"misurare" il disordine....
Salve, non sapevo in che sezione postare, come sempre ogni volta che comincio a lambiccarmi il cervello su problemi pratici cercando sempre un aspetto "matematico" senza averne le basi (o forse le avevo ma sono ormai dimenticate...).
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"? E tali grandezze una volta definite possono essere in qualche modo "misurate"? E date 2 qualunque disposizioni è possibile stabilire in un certo modo quale delle due ha un minor grado di disordine? Esiste un disordine massimo oltre al quale è impossibile andare, o un disordine "minimo"?
Inoltre: una cosa è il concetto ordine-disordine, un'altra il concetto regolarità-irregolarità, che dovrebbero essere secondo me 2 grandezze diverse. Mi spiego:
prendiamo 10 punti in uno spazio quadrato di lato 1 metro. Mettiamo tutti e 10 i punti in modo che occupino una piccola regione di spazio (es. 10x10cm), ma all'interno di tale sotto-regione sono disposti in modo casuale. Bene, tali punti secondo me sono disposti in modo "irregolare", ma rispetto allo spazio totale sono "ordinati" proprio perchè sono concentrati in una zona ristretta e non sparpagliati in giro.
Cioè, il concetto di "regolarità" dovrebbe tener conto della disposizione reciproca dei punti (se formano allineamenti, o raggruppamenti equidistanti, ecc....) mentre il concetto di ordine o disordine dovrebbe essere un concetto globale, che ricorda l'entropia in fisica. Qui però parliamo di oggetti finiti.
Ad esempio: gli alberi in un bosco, o gli edifici in una città. In un bosco se ci pensiamo bene la disposizione degli alberi non è del tutto casuale, e di contro, in una città le case non sono necessariamente disposte in posizione perfettamente regolare e ordinata. Vorrei trovare un modo semplice per "misurare" queste grandezze data una qualsiasi configurazione di oggetti all'interno di una zona. Io penso che questo problema sia già stato affrontato in termini matematici, quindi non dovrebbe essere difficile trovare dei riferimenti....
(Poi eventualmente in seguito si potrebbe complicare il problema introducendo entità di tipo diverso, aventi diversa "taglia" e diversi orientamenti nello spazio... ma per il momento mi accontento del caso semplice)....
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"? E tali grandezze una volta definite possono essere in qualche modo "misurate"? E date 2 qualunque disposizioni è possibile stabilire in un certo modo quale delle due ha un minor grado di disordine? Esiste un disordine massimo oltre al quale è impossibile andare, o un disordine "minimo"?
Inoltre: una cosa è il concetto ordine-disordine, un'altra il concetto regolarità-irregolarità, che dovrebbero essere secondo me 2 grandezze diverse. Mi spiego:
prendiamo 10 punti in uno spazio quadrato di lato 1 metro. Mettiamo tutti e 10 i punti in modo che occupino una piccola regione di spazio (es. 10x10cm), ma all'interno di tale sotto-regione sono disposti in modo casuale. Bene, tali punti secondo me sono disposti in modo "irregolare", ma rispetto allo spazio totale sono "ordinati" proprio perchè sono concentrati in una zona ristretta e non sparpagliati in giro.
Cioè, il concetto di "regolarità" dovrebbe tener conto della disposizione reciproca dei punti (se formano allineamenti, o raggruppamenti equidistanti, ecc....) mentre il concetto di ordine o disordine dovrebbe essere un concetto globale, che ricorda l'entropia in fisica. Qui però parliamo di oggetti finiti.
Ad esempio: gli alberi in un bosco, o gli edifici in una città. In un bosco se ci pensiamo bene la disposizione degli alberi non è del tutto casuale, e di contro, in una città le case non sono necessariamente disposte in posizione perfettamente regolare e ordinata. Vorrei trovare un modo semplice per "misurare" queste grandezze data una qualsiasi configurazione di oggetti all'interno di una zona. Io penso che questo problema sia già stato affrontato in termini matematici, quindi non dovrebbe essere difficile trovare dei riferimenti....
(Poi eventualmente in seguito si potrebbe complicare il problema introducendo entità di tipo diverso, aventi diversa "taglia" e diversi orientamenti nello spazio... ma per il momento mi accontento del caso semplice)....
Risposte
Bella domanda!
Non sono esperto in queste cose, quindi non ti so dire se esistono gia' concetti come li vuoi, ne' darti referenze. Pero' posso proporre un'idea che mi sembra vada abbastanza bene per punti in $\mathbb R^N$.
Prendi $n$ punti $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R^N$ e sia $C$ l'inviluppo convesso di questi punti. Considera la misura di Lebesgue dell'insieme $C$ e denotala con $m(C)$. Questa misura da' una prima misura del grado di disordine dei tuoi punti. Ad esempio:
Se i punti coincidono, oppure sono allineati, allora $m(C)=0$.
Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.
Non sono esperto in queste cose, quindi non ti so dire se esistono gia' concetti come li vuoi, ne' darti referenze. Pero' posso proporre un'idea che mi sembra vada abbastanza bene per punti in $\mathbb R^N$.
Prendi $n$ punti $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R^N$ e sia $C$ l'inviluppo convesso di questi punti. Considera la misura di Lebesgue dell'insieme $C$ e denotala con $m(C)$. Questa misura da' una prima misura del grado di disordine dei tuoi punti. Ad esempio:
Se i punti coincidono, oppure sono allineati, allora $m(C)=0$.
Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.
OK, finalmente un primo spunto.
Quindi in questo caso, la misura di Lebesgue (che da quello che capisco nel nostro esempio bidimensionale, sembra essere una sorta di "superficie totale" occupata dai punti, o meglio dal loro inviluppo) potrebbe dare un informazione sul grado di occupazione dello spazio che può avere una determinata distribuzione di punti.
Esempio, se ho 100 punti disposti su una circonferenza di raggio r, essi occuperanno approssimativamente un'area pari a quella del cerchio di raggio r.
Perciò in effetti, una prima definizione di "disordine" potrebbe essere quella definita come rapporto tra m(C) e l'area totale della zona indagata, assumere quindi un valore compreso tra 0 e 1, e definendo così una scala che parte da 0 per punti coincidenti o disposti lungo uno stesso allineamento, e tende a un valore massimo 1 per punti "molto sparpagliati" il cui inviluppo occupa tutto lo spazio disponibile.
Però non mi basta.
Io potrei avere punti perfettamente equidistanti e disposti in file ordinate che occupano però una grande regione di spazio.
Esempio, il solito appezzamento quadrato di 1x1m, con 4 punti disposti esattamente ai 4 vertici. In questo caso occupano l'intera superficie, ma sono sostanzialmente "ordinati", e inoltre, se all'interno dei 4 punti ce ne stanno altri, non importa quanti siano, e non importa che posizioni occupano, mi ritroverei la stessa identica misura del "disordine", pari appunto a 1, perchè il contributo all'inviluppo è dato unicamente dai punti più esterni...
Un discorso simile vale se anzichè considerare la misura dell'area, considerassimo ad esempio la "distanza media" tra i punti (ossia, se per ciascuna coppia di punti definissimo una distanza e ne facessimo la media tra tutte le possibili coppie di punti). Anche questa misura non ci direbbe nulla su quanto tali punti siano "ordinati" o "regolari"...
Quindi in questo caso, la misura di Lebesgue (che da quello che capisco nel nostro esempio bidimensionale, sembra essere una sorta di "superficie totale" occupata dai punti, o meglio dal loro inviluppo) potrebbe dare un informazione sul grado di occupazione dello spazio che può avere una determinata distribuzione di punti.
Esempio, se ho 100 punti disposti su una circonferenza di raggio r, essi occuperanno approssimativamente un'area pari a quella del cerchio di raggio r.
Perciò in effetti, una prima definizione di "disordine" potrebbe essere quella definita come rapporto tra m(C) e l'area totale della zona indagata, assumere quindi un valore compreso tra 0 e 1, e definendo così una scala che parte da 0 per punti coincidenti o disposti lungo uno stesso allineamento, e tende a un valore massimo 1 per punti "molto sparpagliati" il cui inviluppo occupa tutto lo spazio disponibile.
Però non mi basta.
Io potrei avere punti perfettamente equidistanti e disposti in file ordinate che occupano però una grande regione di spazio.
Esempio, il solito appezzamento quadrato di 1x1m, con 4 punti disposti esattamente ai 4 vertici. In questo caso occupano l'intera superficie, ma sono sostanzialmente "ordinati", e inoltre, se all'interno dei 4 punti ce ne stanno altri, non importa quanti siano, e non importa che posizioni occupano, mi ritroverei la stessa identica misura del "disordine", pari appunto a 1, perchè il contributo all'inviluppo è dato unicamente dai punti più esterni...
Un discorso simile vale se anzichè considerare la misura dell'area, considerassimo ad esempio la "distanza media" tra i punti (ossia, se per ciascuna coppia di punti definissimo una distanza e ne facessimo la media tra tutte le possibili coppie di punti). Anche questa misura non ci direbbe nulla su quanto tali punti siano "ordinati" o "regolari"...
[OT]
Falso.
Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.
[/OT]
"Valerio Capraro":
Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.
Falso.
Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.
[/OT]
"gugo82":
[OT]
[quote="Valerio Capraro"]Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.
Falso.
Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.
[/OT][/quote]
se immagino bene la situazione, questo coincide con prendere un triangolo isoscele e allontanare sempre più il vertice mentre la base si restringe....
Esattamundo.
Ovviamente questo controesempio non è legato alla posizione dei punti; insomma, il succo è che posso sempre prendere tre punti lontani tali che l'area del loro inviluppo convesso sia piccola.
Ovviamente ciò si può fare pure con i rettangoli, o con qualunque poligono.
Ovviamente questo controesempio non è legato alla posizione dei punti; insomma, il succo è che posso sempre prendere tre punti lontani tali che l'area del loro inviluppo convesso sia piccola.
Ovviamente ciò si può fare pure con i rettangoli, o con qualunque poligono.
Potresti rifarti anche a tecniche statistiche. Ad esempio se hai un sieme di dati $(X,Y)=(x_i,y_i)_{i=1...n}$ una misura di come sono "linearizati" i punti è dato dal coefficiente di correlazione $p(X,Y)=(Cov(X,Y))/sqrt(Var(X)Var(Y))$ il quale varia tra -1 e1 e più è vicino agli estremi più c'è linearizzazione. In altre dimensioni valgono ragionamenti simili rispetto ai cosi detti iperpiani di regressione.
Altrimenti potresti pensare a tecniche di clusterizzazione ovvero vedere se i punti possono essere divisi in sottogruppi in maniera tale che all'interno di ciascun gruppo i vari punti presentino coordinate diciamo vicine.
Altrimenti potresti pensare a tecniche di clusterizzazione ovvero vedere se i punti possono essere divisi in sottogruppi in maniera tale che all'interno di ciascun gruppo i vari punti presentino coordinate diciamo vicine.
Lo sapevo che la statistica c'entra qualcosa!!! 
Però, quello del coefficiente di correlazione misura appunto la linearità, ossia quanto i punti siano o meno allineati. Mentre il concetto di ordine-disordine dovrebbe essere più generale della semplice disposizione lungo una retta, basta vedere come punti disposti lungo una circonferenza, che pur ordinati avrebbero R=0.
Devo approfondire il discorso della clusterizzazione...
Però, quello del coefficiente di correlazione misura appunto la linearità, ossia quanto i punti siano o meno allineati. Mentre il concetto di ordine-disordine dovrebbe essere più generale della semplice disposizione lungo una retta, basta vedere come punti disposti lungo una circonferenza, che pur ordinati avrebbero R=0.
Devo approfondire il discorso della clusterizzazione...
"gugo82":
[OT]
[quote="Valerio Capraro"]Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.
Falso.
Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.
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OK, in parte hai ragione, ma in parte no, nel seguente senso: al limite i punti tendono ad allinearsi e quindi e' naturale, almeno per cio' che sembra essere l'intento di boba74m, considerarli ordinati e quindi e' in qualche senso coerente che venga 0.
Resta il fatto che distinguere con un'unica misura allineamenti e vicinanza spaziale non mi sembra una cosa immediata.
"DajeForte":
Potresti rifarti anche a tecniche statistiche. Ad esempio se hai un sieme di dati $(X,Y)=(x_i,y_i)_{i=1...n}$ una misura di come sono "linearizati" i punti è dato dal coefficiente di correlazione $p(X,Y)=(Cov(X,Y))/sqrt(Var(X)Var(Y))$ il quale varia tra -1 e1 e più è vicino agli estremi più c'è linearizzazione. In altre dimensioni valgono ragionamenti simili rispetto ai cosi detti iperpiani di regressione.
Altrimenti potresti pensare a tecniche di clusterizzazione ovvero vedere se i punti possono essere divisi in sottogruppi in maniera tale che all'interno di ciascun gruppo i vari punti presentino coordinate diciamo vicine.
Detto alla romana, visto il tuo nick e le mie origini, non capisco un c**** di statistica! In parole povere, mi potresti spiegare questo coefficiente cosa misura? sembrerebbe una specie di angolo medio formato dai vari vettori...
in effetti il coefficiente di correlazione non ha un gran significato geometrico nel nostro caso, perchè misura quanto siano legate linearmente 2 variabili (in questo caso verrebbe applicato "erroneamente" per legare tra loro le coordinate X e Y, considerate come 2 variabili). In un certo senso non è però del tutto sbagliato, perchè avere punti disposti in modo "ordinato" presuppone in effetti un certo legame tra le coordinate X e Y dei vari punti, ma non sempre perchè ad esempio posizioni simmetriche rispetto a un asse (e quindi in un certo senso "ordinate") tenderebbero ad avere effetti opposti e ad annullare il valore di R per il semplice fatto che si trovano in posizioni opposte rispetto a una direzione X o Y....
"Valerio Capraro":
Resta il fatto che distinguere con un'unica misura allineamenti e vicinanza spaziale non mi sembra una cosa immediata.
Vero anche questo....
Magari però si potrebbero proporre 2 misure, una per la vicinanza spaziale (es. una distanza media) e una per gli allineamenti (non saprei in che modo) e magari combinarle in un qualche modo per ottenere una misura "composta" che assegni un valore di "ordine" maggiore per punti allineati e vicini, e minore per punti "sparpagliati" e poco allineati....
@Valerio: Se consideri la covarianza $Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y)]$ è un coefficiente che esprime la dipendenza lineare tra le due variabili X ed Y. In fatti il prodotto è positivo quando $(X-E[X])(Y-E[Y)]$ è positivo ovvero le due variabili tendono a stare nel primo e terzo quadrante; è invece negativo quando sono nel secondo e quarto quadrante. La divisione è fatta per dare una normalizazione e discende dalla disuguaglianza di CS.
Ha anche un significato di "angolo" come dici tu. Se infatti consideri le variabili a media 0 ed distribuite sulla circonferenza unitaria puoi pensare la covarianza come $E[cos(theta)sin(theta)]$ che rappresenterbbe una media angolature creata dalle due variabili. Se le variabili tendono ad assumere valori vicino agli assi la cov tende ad annullarsi, al contrario se vanno sulle direzioni a tangente -1,+1 tende ad assumere valori minori, maggiori.
@boba74: infatti non ti dicevo di considerare solo il coefficiente di correlazione; questo è un primo; potresti cercare di storpiare il coefficiente di correlazione; potresti poi considerare misure di variabilità (tipo varianza), altre misure di clusterizzazione, oppure cercare di definire un analogo del coefficiente di correlazione ma che cerchi di catturare se i punti sono su una circonferenza (la cosa più immediata è pensare se esiste un punto con distanze quasi costanti), oppure anche valutare misure che coinvolgano determinanti...
Diciamo che la questione è interessante, vedremo come si svilupperà. Bisogna però partire da un problema chiaro (in particolare di cosa sia ordine/disordine) per poter proporre misure e valutare suoi eventuali punti di forza/debolezza.
Ha anche un significato di "angolo" come dici tu. Se infatti consideri le variabili a media 0 ed distribuite sulla circonferenza unitaria puoi pensare la covarianza come $E[cos(theta)sin(theta)]$ che rappresenterbbe una media angolature creata dalle due variabili. Se le variabili tendono ad assumere valori vicino agli assi la cov tende ad annullarsi, al contrario se vanno sulle direzioni a tangente -1,+1 tende ad assumere valori minori, maggiori.
@boba74: infatti non ti dicevo di considerare solo il coefficiente di correlazione; questo è un primo; potresti cercare di storpiare il coefficiente di correlazione; potresti poi considerare misure di variabilità (tipo varianza), altre misure di clusterizzazione, oppure cercare di definire un analogo del coefficiente di correlazione ma che cerchi di catturare se i punti sono su una circonferenza (la cosa più immediata è pensare se esiste un punto con distanze quasi costanti), oppure anche valutare misure che coinvolgano determinanti...
Diciamo che la questione è interessante, vedremo come si svilupperà. Bisogna però partire da un problema chiaro (in particolare di cosa sia ordine/disordine) per poter proporre misure e valutare suoi eventuali punti di forza/debolezza.
[OT]
scusa l'OT boba74 ma ho una piccola domanda.
ma la visione "angolare" della Varianza/Covarianza è valida in generale o solo in questo particolare caso dell'argomento del post?
[/OT]
scusa l'OT boba74 ma ho una piccola domanda.
"DajeForte":
Ha anche un significato di "angolo" come dici tu. Se infatti consideri le variabili a media 0 ed distribuite sulla circonferenza unitaria puoi pensare la covarianza come $E[cos(theta)sin(theta)]$ che rappresenterbbe una media angolature creata dalle due variabili. Se le variabili tendono ad assumere valori vicino agli assi la cov tende ad annullarsi, al contrario se vanno sulle direzioni a tangente -1,+1 tende ad assumere valori minori, maggiori.
ma la visione "angolare" della Varianza/Covarianza è valida in generale o solo in questo particolare caso dell'argomento del post?
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Giusto qualche piccola osservazione, senza la pretesa di essere troppo rigorosi: come detto piu' o meno esplicitamente in precedenti post, non bisognerebbe considerare soltanto l'insieme dei punti nella loro globalita', ma anche sottoinsiemi, in maniera da cercare di cogliere "disordini locali". Una idea potrebbe essere quella di considerare tutte le partizioni dell'insieme $x_1,\ldots,x_n$ tali che ogni sottoinsieme sia formato da almeno tre punti (questo perche' in un punto o due punti, a mio avviso, ci sono troppe poche informazioni), definire una sorta di disordine di una partizione e provare a definire il disordine totale come il minimo dei disordini delle varie partizioni. Il disordine di una partizione dovrebbe essere il massimo dei disordini di ogni sottoinsieme della partizione. En passant, questa costruzione ricorda in qualche maniera l'entropia. Resterebbe da definire il disordine di un singolo insieme. Sia dunque $S$ un insieme finito contenente almeno tre punti e cerchiamo di definire il disordine $D(S)$. Servono due contributi, uno che da' una crescita quando i punti sono lontani e l'altro che da' una decrescita quando i punti sono allineati. A questo punto si potrebbe provare semplicemente a moltiplicare il diametro dell'insieme per il modulo del coefficiente di correlazione o qualche altra quantita' che e' nulla se i punti sono allineati e cresce a man mano che aumenta il grado di non-linearita' dei punti.
"Valerio Capraro":
Giusto qualche piccola osservazione, senza la pretesa di essere troppo rigorosi: come detto piu' o meno esplicitamente in precedenti post, non bisognerebbe considerare soltanto l'insieme dei punti nella loro globalita', ma anche sottoinsiemi, in maniera da cercare di cogliere "disordini locali". Una idea potrebbe essere quella di considerare tutte le partizioni dell'insieme $x_1,\ldots,x_n$ tali che ogni sottoinsieme sia formato da almeno tre punti (questo perche' in un punto o due punti, a mio avviso, ci sono troppe poche informazioni), definire una sorta di disordine di una partizione e provare a definire il disordine totale come il minimo dei disordini delle varie partizioni. Il disordine di una partizione dovrebbe essere il massimo dei disordini di ogni sottoinsieme della partizione. En passant, questa costruzione ricorda in qualche maniera l'entropia. Resterebbe da definire il disordine di un singolo insieme. Sia dunque $S$ un insieme finito contenente almeno tre punti e cerchiamo di definire il disordine $D(S)$. Servono due contributi, uno che da' una crescita quando i punti sono lontani e l'altro che da' una decrescita quando i punti sono allineati. A questo punto si potrebbe provare semplicemente a moltiplicare il diametro dell'insieme per il modulo del coefficiente di correlazione o qualche altra quantita' che e' nulla se i punti sono allineati e cresce a man mano che aumenta il grado di non-linearita' dei punti.
ottimissimo spunto..... che purtroppo per mancanza di solide basi matematiche rischia di farmi perdere in un bicchier d'acqua....
E per questo mi chiedevo: possibile che questo problema non sia mai stato affrontato?
Personalmente sono sicurissimo che ci sia qualcosa in letteratura. Possibilissimo che qualche variante dell'entropia di Boltzmann possa gia' essere utilizzata. Ma ho cominciato il mio primo intervento dicendo che i miei studi e la mia attivita' di ricerca vertono su cose completamente diverse, quindi non conosco la letteratura relativa a questo tipo di problemi, ma ho trovato la domanda interessante e degna di dedicarci qualche pensiero "for fun".
"boba74":
Salve, non sapevo in che sezione postare, come sempre ogni volta che comincio a lambiccarmi il cervello su problemi pratici cercando sempre un aspetto "matematico" senza averne le basi (o forse le avevo ma sono ormai dimenticate...).
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"?
Ritornando al quesito di partenza sul quale qualche tempo fa ho fatto alcune considerazioni. Ti posso dare quindi qualche spunto che spero ti sia utile. Quello che tu chiami 'massimo disordine' dei punti è in effetti definito campo di Poisson e rappresenta una distribuzione casuale dei punti nel piano con densità di probabilità uniforme. La distribuzione di Poisson è definita in modo che il numero atteso di punti che finiscono in una generica sotto-regione (misurabile) del tuo dominio è indipendente dalla forma della sotto-regione e direttamente proporzionale alla sua area. Per verificare che una distribuzione casuale di punti sia un campione di un campo di Poisson puoi applicare la statistica. Considera il tuo campione ed effettua una partizione della sezione in sotto-regioni per ognuna della quali calcoli la densità di punti. Puoi a questo punto avvalerti di un classico metodo di stima (per es. il chi-quadro o K-S) che permetta la verifica delle ipotesi.
Se vuoi approfondire, ma la questione è tutt'altro che elementare, ti consiglio di leggere i lavori di Salvatore Torquato (good luck!)
è un argomento difficile ma interessante! L'analogo' fisico è chiaramente il problema dell'irreversibilità.
In cerca di spunti, vi passo un bel link ad una dispensa circa il lavoro di Boltzmann sull'entropia ed il suo risultato maggiore, il teorema h..
http://tnt.phys.uniroma1.it/twiki/pub/T ... ani/BB.pdf
a presto
In cerca di spunti, vi passo un bel link ad una dispensa circa il lavoro di Boltzmann sull'entropia ed il suo risultato maggiore, il teorema h..
http://tnt.phys.uniroma1.it/twiki/pub/T ... ani/BB.pdf
a presto
Mi è venuto in mente questo esempio.
Consideriamo un contenitore cubico con un gas perfetto al suo interno che inizialmente si trova mettiamo in equilibrio o comunque abbia delle date condizioni iniziali delle particelle del gas di posizione e di velocità.
Il contenitore è munito di un setto, parallelo ad una delle facce del cubo, che lo separa in due parti e inizialmente il gas si trova solo in una delle due, mentre il setto viene istantaneamente eliminato.
Assumendo che gli urti con le pareti siano tali da conservare la componente tangente della velocità prima e dopo e di invertire quella perpendicolare alla parete, secondo le equazioni di Newton, ammesso di sapere con certezza che dall'istante iniziale entro un certo tempo almeno una particella andrà ad urtare la faccia del cubo che inizialmente è parallela al setto, il moto non è invertibile, perchè sicuramente il centro di massa del sistema di particelle accelera in verso opposto a tale faccia e, affinchè il sistema di particelle assumano le stesse posizioni iniziali è condizione necessaria che il centro di massa possa assumere la stessa posizione iniziale.
Questo si verifica notando che, anche se dopo un certo tempo si invertono le velocità, l'accelerazione del centro di massa mantiene sempre lo stesso verso opposto alla faccia.
Consideriamo un contenitore cubico con un gas perfetto al suo interno che inizialmente si trova mettiamo in equilibrio o comunque abbia delle date condizioni iniziali delle particelle del gas di posizione e di velocità.
Il contenitore è munito di un setto, parallelo ad una delle facce del cubo, che lo separa in due parti e inizialmente il gas si trova solo in una delle due, mentre il setto viene istantaneamente eliminato.
Assumendo che gli urti con le pareti siano tali da conservare la componente tangente della velocità prima e dopo e di invertire quella perpendicolare alla parete, secondo le equazioni di Newton, ammesso di sapere con certezza che dall'istante iniziale entro un certo tempo almeno una particella andrà ad urtare la faccia del cubo che inizialmente è parallela al setto, il moto non è invertibile, perchè sicuramente il centro di massa del sistema di particelle accelera in verso opposto a tale faccia e, affinchè il sistema di particelle assumano le stesse posizioni iniziali è condizione necessaria che il centro di massa possa assumere la stessa posizione iniziale.
Questo si verifica notando che, anche se dopo un certo tempo si invertono le velocità, l'accelerazione del centro di massa mantiene sempre lo stesso verso opposto alla faccia.
Ho dato un'occhiata al problema dell'irreversibilità. OK, qui si va a parare sull'entropia e sul II principio.
Me a me occorre un metodo relativamente "semplice" per stabilire in un dato istante il grado di disordine di una certa distribuzione, parlo di punti fissi, non particelle che si muovono o di sistemi di "evolvono". Semplici considerazioni "geometriche" applicabili (come visto negli esempi che ho fatto) a una certa distribuzione di oggetti, (alberi, edifici, etc....), per stabilire fino a che punto la loro distribuzione sia in qualche modo "casuale" o se invece segua una certa regolarità.
Effettivamente, io rimarrei sulla statistica, e sulla distribuzione di Poisson...
Me a me occorre un metodo relativamente "semplice" per stabilire in un dato istante il grado di disordine di una certa distribuzione, parlo di punti fissi, non particelle che si muovono o di sistemi di "evolvono". Semplici considerazioni "geometriche" applicabili (come visto negli esempi che ho fatto) a una certa distribuzione di oggetti, (alberi, edifici, etc....), per stabilire fino a che punto la loro distribuzione sia in qualche modo "casuale" o se invece segua una certa regolarità.
Effettivamente, io rimarrei sulla statistica, e sulla distribuzione di Poisson...
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