Maratona problemi teoria dei gruppi
Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$.
Questo è un esercizio proposto da Herstein subito dopo il primo paragrafo sui gruppi.
Ora, col teorema di Lagrange a disposizione, basta prendere $n=o(G)$. Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?
Questo è un esercizio proposto da Herstein subito dopo il primo paragrafo sui gruppi.
Ora, col teorema di Lagrange a disposizione, basta prendere $n=o(G)$. Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?
Risposte
"Martino":
[quote="vict85"]Non conosco la dimostrazione sul Robinson.
Sul Robinson non c'è la dimostrazione, il risultato viene solo enunciato e viene dato il riferimento bibliografico.
A me hanno riferito che comunque per studiare dei casi particolari hanno usato il computer.[/quote]
Io non sono informatissimo su questa dimostrazione. Su wiki c'é scritto che ne stanno facendo una più breve che utilizza massicciamente il pc e che le dimostrazioni alternative a quella di Feit e Thompson si sono rivelate lunghe uguali.
In ogni caso non ti resta che leggere l'articolo (ho messo il link).
rilancio (visto che sta andando alla deriva questo post) con un problema semplice:
Dimostrare che in $S_5$ ogni 2-sylow contiene un sottogruppo di ordine 4 ciclico.
Dimostrare che in $S_5$ ogni 2-sylow contiene un sottogruppo di ordine 4 ciclico.
Allora prima di tutto se $H$ è un $2$-Sylow di $S_5$ allora $|H| = 8$. $H$ non può essere ciclico perché un elemento di ordine $8$ in $S_n$ deve avere un $8$-ciclo e non esistono $8$-cicli in $S_5$.
Supponiamo quindi che sia generato da tre $2$-cicli. Allora almeno $2$ di essi hanno un elemento in comune. Siano $(a, b)$ e $(a, c)$ questi due scambi. Allora $(a, c)(a, b) = (a, b, c)$, ma $(a, b, c)$ è un $3$-ciclo e non ci possono essere $3$-cicli in un $2$-sottogruppo.
Per motivi simili escludo il caso $(ab)(cd)*(ae) = (aeb)(cd)$.
Mentre il caso $(ab)(cd)*(ac) = (adcb)$ e quindi ha un sottogruppo ciclico di ordine $4$.
Il sottogruppo generato da due scambi disgiunti ha ordine $4$ e quindi ci deve essere almeno un $4$-ciclo.
Inoltre $H = <(abcd), (ac)>$ per qualche $a \ne b \ne c \ne d$ infatti $(abcd)(ae) = (aebcd)$ e $(abcd)(ab) = (acd)$.
Ecco uno dei $2$-Sylow di $S_5$ (generato da $(1234)$ e $(13)$)
$H = { id, (1234), (13)(24), (1432), (13), (14)(23), (12)(34), (24)}$
Supponiamo quindi che sia generato da tre $2$-cicli. Allora almeno $2$ di essi hanno un elemento in comune. Siano $(a, b)$ e $(a, c)$ questi due scambi. Allora $(a, c)(a, b) = (a, b, c)$, ma $(a, b, c)$ è un $3$-ciclo e non ci possono essere $3$-cicli in un $2$-sottogruppo.
Per motivi simili escludo il caso $(ab)(cd)*(ae) = (aeb)(cd)$.
Mentre il caso $(ab)(cd)*(ac) = (adcb)$ e quindi ha un sottogruppo ciclico di ordine $4$.
Il sottogruppo generato da due scambi disgiunti ha ordine $4$ e quindi ci deve essere almeno un $4$-ciclo.
Inoltre $H = <(abcd), (ac)>$ per qualche $a \ne b \ne c \ne d$ infatti $(abcd)(ae) = (aebcd)$ e $(abcd)(ab) = (acd)$.
Ecco uno dei $2$-Sylow di $S_5$ (generato da $(1234)$ e $(13)$)
$H = { id, (1234), (13)(24), (1432), (13), (14)(23), (12)(34), (24)}$
Io ho pensato così: i $2$-Sylow di $S_5$ sono diedrali di ordine $8$ e quindi hanno elementi di ordine $4$ (le rotazioni di $45$ gradi).
Per dimostrare che i $2$-Sylow di $S_5$ sono $D_4$ si può fare così: il gruppo $D_4$ delle simmetrie + rotazioni del quadrato consiste di permutazioni di $4$ oggetti (i vertici), quindi è un sottogruppo di $S_4$ e quindi di $S_5$. Inoltre ha ordine $8$ e quindi è un $2$-Sylow di $S_5$. Siccome i $2$-Sylow sono coniugati, allora tutti i $2$-Sylow di $S_5$ sono $D_4$.
Per dimostrare che i $2$-Sylow di $S_5$ sono $D_4$ si può fare così: il gruppo $D_4$ delle simmetrie + rotazioni del quadrato consiste di permutazioni di $4$ oggetti (i vertici), quindi è un sottogruppo di $S_4$ e quindi di $S_5$. Inoltre ha ordine $8$ e quindi è un $2$-Sylow di $S_5$. Siccome i $2$-Sylow sono coniugati, allora tutti i $2$-Sylow di $S_5$ sono $D_4$.
"Martino":
Io ho pensato così: i $2$-Sylow di $S_5$ sono diedrali di ordine $8$ e quindi hanno elementi di ordine $4$ (le rotazioni di $45$ gradi).
Per dimostrare che i $2$-Sylow di $S_5$ sono $D_4$ si può fare così: il gruppo $D_4$ delle simmetrie + rotazioni del quadrato consiste di permutazioni di $4$ oggetti (i vertici), quindi è un sottogruppo di $S_4$ e quindi di $S_5$. Inoltre ha ordine $8$ e quindi è un $2$-Sylow di $S_5$. Siccome i $2$-Sylow sono coniugati, allora tutti i $2$-Sylow di $S_5$ sono $D_4$.
beh, così è meglio in effetti...
beh non vi resta che rilanciare 
(come soluzione mia bruttina proponevo di definire in modo violento il gruppo (sapendo che devono avere cardinalità 8) <(1,2)>prodottosemidiretto<(1,2,3,4)> e far vedere che la sua immagine in G è isomorfa a un sottogruppo di ordine 8. Poi concludere notando che in $S_5$ i sylow sono tutti tra loro isomorfi e quindi hanno tutti quella struttura.)
oppure se non avete idee mi è appena venuto in mente un problema che mi è venuto in mente leggendo la risposta di Martino (anche se per questo problema non ho tempo da dedicarci ora
):
dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
(come soluzione mia bruttina proponevo di definire in modo violento il gruppo (sapendo che devono avere cardinalità 8) <(1,2)>prodottosemidiretto<(1,2,3,4)> e far vedere che la sua immagine in G è isomorfa a un sottogruppo di ordine 8. Poi concludere notando che in $S_5$ i sylow sono tutti tra loro isomorfi e quindi hanno tutti quella struttura.)
oppure se non avete idee mi è appena venuto in mente un problema che mi è venuto in mente leggendo la risposta di Martino (anche se per questo problema non ho tempo da dedicarci ora
):dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
ovviamente $p$-sottogruppi di sylow con $p>2$ altrimenti la soluzione è banale. Ne esistono per p mggiore di due primo?...
è una ocsa che mi ha suscitato interesse
sarà che i 2-sylow con questa trovata hanno tutti la stessa struttura ... bello
è una ocsa che mi ha suscitato interesse
sarà che i 2-sylow con questa trovata hanno tutti la stessa struttura ... bello
"fu^2":
dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
$n$ deve essere una potenza di $2$.
Se $n = 2^s$ allora $m >= 2^s$ ma $|S_{2^s}|=(2^s)!$ e il $2$-Sylow di $S_{2^s}$ ha cardinalità $2*4*...*2^{s-1}*2^s = 2*2^2*...*2^{s-1}*2^s = 2^{(s*(s+1))/2}$
Quindi deve aversi $2^{s+1}=2^{(s*(s+1))/2}$ e quindi $s+1 = (s*(s+1))/2$ e cioé $s=2$
Quindi solo per $n=4$ e $4<=m<8$.
sul problema da rilanciare ci penso... non mi viene in mente nulla...[edit] Una piccola correzione...
"fu^2":
ovviamente $p$-sottogruppi di sylow con $p>2$ altrimenti la soluzione è banale. Ne esistono per p mggiore di due primo?...
è una ocsa che mi ha suscitato interesse
ovviamente no... Un $p$-Sylow è un $p$-sottogruppo e un $p$-sottogruppo con $p\ne2$ non può essere divisibile per $2$...
vict, non ho capito bene la tua dimostrazione, comunque ho trovato un paio di errori sicuri:
Non è vero: per esempio i $2$-Sylow di $S_8$ hanno cardinalità $2^7$. In realtà il numero che cerchi è $2^{2^s-1}$.
Perché? Non è detto che un $2$-Sylow sia contenuto in un $S_{2^s}$, o no? Per esempio un $2$-Sylow di $S_6$ non è contenuto in $S_2$ e nemmeno in $S_4$.
Ma i $2$-Sylow di $S_6$ hanno ordine $2^4$, non $2^3$..
"vict85":
$|S_{2^s}|=(2^s)!$ e il $2$-Sylow di $S_{2^s}$ ha cardinalità $2*4*...*2^{s-1}*2^s = 2*2^2*...*2^{s-1}*2^s = 2^{(s*(s+1))/2}$
Non è vero: per esempio i $2$-Sylow di $S_8$ hanno cardinalità $2^7$. In realtà il numero che cerchi è $2^{2^s-1}$.
Quindi deve aversi $2^{s+1}=2^{(s*(s+1))/2}$
Perché? Non è detto che un $2$-Sylow sia contenuto in un $S_{2^s}$, o no? Per esempio un $2$-Sylow di $S_6$ non è contenuto in $S_2$ e nemmeno in $S_4$.
Quindi solo per $n=4$ e $4<=m<8$.
Ma i $2$-Sylow di $S_6$ hanno ordine $2^4$, non $2^3$..
"vict85":
Quindi deve aversi $2^{s+1}=2^{(s*(s+1))/2}$ e quindi $s+1 = (s*(s+1))/2$ e cioé $s=2$
uhm non mi è chiaro questo passaggio... mi sfugge l'esponente $s+1$... potresti spiegarmelo? grazie
X Martino: Per la prima cosa hai ragione (avevo dimenticato tutti i numeri pari 
) ma in ogni caso non mi serve, mi basta che la cardinalità sia maggiore o uguale a $2^{(s*(s+1))/2}$. La seconda cosa non l'ho capita, per la terza credo di aver già risposto.
Era richiesto che fosse un $S_m$. Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.
Ho scritto $2^(s+1) = 2^{(s*(s+1))/2}$ perché si chiedeva per quali $n$ e $m$, $D_(2n)$ fosse un $2$-Sylow di $S_m$. E quindi quello era la condizione $D_(2n)$ è un $2$-Sylow di $S_m$.
Avendo sbagliato la cardinalità di $S_{2^s}$ devo cambiare quel pezzo in $2^(s+1) >= 2^{(s*(s+1))/2}$ che è una condizione necessaria ma non sufficiente affinche $D_(2^{s+1})$ è un $2$-Sylow di $S_{2^s}$ (ma che mi permette comunque di spiegare perché non vale per $s>2$).
P.S: $2^(s+1)$ era la cardinalità di $D_(2^(s+1))$ cioé per $n=2^s$
La risposta finale comunque diventa: solo per $D_4$ in $S_4$ e $S_5$ o per $n=2$ e $m=4$ e $m=5$
) ma in ogni caso non mi serve, mi basta che la cardinalità sia maggiore o uguale a $2^{(s*(s+1))/2}$. La seconda cosa non l'ho capita, per la terza credo di aver già risposto.Era richiesto che fosse un $S_m$. Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.
Ho scritto $2^(s+1) = 2^{(s*(s+1))/2}$ perché si chiedeva per quali $n$ e $m$, $D_(2n)$ fosse un $2$-Sylow di $S_m$. E quindi quello era la condizione $D_(2n)$ è un $2$-Sylow di $S_m$.
Avendo sbagliato la cardinalità di $S_{2^s}$ devo cambiare quel pezzo in $2^(s+1) >= 2^{(s*(s+1))/2}$ che è una condizione necessaria ma non sufficiente affinche $D_(2^{s+1})$ è un $2$-Sylow di $S_{2^s}$ (ma che mi permette comunque di spiegare perché non vale per $s>2$).
P.S: $2^(s+1)$ era la cardinalità di $D_(2^(s+1))$ cioé per $n=2^s$
La risposta finale comunque diventa: solo per $D_4$ in $S_4$ e $S_5$ o per $n=2$ e $m=4$ e $m=5$
La scrivo meglio.
Prima di tutto con $D_(n)$ io intendo il gruppo delle permutazioni di un poligono regolare di $n$ lati, e quindi è un sottogruppo di $S_n$. Nei post prima lo avevo indicato con $D_(2n)$
Se $D_(n)$ è un $p$-Sylow di un certo gruppo $G$ allora $p=2$ perché $|D_(n)| = 2n$ e $n=2^(s-1)$ per qualche $s$ e quindi si tratta di $D_(2^s)$.
Se $G=S_m$ e $n=2^(s-1)$ allora $m>=2^(s-1)$.
Se $2|m$ allora la cardinalità dei $2$-Sylow di $S_m$ è la stessa di quelli di $S_(m+1)$. Inoltre un $2$-Sylow di $S_m$ è un $2$-Sylow di $S_(m+1)$.
Con questo in mente consideriamo $S_(2^(s-1))$. Sia $H$ il suo $2$-Sylow e quindi $|H| > 2*2^2*...*2^(s-1) = 2^((s(s-1))/2)$.
Se $H=D_(2^s)$ allora deve aversi $|D_(2^s)|=2^s>2^((s(s-1))/2)$ e quindi $s <= 3$.
Prima di tutto con $D_(n)$ io intendo il gruppo delle permutazioni di un poligono regolare di $n$ lati, e quindi è un sottogruppo di $S_n$. Nei post prima lo avevo indicato con $D_(2n)$
Se $D_(n)$ è un $p$-Sylow di un certo gruppo $G$ allora $p=2$ perché $|D_(n)| = 2n$ e $n=2^(s-1)$ per qualche $s$ e quindi si tratta di $D_(2^s)$.
Se $G=S_m$ e $n=2^(s-1)$ allora $m>=2^(s-1)$.
Se $2|m$ allora la cardinalità dei $2$-Sylow di $S_m$ è la stessa di quelli di $S_(m+1)$. Inoltre un $2$-Sylow di $S_m$ è un $2$-Sylow di $S_(m+1)$.
Con questo in mente consideriamo $S_(2^(s-1))$. Sia $H$ il suo $2$-Sylow e quindi $|H| > 2*2^2*...*2^(s-1) = 2^((s(s-1))/2)$.
Se $H=D_(2^s)$ allora deve aversi $|D_(2^s)|=2^s>2^((s(s-1))/2)$ e quindi $s <= 3$.
Aaah! Adesso forse ho capito perché non ci capivo niente. Questo è il problema proposto da fu^2:
In altre parole: per quali $m$ i $2$-Sylow di $S_m$ sono diedrali?
Secondo me tu (vict85) invece hai affrontato quest'altro problema:
dire per quali $n$ esiste $m$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
O sbaglio?
Secondo me il problema originale (quello proposto da fu^2) è più difficile di quello che può sembrare; ma magari mi sbaglio.
"fu^2":
dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
In altre parole: per quali $m$ i $2$-Sylow di $S_m$ sono diedrali?
Secondo me tu (vict85) invece hai affrontato quest'altro problema:
dire per quali $n$ esiste $m$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
O sbaglio?
Secondo me il problema originale (quello proposto da fu^2) è più difficile di quello che può sembrare; ma magari mi sbaglio.
"Martino":
Aaah! Adesso forse ho capito perché non ci capivo niente. Questo è il problema proposto da fu^2:
[quote="fu^2"]dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
In altre parole: per quali $m$ i $2$-Sylow di $S_m$ sono diedrali?
Secondo me tu (vict85) invece hai affrontato quest'altro problema:
dire per quali $n$ esiste $m$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.
O sbaglio?
Secondo me il problema originale (quello proposto da fu^2) è più difficile di quello che può sembrare; ma magari mi sbaglio.[/quote]
Personalmente non credo che ci siano altri $m$ per cui questo accade... oltre a quelli che abbiamo già incontrato.
D'altra parte io ho dimostrato che se $m>=6$ allora il $2$-Sylow di $S_m$ ha una cardinalità maggiore del più grande sottogruppo diedrale con cardinalità una potenza di $2$ contenuto in esso, e quindi quel sottogruppo non è un $2$-Sylow.
E quindi nessun 2-Sylow è diedrale.
Quindi rimane da vedere per $4$ e $5$ perché $D_3$ coincide con $S_3$ e non è il suo $2$-Sylow. Per il caso di $4$ e $5$ l'abbiamo fatto prima.
Hai ragione, pensandoci poi (mentre guardavo Zelig ) ho visto che in realtà avevi capito bene ed ero io ad aver capito male. Ho ripercorso la tua dimostrazione e mi torna.
) ho visto che in realtà avevi capito bene ed ero io ad aver capito male. Ho ripercorso la tua dimostrazione e mi torna.
Solo una cosa (che comunque non compromette il buon esito della dimostrazione):
Questo è vero se $n$ è una potenza di $2$ (come nel nostro caso) ma non è detto che valga in generale: per esempio se $n=12$ hai che $D_{24}$ possiede elementi di ordine $12$, ma per esempio anche $S_7$ ne possiede (oltre a $S_{12}$). E allora come fai ad escludere che si abbia $D_{24} le S_7$ ?
"vict85":
Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.
Questo è vero se $n$ è una potenza di $2$ (come nel nostro caso) ma non è detto che valga in generale: per esempio se $n=12$ hai che $D_{24}$ possiede elementi di ordine $12$, ma per esempio anche $S_7$ ne possiede (oltre a $S_{12}$). E allora come fai ad escludere che si abbia $D_{24} le S_7$ ?
"Martino":
Solo una cosa (che comunque non compromette il buon esito della dimostrazione):
[quote="vict85"]Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.
Questo è vero se $n$ è una potenza di $2$ (come nel nostro caso) ma non è detto che valga in generale: per esempio se $n=12$ hai che $D_{24}$ possiede elementi di ordine $12$, ma per esempio anche $S_7$ ne possiede (oltre a $S_{12}$). E allora come fai ad escludere che si abbia $D_{24} le S_7$ ?[/quote]
Non ci avevo pensato... Avevo preso in considerazione solamente la sua interpretazione geometrica.
Questo può essere il prossimo problema allora:
Un gruppo diedrale $D_n$ può essere contenuto in un $S_m$ con $m
P.S: probabilmente non sarà difficile...
Oppure si potrebbe cercare, dato $n$, il piu' piccolo $m$ tale che $D_{2n} le S_m$.
Abbiamo visto che se $n=2^t$ allora $m=2^t$.
Abbiamo visto che se $n=2^t$ allora $m=2^t$.
"Martino":
Oppure si potrebbe cercare, dato $n$, il piu' piccolo $m$ tale che $D_{2n} le S_m$.
Abbiamo visto che se $n=2^t$ allora $m=2^t$.
Come ho detto pochi minuti fa probabilmente non era difficile... e in effetti non lo era.
Un gruppo ciclico è isomorfo al prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow.
Quindi:
Se $n = \prod_(i=0)^1 p_i^(a_i)$ il minimo m è uguale a: $m = \sum_(i=0)^1 p_i^(a_i)$
Io pensavo a mutarlo in un: Trovare, se esiste, il minimo $m$ per cui il suo più grande gruppo diedrale ha cardinalità minore del suo più grande p-Sylow (o più piccolo p-Sylow).
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