Risolvete questo mentre io vedo la partita ...

[Sk_Anonymous]

Calcolare quanto vale la sommatoria appresso indicata :
$\sum_{n=1}^{\infty}\arctan(2/{n^2})$

Risultato =$3/4 pi$

[Zero87]

$arctan(2/n^2)= arctan((n+1-(n-1))/(1+(n-1)(n+1)))= arctan(n+1)-arctan(n-1)$
da cui
$\sum_(n=1)^\infty (arctan(n+1)-arctan(n-1))=[lim_(n->+\infty) arctan(n+1)]-arctan(1) = \pi/2-pi/4=\pi/4$.

Ho utilizzato una proprietà dell'arcotangente e le serie telescopiche.

Io ci ho provato e secondo me il ragionamento è giusto:
- domanda 1, dove ho sbagliato?
- domanda 2, che partita hai visto di bello?

[Sk_Anonymous]

Non si tratta di una vera e propria serie telescopica ( lo avevo pensato anch'io sul momento). Se scrivi 4 o 5 termini della serie te ne accorgi...Del resto basta vedere che, se si considera anche solo il primo termine della serie, si ha :
$a_1=arctan(2)=1.107...> {pi}/4=0.785...$ e siccome tutti gli altri termini della serie sono positivi, la somma limite sarà certamente maggiore di ${pi}/4$

[Zero87]

"ciromario":Non si tratta di una vera e propria serie telescopica ( lo avevo pensato anch'io sul momento). Se scrivi 4 o 5 termini della serie te ne accorgi...

Sì, in sé non lo è, ma manipolandola con la proprietà dell'arcotangente che ho usato, l'avevo ricondotta ad una serie telescopica, tranne un paio di termini ($arctan(0)=0$ e $arctan(1)=\pi/4$) che ho comunque considerato.

Del resto basta vedere che, se si considera anche solo il primo termine della serie, si ha :
$a_1=arctan(2)=1.107...> {pi}/4=0.785...$ e siccome tutti gli altri termini della serie sono positivi, la somma limite sarà certamente maggiore di ${pi}/4$

Questo è vero, infatti ho il sospetto che qualcosa m'è sfuggito. Nel senso che sono piuttosto sicuro che il ragionamento che ho seguito non è niente male, ma qualcosa m'è sfuggito.

P.S. In realtà seguo un po' distrattamente la partita che segue mio padre ( che è originario della Campania )

Personalmente ho in mente solo il calcio anche se so che il Napoli ha pareggiato ieri contro l'Inter se non mi inganna la memoria.

[ViciousGoblin]

Il metodo di Zero87 è giusto - L'errore è questo:

$\sum_{n=1}^k(a_{n+1}-a_{n-1})=\sum_{n=2}^{k+1}a_n-\sum_{n=0}^{k-1}a_n=a_k+a_{k+1}-a_0-a_1$ e quindi
$\sum_{n=1}^\infty(a_{n+1}-a_{n-1})=\lim_{k\to\infty}(a_k+a_{k+1})-a_0-a_1$.
Prendendo $a_n=\arctan(n)$ viene $\pi/2+\pi/2-0-\pi/4=3/4 \pi$

[Zero87]

Grazie per avermi fatto notare l'errore... m'ero scordato di un termine che avevo "assimilato" nel primo.