Infatti due negative e 1 positiva non si può perché il prodotto delle tre sarebbe maggiore di zero, assurdo per la mia dimostrazione.
Una negativa e due positive dici di no, perché mi pare che per $x>0$ ci starebbero almeno due flessi.
E' questo che intendevi?
Grazie per tutto, ciao e buona domenica!
nel mio messaggio originario dovrebbe capirsi meglio. in realtà, a cercare di spiegarsi, si commettono delle imprecisioni.
intendevo dire che d<0 impone f(0)=d<0. se per x>0 la f assume valori >d vuol dire che potrebbe avere un flesso per un valore di x>0,
ma in realtà non necessariamente, mentre se f(x)0, allora sicuramente l'ipotesi iv) è verificata.
cioè è possibile che, con una soluzione negativa e due soluzioni positive (come anche con una soluzione negativa e due soluzioni complesse dell'equazione associata) sia che iv) valga sia che iv) sia falsa. con a>0 è sicuramente falsa. con a<0 è sicuramente vera solo se ci sono 3 radici negative.
mi permetto di suggerirti qualche esempio buttato giù così, forse potrebbe funzionare:
considera f(x) uguale ad uno dei quattro polinomi che ti scrivo, o anche agli opposti (cambiando tutti i segni):
$x^3+2x^2-x+6$, $x^3-3x^2-4x+12$, $x^3+x^2+1$, $x^3-x+1$.
puoi fare lo studio delle 8 funzioni (sono semplici e di calcoli rapidi) e vedere che cosa succede: io non ho visto dove sono concave verso l'alto, però mi aspetto che non siano troppo simili l'una dall'altra in tal senso).
buona domenica. ciao.
intendevo dire che d<0 impone f(0)=d<0. se per x>0 la f assume valori >d vuol dire che potrebbe avere un flesso per un valore di x>0,
ma in realtà non necessariamente, mentre se f(x)
cioè è possibile che, con una soluzione negativa e due soluzioni positive (come anche con una soluzione negativa e due soluzioni complesse dell'equazione associata) sia che iv) valga sia che iv) sia falsa. con a>0 è sicuramente falsa. con a<0 è sicuramente vera solo se ci sono 3 radici negative.
mi permetto di suggerirti qualche esempio buttato giù così, forse potrebbe funzionare:
considera f(x) uguale ad uno dei quattro polinomi che ti scrivo, o anche agli opposti (cambiando tutti i segni):
$x^3+2x^2-x+6$, $x^3-3x^2-4x+12$, $x^3+x^2+1$, $x^3-x+1$.
puoi fare lo studio delle 8 funzioni (sono semplici e di calcoli rapidi) e vedere che cosa succede: io non ho visto dove sono concave verso l'alto, però mi aspetto che non siano troppo simili l'una dall'altra in tal senso).
buona domenica. ciao.
Beh sì, ho disegnato i grafici con Derive, e le ho cambiate di segno (senza cambiarle di segno era evidente che non mi soddisfacevano, per $x$ grande).
La prima ad esempio ha una sola radice positiva e rispetta iv)
La seconda ha un flesso spudorato in 1/2, una radice negativa e due positive
La terza ne ha una sola negativa e rispetta iv)
La quarta come la terza, flesso in 0
Infatti
Ciao!
La prima ad esempio ha una sola radice positiva e rispetta iv)
La seconda ha un flesso spudorato in 1/2, una radice negativa e due positive
La terza ne ha una sola negativa e rispetta iv)
La quarta come la terza, flesso in 0
però mi aspetto che non siano troppo simili l'una dall'altra in tal senso)
Infatti
Ciao!
ciao!
i calcoli però dovevano essere semplici. perché non ne scegli un paio e le svolgi "a mano"?
i calcoli però dovevano essere semplici. perché non ne scegli un paio e le svolgi "a mano"?
"adaBTTLS":
ciao!
i calcoli però dovevano essere semplici. perché non ne scegli un paio e le svolgi "a mano"?
Fatto.
Non ho visto niente di particolare però... doveva uscirmi qualcosa di inatteso?
assolutamente no. però utilizzare programmi informatici quando se ne può fare a meno...
certo che per il confronto di tutti i grafici velocemente poteva aver senso...
sarà che io sono "vecchio stampo" e mi piace ricorrere di più al calcolo manuale...
certo che per il confronto di tutti i grafici velocemente poteva aver senso...
sarà che io sono "vecchio stampo" e mi piace ricorrere di più al calcolo manuale...
"adaBTTLS":
assolutamente no. però utilizzare programmi informatici quando se ne può fare a meno...
Ma, sarà perché sono uscito adesso da 5 anni in cui la maggior parte dei procedimenti era di tipo meccanico, o forse perché ancora devo fare le valige e domani volo a Catania, o forse perché sono impigrito, chissà..
Buona serata!
buona serata e buon viaggio!
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