Proiezioni negli \(L^p\)

[Studente Anonimo]

Problema. Sia \( f \in L^p ([-1,1])\), con \( p \in [1, +\infty)\), e consideriamo \[ Y = \{h \in L^p ([-1,1]) \, : \, h \text{ è pari}\}. \]\(Y\) è un sottospazio chiuso. Mostrare che \( g(x) = (f(x)+f(-x))/2 \) è tale che \[ \min_{h \in Y} \|f - h\|_p = \|f - g \|_p.\]
E' vero anche per \( p = \infty \)?

[Studente Anonimo]

For \( f \in L^p([-1,1]) \) we want to solve the minimization problem \[ 0 \le \ell= \inf_{ h \in Y } \|f - h \|_p = \inf_{ \tilde{h} \in Y } \|f_o - \tilde{h} \|_p \] where we set \( \tilde{h}= h - f_e \) and \(f_e\), \(f_o\) are respectively the (essentially unique) even and odd parts of \(f\) defined by \[ f_e (x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad \text{and} \quad f_o (x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \]almost everywhere. By Theorem 7' page 76 of Lax's book (we switch the role of \(Y\) and \(Y^{\bot}\) with respect to the formulation of the theorem, but in this case the operation is harmless because \(Y\) is closed and therefore \( (Y^{\bot})^{\bot} =Y \)) we have that (using duality arguments) \[ \ell = \sup_{l \in Y^{\bot}, \|l\| \le 1} |l(f_o)| = \sup_{g \in Y^{\bot}, \|g\|_q \le 1} \left| \int_{-1}^1 f_o g \, d \mu \right| \le \|f_o\|_p \] where the supremum is actually reached by \( \bar{g} = f_o |f_o|^{p-2} / \|f_o\|_p ^{p-1} \in L^q ([-1,1]) \cap Y^{\bot} \), which is an odd function (indeed \(Y^{\bot}\) contains all the odd functions belonging to \(L^q\)); here \(q\) is the Hölder conjugate exponent of \(p\). We conclude noticing that \[ \left| \int_{-1}^1 f_o \bar{g} \, d \mu \right| = \|f_o\|_p \] and therefore \[ \inf_{ \tilde{h} \in Y } \|f_o - \tilde{h} \|_p = \| f_o \|_p. \]Now, for \( p \in (1, +\infty) \) the spaces \( L^p ([-1,1]) \) are uniformly convex and since \(Y\) is a linear closed subspace the minimizer exists and it is unique. It follows that \( \tilde{h}=0 \) a.e. which implies \( h = f_e \) almost everywhere. For \( p=1 \) the infimum is reached for sure for \( \tilde{h} = 0 \), but it not necessarily unique.

[dissonance]

Sarebbe carino, secondo me, riflettere su una versione più generale dello stesso problema. Supponiamo che \(\Omega\) sia uno spazio di misura e che \(G\) sia un gruppo finito che agisce su \(\Omega\). Ad esempio, siano \(\Omega=[-1, 1]\) e \(G=\{\mathrm{id}, \sigma\}\), dove \(\sigma(x)=-x\), come nel post iniziale. Ora, il sottospazio
\[
Y:=\{f\in L^p(\Omega)\ :\ f\circ g = f,\ \forall g\in G\}\]
è chiuso. Per ogni \(f\in L^p(\Omega)\), definiamo
\[
f_G(x):=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} f(g\cdot x).\]
È vero che
\[
\min_{h\in Y} \lVert f-h\rVert_p= \lVert f-f_G\rVert_p?\]