"misurare" il disordine....
Salve, non sapevo in che sezione postare, come sempre ogni volta che comincio a lambiccarmi il cervello su problemi pratici cercando sempre un aspetto "matematico" senza averne le basi (o forse le avevo ma sono ormai dimenticate...).
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"? E tali grandezze una volta definite possono essere in qualche modo "misurate"? E date 2 qualunque disposizioni è possibile stabilire in un certo modo quale delle due ha un minor grado di disordine? Esiste un disordine massimo oltre al quale è impossibile andare, o un disordine "minimo"?
Inoltre: una cosa è il concetto ordine-disordine, un'altra il concetto regolarità-irregolarità, che dovrebbero essere secondo me 2 grandezze diverse. Mi spiego:
prendiamo 10 punti in uno spazio quadrato di lato 1 metro. Mettiamo tutti e 10 i punti in modo che occupino una piccola regione di spazio (es. 10x10cm), ma all'interno di tale sotto-regione sono disposti in modo casuale. Bene, tali punti secondo me sono disposti in modo "irregolare", ma rispetto allo spazio totale sono "ordinati" proprio perchè sono concentrati in una zona ristretta e non sparpagliati in giro.
Cioè, il concetto di "regolarità" dovrebbe tener conto della disposizione reciproca dei punti (se formano allineamenti, o raggruppamenti equidistanti, ecc....) mentre il concetto di ordine o disordine dovrebbe essere un concetto globale, che ricorda l'entropia in fisica. Qui però parliamo di oggetti finiti.
Ad esempio: gli alberi in un bosco, o gli edifici in una città. In un bosco se ci pensiamo bene la disposizione degli alberi non è del tutto casuale, e di contro, in una città le case non sono necessariamente disposte in posizione perfettamente regolare e ordinata. Vorrei trovare un modo semplice per "misurare" queste grandezze data una qualsiasi configurazione di oggetti all'interno di una zona. Io penso che questo problema sia già stato affrontato in termini matematici, quindi non dovrebbe essere difficile trovare dei riferimenti....
(Poi eventualmente in seguito si potrebbe complicare il problema introducendo entità di tipo diverso, aventi diversa "taglia" e diversi orientamenti nello spazio... ma per il momento mi accontento del caso semplice)....
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"? E tali grandezze una volta definite possono essere in qualche modo "misurate"? E date 2 qualunque disposizioni è possibile stabilire in un certo modo quale delle due ha un minor grado di disordine? Esiste un disordine massimo oltre al quale è impossibile andare, o un disordine "minimo"?
Inoltre: una cosa è il concetto ordine-disordine, un'altra il concetto regolarità-irregolarità, che dovrebbero essere secondo me 2 grandezze diverse. Mi spiego:
prendiamo 10 punti in uno spazio quadrato di lato 1 metro. Mettiamo tutti e 10 i punti in modo che occupino una piccola regione di spazio (es. 10x10cm), ma all'interno di tale sotto-regione sono disposti in modo casuale. Bene, tali punti secondo me sono disposti in modo "irregolare", ma rispetto allo spazio totale sono "ordinati" proprio perchè sono concentrati in una zona ristretta e non sparpagliati in giro.
Cioè, il concetto di "regolarità" dovrebbe tener conto della disposizione reciproca dei punti (se formano allineamenti, o raggruppamenti equidistanti, ecc....) mentre il concetto di ordine o disordine dovrebbe essere un concetto globale, che ricorda l'entropia in fisica. Qui però parliamo di oggetti finiti.
Ad esempio: gli alberi in un bosco, o gli edifici in una città. In un bosco se ci pensiamo bene la disposizione degli alberi non è del tutto casuale, e di contro, in una città le case non sono necessariamente disposte in posizione perfettamente regolare e ordinata. Vorrei trovare un modo semplice per "misurare" queste grandezze data una qualsiasi configurazione di oggetti all'interno di una zona. Io penso che questo problema sia già stato affrontato in termini matematici, quindi non dovrebbe essere difficile trovare dei riferimenti....
(Poi eventualmente in seguito si potrebbe complicare il problema introducendo entità di tipo diverso, aventi diversa "taglia" e diversi orientamenti nello spazio... ma per il momento mi accontento del caso semplice)....
Risposte
Come avrai notato, non è un concetto facile da definire, ogni test valuta un aspetto magari trascurandone un altro.
A questo link http://www.random.org/analysis/ puoi trovare riferimenti a diversi test statistici di randomicità, che credo possano rispondere alla tua domanda.
Eventualmente aggiornami, perché è una questione interessante.
A questo link http://www.random.org/analysis/ puoi trovare riferimenti a diversi test statistici di randomicità, che credo possano rispondere alla tua domanda.
Eventualmente aggiornami, perché è una questione interessante.
Riesumo questo 3D per vedere se dopo qualche anno qualcuno abbia nuovi spunti o idee sull'argomento...
"boba74":Cosa si deve intendere per "punti equidistanti tra loro"?
[...]Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file[...]
Se si intend4 "equidistanti ciascuno da ciascun altro", evidntemente in uno spazio euclideo ad ndimensioni di tali punti non ce ne possno essere più di n+1.
(Due su una retta; tre ai vertici 'un triangolo equilatero in un piano; quattro ai vertici d'un tetraedro regolare [platonico] nrllo spazio tridimensionale].
_______
no, ho sbagliato a scrivere... intendevo punti disposti a distanze regolari (file ordinate).
Provo a dare il mio (modestissimo) contributo. In fondo, dati [tex]N[/tex] punti distinti [tex]x_1,x,2,\dots,x_N[/tex] nel piano mi pare che la richiesta fosse solo di definire un "indice del disordine" di questi punti, ovvero di quanto si discostino da una disposizione su una griglia regolare. La distanza di [tex]x_n[/tex] dal punto più vicino è
[tex]\ell_n = \min\{|x_m-x_n|:m=1.,\dots, N, m\ne n\}[/tex],
per cui potrei definire il "disordine" dell'insieme di punti come il rapporto tra la distanza massima e la distanza minima,
[tex]s = \dfrac{\max\{\ell_n: n=1,\dots,N\}}{\min\{\ell_n:n=1,\dots,N\}}[/tex].
Se i punti sono disposti su una griglia ordinata (ovvero nel piano solo sui vertici di triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari), allora [tex]s=1[/tex]. Nell'esempio che era stato proposto con [tex]N=3[/tex], in cui i tre punti erano [tex]x_1=(-1/a,0)[/tex], [tex]x_2=(1/a,0)[/tex] e [tex]x_3=(0,a^2)[/tex], con [tex]a>0[/tex] (o qualcosa di molto simile), si avrebbe
[tex]s=\frac{\sqrt{a^6+1}}{a^2}[/tex].
che è illimitata superiormente ed è minima per [tex]a=1[/tex] (il minimo è [tex]\sqrt{2}>1[/tex] perché in questo caso non si ottiene mai un triangolo equilatero).
[tex]\ell_n = \min\{|x_m-x_n|:m=1.,\dots, N, m\ne n\}[/tex],
per cui potrei definire il "disordine" dell'insieme di punti come il rapporto tra la distanza massima e la distanza minima,
[tex]s = \dfrac{\max\{\ell_n: n=1,\dots,N\}}{\min\{\ell_n:n=1,\dots,N\}}[/tex].
Se i punti sono disposti su una griglia ordinata (ovvero nel piano solo sui vertici di triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari), allora [tex]s=1[/tex]. Nell'esempio che era stato proposto con [tex]N=3[/tex], in cui i tre punti erano [tex]x_1=(-1/a,0)[/tex], [tex]x_2=(1/a,0)[/tex] e [tex]x_3=(0,a^2)[/tex], con [tex]a>0[/tex] (o qualcosa di molto simile), si avrebbe
[tex]s=\frac{\sqrt{a^6+1}}{a^2}[/tex].
che è illimitata superiormente ed è minima per [tex]a=1[/tex] (il minimo è [tex]\sqrt{2}>1[/tex] perché in questo caso non si ottiene mai un triangolo equilatero).
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