La milionesima ipotenusa...
Se si mettono in ordine di ipotenusa crescente le terne pitagoriche primitive, si trova che la prima è (ovviamente 
) [3, 4, 5] e che la milionesima è:
[ 5507055, 3025288, 6283313]
Che strano!
Le prime 4 cifre dell'ipotenusa della milionesima terna pitagorica primitiva sono le stesse di $2π$:
2π ≈ 6,2831853...
Questa milionesima ipotenusa vale circa 2π·10^6.
E' una coincidenza o c'è sotto qualcos'altro?
––––––
) [3, 4, 5] e che la milionesima è:[ 5507055, 3025288, 6283313]
Che strano!
Le prime 4 cifre dell'ipotenusa della milionesima terna pitagorica primitiva sono le stesse di $2π$:
2π ≈ 6,2831853...
Questa milionesima ipotenusa vale circa 2π·10^6.
E' una coincidenza o c'è sotto qualcos'altro?
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Risposte
E' una coincidenza.
PS. Quello è [tex]2 \pi[/tex], e poi in uno c'è un solo 3, nell'altro ce ne sono due.
PS. Quello è [tex]2 \pi[/tex], e poi in uno c'è un solo 3, nell'altro ce ne sono due.
Ho corretto il mio precedente 'post'.
Avevo scritto, sbagliando, "π" al posto di "2π" (che vale appunto 6,2831853...).
Guarda qua: [NB. N è il numero d'ordine per ipotenusa crescente, x è il cateto dispari, y il cateto pari e z l'ipotenusa.]
Non dispongo di terne pitagoriche primitive di indice maggiore di un milione.
Ma sarei pronto a scommettere che l'ipotenusa della miliardesima terna pitagorica primitiva è del tipo
6 283 185 xxx
cioè che ha almeno le prime 7 cifre coincidenti con le prime 7 cifre di 2π.
_________
Avevo scritto, sbagliando, "π" al posto di "2π" (che vale appunto 6,2831853...).
"Martino":Sicuro sicuro?
E' una coincidenza.
Guarda qua: [NB. N è il numero d'ordine per ipotenusa crescente, x è il cateto dispari, y il cateto pari e z l'ipotenusa.]
N x y z z/(2π)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10 33 56 65 10,34507---
100 42 460 629 100,1084...
1000 6205 948 6277 999,0155...
10000 11649 61760 62849 10002,72...
100000 334947 531604 628325 100001,0...
1000000 5507055 3025288 6283313 1000020,...
----------------------------------------------------------------
5 21 20 29 4,615493...
50 25 312 313 49,81549...
500 553 3096 3145 500,5422...
5000 10621 29580 31429 5002,080...
50000 177895 258912 314137 49996,45...
500000 1040291 2964300 3141541 499991,7...
Da questo piccolo "estratto" vien da pensare che, al crescere di N, l'ipotenusa della terna pitagorica primitiva "numero N" (che è sempre del tipo 4n+1 con n intero positivo) approssimi sempre meglio il numero trascendente 2π·N.Non dispongo di terne pitagoriche primitive di indice maggiore di un milione.
Ma sarei pronto a scommettere che l'ipotenusa della miliardesima terna pitagorica primitiva è del tipo
6 283 185 xxx
cioè che ha almeno le prime 7 cifre coincidenti con le prime 7 cifre di 2π.
_________
Interessante! Per caso la lista delle terne pitagoriche primitive fino a un milione è disponibile? Cioè posso vederla? Giusto per rendermi conto.
Premetto che non so niente di teoria dei numeri, quindi prendete quello che scrivo con beneficio d'inventario
Dato un intero \(c\), definiamo
\[
\gamma(c) := \text{card}\{(n,m)\in \mathbb{N}^2:\ 1 \leq n < m,\ n^2+m^2 \leq c^2,\ gcd(n,m) = 1,\ m,n\ \text{non entrambi dispari}\}.
\]
In altri termini, \(\gamma(c)\) è il numero di coppie di interi positivi \((n,m)\) coprimi, con \(n
\[
S(x) := \text{card}\{(n,m)\in \mathbb{N}^2:\ 1 \leq n, m\leq x,\ gcd(n,m) = 1\},
\]
si ha che
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{S(x)}{x^2} = \frac{6}{\pi^2}\,.
\]
Da qui (o ripetendo la dimostrazione, con le opportune modifiche, che si può fare per \(S(x)\)), abbiamo che
\[
\gamma(c^2) \sim \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4}\, S(c) \sim \frac{\pi}{12}\cdot \frac{6}{\pi^2} c^2 = \frac{1}{2\pi}\, c^2\,.
\]
(Il fattore \(1/3\) dipende dal fatto che nella definizione di \(\gamma\) prendiamo solo le coppie con \(n < m\), con \(n\) ed \(m\) uno pari e uno dispari.[nota]Grazie a orsoulx che mi ha fatto notare la questione della parità.[/nota])
Di conseguenza
\[
\frac{x}{\gamma(x)} \sim 2\pi\,.
\]
Edit: corretto un errore segnalato da orsoulx.
Dato un intero \(c\), definiamo
\[
\gamma(c) := \text{card}\{(n,m)\in \mathbb{N}^2:\ 1 \leq n < m,\ n^2+m^2 \leq c^2,\ gcd(n,m) = 1,\ m,n\ \text{non entrambi dispari}\}.
\]
In altri termini, \(\gamma(c)\) è il numero di coppie di interi positivi \((n,m)\) coprimi, con \(n
\[
S(x) := \text{card}\{(n,m)\in \mathbb{N}^2:\ 1 \leq n, m\leq x,\ gcd(n,m) = 1\},
\]
si ha che
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{S(x)}{x^2} = \frac{6}{\pi^2}\,.
\]
Da qui (o ripetendo la dimostrazione, con le opportune modifiche, che si può fare per \(S(x)\)), abbiamo che
\[
\gamma(c^2) \sim \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4}\, S(c) \sim \frac{\pi}{12}\cdot \frac{6}{\pi^2} c^2 = \frac{1}{2\pi}\, c^2\,.
\]
(Il fattore \(1/3\) dipende dal fatto che nella definizione di \(\gamma\) prendiamo solo le coppie con \(n < m\), con \(n\) ed \(m\) uno pari e uno dispari.[nota]Grazie a orsoulx che mi ha fatto notare la questione della parità.[/nota])
Di conseguenza
\[
\frac{x}{\gamma(x)} \sim 2\pi\,.
\]
Edit: corretto un errore segnalato da orsoulx.
"Rigel":
Temo che ci sia un errore in (1)
A mio avviso hai dimenticato che m ed n devono essere di parità diversa.
Ciao
"orsoulx":
[quote="Rigel"]Temo che ci sia un errore in (1)
A mio avviso hai dimenticato che m ed n devono essere di parità diversa.
Ciao[/quote]
Questo dovrebbe essere implicito nella richiesta \(gcd(n,m) = 1\).
"Rigel":
Questo dovrebbe essere implicito nella richiesta gcd(n,m)=1.
Solo in parte: se m ed n sono coprimi non possono essere entrambi pari, ma entrambi dispari si...
Ciao
"orsoulx":
[quote="Rigel"]Questo dovrebbe essere implicito nella richiesta gcd(n,m)=1.
Solo in parte: se m ed n sono coprimi non possono essere entrambi pari, ma entrambi dispari si...
Ciao[/quote]
Hai ragione!
Quindi il numero totale di coppie va diviso per 3, e non per 2.
Mi sembra che tutto torni.
anche a me. Vediamo cosa ne pensa Erasmus_First
"Martino":Io ce l'ho sul computer. Mi occupa 64 megabyte abbondanti. Ne ho anche fatto un file di tipo ZIP che occupa molto meno: 25,7 megabyte. Ma ancora troppo rispetto a quanto credo che si possa trasmettere ad altri per e.mail o via hosting.
[...] la lista delle terne pitagoriche primitive fino a un milione è disponibile?
Però ... se Rigel o qualcun altro è invece in grado di suggerirmi come fare, sarei ben lieto di mettere in rete questo elenco,
Il quale è stato generato nel 2007 proprio per verificare sperimentalmente che, al crescere di n, l'ipotenusa della n-esima terna pitagorica primitiva approssima sempre meglio 2n·π.
L'algoritmo era il seguente (ovviamente implementato poi in un linguaggio di programmazione per computer):
Scegli un intero positivo p grande a tuo piacere.
Poni k = 0, w = 1 e w[size=85]max[/size] = p – (p – 1) mod 4.
Fintantoché w è minore di w[size=85]max[/size] ripeti quanto segue:
– aumenta w di 4 e poni m = 1;
– fintantoché m·m è minore di w ripeti quanto segue:
–– poni v = 2w – m·m ;
–– se esiste l’intero n per cui n·n = v allora
––– se il massimo comune divisore di m ed n è 1 allora
–––– poni x = n·m, y = (n·n – m·m)/2 e z = w;
–––– aumenta k di 1;
–––– registra k, la TPP [x, y, z] e lo scarto z/k –2π
–– {fine di “se ... allora”};
–– aumenta m di 2
– {fine di "fintantoché m·m … "}
{fine di "Fintantoché w … "}.
"orsoulx":
Vediamo cosa ne pensa Erasmus_First
Confesso di non riuscire a seguire lo stringatissimo ragionamento di Rigel (che invece ... "torna" del tutto a orsoulx)
.In particolare: che significa $gcd(n,m)$?
E perché si parla di "parità diversa"?
Ma, vedendo alla fine qualcosa che mi sembra equivalente al prodotto di 16/π per π^2/8, mi pare che Rigel abbia in sostanza dimostrata la tesi [che la n-esima TPP – in ordine di ipotenusa crescente – tende ad essere lunga 2n·π] in un modo analogo a quello usato anche da me.
__________________________
Ogni terna pitagorica primitiva (x, y, z) si può ottenere da una coppia (m, n) di interi entrambi dispari con
n > m ≥ 1 e massimo comune divisore MCD(m, n) = 1,
ponendo:
• "cateto dispari" x = m·n;
• "cateto pari" y = $(n^2 - m^2)/2$;
• "ipotenusa" z = $(n^2 + m^2)/2$.
Nel [lontano] 2007 ho trovato che, messe le terne pitagoriche (x, y, z) generate in questo modo in ordine di z crescente, se non ci fosse la condizione MCD(m, n) = 1 sui due dispari m ed n (con n> m ≥ 1), il rapporto tra la n-esima ipotenusa z(n) e il suo numero d'ordine n tenderebbe a 16/π = 5,09... < 2π al tendere all'infinito di n.
lim z(n)/n = 16/π .
n––>[size=100]∞[/size]
Imponendo che i due dispari m ed n siano coprimi (se no la corrispondente terna non è primitiva), la quantità di terne generate in quel modo si riduce di $8/π^2$ volte e quindi quel rapporto va corretto nel seguente:
lim z[size=85]p[/size](n)/n = (16/π)·(π^2/8) = 2π .
n––>[size=100]∞[/size]
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Forse non è male se dò altre informazioni su questa faccenda ... citandomi dal testo della mia "comunicazione" al congresso nazionale di "Mathesis" di Chieti (nel 2007).
«Nel 1900, Derrick Norman Lehmer, (padre del più noto Derrick Henry Lehmer), pubblicò l’articolo “Rational Triangles” su Annals of mathematics, articolo ora repereribile in Internet (ma a pagamento) in American Journal of Mathematics, 1900, vol. 2, pag. 38. In questo articolo, D. N. Lehmer afferma tra l’altro che il numero delle terne pitagoriche primitive con ipotenusa non maggiore di N è all’incirca N/(2π). Ma di tutto ciò io non sapevo nulla fino a quando, poco tempo fa, me ne parlò un amico che in questa notizia s’era imbattuto occasionalmente navigando in Internet.
Lo scopo di questo saggio è mostrare che, effettivamente, il rapporto tra la massima delle ipotenuse delle terne pitagoriche primitive con ipotenusa non maggiore di w ed il numero di tali terne tende a 2π al tendere di w all’infinito.»
____________
"Erasmus_First":
In particolare: che significa $gcd(n,m)$?
E perché si parla di "parità diversa"?
gcd = greatest common divisor = massimo comune divisore = MCD
Si parla di "parità diversa" nel senso che le terne pitagoriche primitive sono generate da due numeri interi positivi \(n\), \(m\), con \(n < m\), \(gcd(n,m) = 1\) e non aventi la stessa parità (cioè devono essere uno pari e uno dispari), mediante
\[
(n,m) \mapsto (m^2 - n^2, 2mn, m^2+n^2).
\]
(In modo equivalente possono essere generate come dici tu, senza richieste di parità diversa, dividendo per 2.)
Mi pare che i due procedimenti siano equivalenti, cambia solo l'ordine in cui vengono esaminate le condizioni.
Anche nei generatori di terne pitagoriche utilizzate da Erasmus_First c'è un controllo di parità: i due generatori oltre che coprimi devono essere entrambi dispari. Condizione che viene implementata nel programma addizionando 2 ad ogni passo del ciclo più interno.
Anche nei generatori di terne pitagoriche utilizzate da Erasmus_First c'è un controllo di parità: i due generatori oltre che coprimi devono essere entrambi dispari. Condizione che viene implementata nel programma addizionando 2 ad ogni passo del ciclo più interno.
"Rigel":Dovevo immaginarlo ... che la libidine di dire in inglese è fortissima anche quando e dove meno te l'aspetti!
[...] gcd = greatest common divisor = massimo comune divisore = MCD
O.K. Ho anche controllato.
–––> "Massimo Comun Divisore" (Word Reference)
[Delle tre parole, due sono "neolatine". Insomma: sono loro, gli anglofoni, che hanno dapprima imparato dai "latini" ...]
"Rigel":O.K. Non ci avevo pensato...
[...] le terne pitagoriche primitive sono generate da due numeri interi positivi \(n\), \(m\), con \(n < m\), \(gcd(n,m) = 1\) e non aventi la stessa parità (cioè devono essere uno pari e uno dispari) [...]
[Ho sempre fatto uso dell'altro modo: due interi n ed m entrambi dispari e coprimi.
Cateto dispari $x=m·n$;
Cateto pari $y = |m^2 - n^2|/2$;
Ipotenusa $z = (m^2 + n^2)/2$.
______
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