La mappa di Veronese...
...è la seguente:
\[
\nu_{n,d}:[x_0:...: x_n]\in\mathbb{P}^n\to\left[\mathbf{x}^I\right]\in\mathbb{P}^{N(n,d)}\equiv\mathbb{P}^N
\]
dove:
[list=a]
[*:1wl76mfs] gli spazi proiettivi sono su un campo algebricamente chiuso \(\displaystyle\mathbb{K}\) di caratteristica \(\displaystyle0\)[nota]Se avete problemi con questa ipotesi, pensate a \(\displaystyle\mathbb{C}\) senza troppe paranoie.[/nota];[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]\(\displaystyle I\) è un multi-indice \(\displaystyle(i_0,...,i_n)\in\mathbb{N}^{n+1}_0\) tale che \(\displaystyle i_0+...+i_n=d\);[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]\(\displaystyle\mathbf{x}^I=x_0^{i_0}\cdot...\cdot x_n^{i_n}\) e le coordinate variano su tutti i multi-indici secondo le ipotesi;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]\(\displaystyle N=\binom{n+d}{d}-1\).[/*:m:1wl76mfs][/list:o:1wl76mfs]
Ecco l'esercizio completo:
[list=1]
[*:1wl76mfs]dimostrare che le \(\displaystyle\nu_{n,d}\) sono funzioni ben definite e che sono mappe regolari;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]l'immagine delle \(\displaystyle\nu_{n,d}\) sono (euristicamente) varietà proiettive gobbe[nota]Praticamente sto chiedendo di dimostrare solo la "gobbezza".[/nota], ovvero non contenute in alcun sottospazio lineare proprio di \(\displaystyle\mathbb{P}^N\);[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs] dimostrare che le \(\displaystyle\nu_{n,d}\) sono mappe iniettive;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs] dimostrare che la loro immagine è intersezione di ipersuperfici quadriche;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs] calcolare \(\displaystyle\nu_{n,d}^{-1}\).[nota]Servono esplicitamente i precedenti due punti![/nota][/*:m:1wl76mfs][/list:o:1wl76mfs]
\[
\nu_{n,d}:[x_0:...: x_n]\in\mathbb{P}^n\to\left[\mathbf{x}^I\right]\in\mathbb{P}^{N(n,d)}\equiv\mathbb{P}^N
\]
dove:
[list=a]
[*:1wl76mfs] gli spazi proiettivi sono su un campo algebricamente chiuso \(\displaystyle\mathbb{K}\) di caratteristica \(\displaystyle0\)[nota]Se avete problemi con questa ipotesi, pensate a \(\displaystyle\mathbb{C}\) senza troppe paranoie.[/nota];[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]\(\displaystyle I\) è un multi-indice \(\displaystyle(i_0,...,i_n)\in\mathbb{N}^{n+1}_0\) tale che \(\displaystyle i_0+...+i_n=d\);[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]\(\displaystyle\mathbf{x}^I=x_0^{i_0}\cdot...\cdot x_n^{i_n}\) e le coordinate variano su tutti i multi-indici secondo le ipotesi;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]\(\displaystyle N=\binom{n+d}{d}-1\).[/*:m:1wl76mfs][/list:o:1wl76mfs]
Ecco l'esercizio completo:
[list=1]
[*:1wl76mfs]dimostrare che le \(\displaystyle\nu_{n,d}\) sono funzioni ben definite e che sono mappe regolari;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs]l'immagine delle \(\displaystyle\nu_{n,d}\) sono (euristicamente) varietà proiettive gobbe[nota]Praticamente sto chiedendo di dimostrare solo la "gobbezza".[/nota], ovvero non contenute in alcun sottospazio lineare proprio di \(\displaystyle\mathbb{P}^N\);[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs] dimostrare che le \(\displaystyle\nu_{n,d}\) sono mappe iniettive;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs] dimostrare che la loro immagine è intersezione di ipersuperfici quadriche;[/*:m:1wl76mfs]
[*:1wl76mfs] calcolare \(\displaystyle\nu_{n,d}^{-1}\).[nota]Servono esplicitamente i precedenti due punti![/nota][/*:m:1wl76mfs][/list:o:1wl76mfs]
Risposte
1. Che l'insieme dei monomi di grado \(d\) su \(n\) indeterminate abbia cardinalità \(N(n,d)\) è un conto che non ho alcuna voglia di fare, quindi partirò dall'ipotesi che sia vero 
In caso serva, suppongo che sui possibili valori di \(I\) sia stato stabilito una volta per tutte un'ordinamento, chiamo tale insieme ordinato \(\mathscr{I}\).
Sia \(P = [x_0, \ldots, x_n] = [\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n] \ \forall \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0_{\mathbb{K}}\}\). Si ha allora che per ipotesi \(\sum i_j = \lvert I \rvert = d\) e \[ \begin{split}\nu (P) &= \nu [x_0, \ldots, x_n] =\\ &= [x_0^{i_0} \cdots x_n^{i_n}]_{I \in \mathscr{I}} =\\ &= [\lambda ^d x_0^{i_0} \cdots x_n^{i_n}]_{I \in \mathscr{I}} =\\ &= \nu [ \lambda x_0, \ldots, \lambda x_n] \end{split} \]ovvero la funzione è ben definita. Esaminando la funzione per componenti \(\nu_{n,d} = (\nu_{n,d}^1, \ldots , \nu_{n,d}^{N})\) ciascuna componente è un monomio (di grado \(d\)), ergo la mappa è regolare.
In caso serva, suppongo che sui possibili valori di \(I\) sia stato stabilito una volta per tutte un'ordinamento, chiamo tale insieme ordinato \(\mathscr{I}\).
Sia \(P = [x_0, \ldots, x_n] = [\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n] \ \forall \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0_{\mathbb{K}}\}\). Si ha allora che per ipotesi \(\sum i_j = \lvert I \rvert = d\) e \[ \begin{split}\nu (P) &= \nu [x_0, \ldots, x_n] =\\ &= [x_0^{i_0} \cdots x_n^{i_n}]_{I \in \mathscr{I}} =\\ &= [\lambda ^d x_0^{i_0} \cdots x_n^{i_n}]_{I \in \mathscr{I}} =\\ &= \nu [ \lambda x_0, \ldots, \lambda x_n] \end{split} \]ovvero la funzione è ben definita. Esaminando la funzione per componenti \(\nu_{n,d} = (\nu_{n,d}^1, \ldots , \nu_{n,d}^{N})\) ciascuna componente è un monomio (di grado \(d\)), ergo la mappa è regolare.
"Epimenide93":Manco a me interessa calcolare quella dimensione, ci credo e basta; la cosa che serve (e che servirà più in là) è che tale insieme è uno spazio vettoriale, altrimenti non avrebbe senso considerare quel \(\displaystyle\mathbb{P}^N\).
...Che l'insieme dei monomi di grado \(d\) su \(n\) indeterminate abbia cardinalità \(N(n,d)\) è un conto che non ho alcuna voglia di fare, quindi partirò dall'ipotesi che sia vero
Indizio per il punto 2:
So dimostrare la seconda parte usando un po' di teoria delle rappresentazioni. Sia $V$ lo spazio vettoriale $(n+1)$-dimensionale generato dalle indeterminate $x_0, ... ,x_n$. Allora $S^d V$ e' una rappresentazione irriducibile di $G=GL(V)$ e l'azione passa banalmente al proiettivo.
Notiamo che la Veronese e' una $G$-varieta' (in realta' e' molto di piu': una $G$-orbita), nel senso che, se $p \in \nu_d(\mathbbP^n)$, allora $g\cdot p \in \nu_d(\mathbb{P}^n)$. Infatti, se $L \in V$ e' una forma lineare, si ha $\nu_d([L]) = [L^d]$, e quindi $g \cdot [L^d] = [(g\cdot L)^d]$.
Sia $E = span( \nu_d(\mathbb{P}^n))$ lo spazio lineare in $S^d V$ spannato dalle rette (nel senso di punti di $\mathbb{P}(S^d V)$) della Veronese. Visto che $\nu_d(\mathbb{P}^n)$ e' una $G$-varieta', $E$ e' stabile sotto l'azione di $G$. Ma visto che $S^d V$ e' irriducibile, non puo' ammettere sottospazi $G$-stabili non banali, e dunque $E=0$ o $E=S^d V$. Visto che non e' zero (altrimenti la Veronese sarebbe vuota), si conclude.
Notiamo che la Veronese e' una $G$-varieta' (in realta' e' molto di piu': una $G$-orbita), nel senso che, se $p \in \nu_d(\mathbbP^n)$, allora $g\cdot p \in \nu_d(\mathbb{P}^n)$. Infatti, se $L \in V$ e' una forma lineare, si ha $\nu_d([L]) = [L^d]$, e quindi $g \cdot [L^d] = [(g\cdot L)^d]$.
Sia $E = span( \nu_d(\mathbb{P}^n))$ lo spazio lineare in $S^d V$ spannato dalle rette (nel senso di punti di $\mathbb{P}(S^d V)$) della Veronese. Visto che $\nu_d(\mathbb{P}^n)$ e' una $G$-varieta', $E$ e' stabile sotto l'azione di $G$. Ma visto che $S^d V$ e' irriducibile, non puo' ammettere sottospazi $G$-stabili non banali, e dunque $E=0$ o $E=S^d V$. Visto che non e' zero (altrimenti la Veronese sarebbe vuota), si conclude.
Non ho capito questo:
"Pappappero":Poi, questo sarebbe un punto di arrivo e non di partenza!
...se $ L \in V $ e' una forma lineare, si ha $ \nu_d([L]) = [L^d] $...
Sono stato un po' frettoloso nell'identificare spazi e loro duali. Cambiamo leggermente la notazione rispetto al post precedente. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n+1$. Fissiamo una base $e_0,...,e_n$ e se $v \in V$ indichiamo con $x_0,...,x_n$ le sue coordinate nella base scelta.
Ora, diamo a $S^d V$ la base \(E_I = \binom{d}{I} e_I\) dove $I$ e' un multi-indice proprio come nel primo post, \(\binom{d}{I}\) e' il coefficiente multinomiale ed $e_I = e_0^{i_0}...e_n^{i_n}$.
A questo punto, se $v$ ha coordinate $(x_0,...,x_n)$, nelle $e_i$ allora $v^d$ ha coordinate $\mathbf{x}^I$ nelle $E_I$, e dunque $\nu_d([v]) = [v^d]$.
Questo che vuol dire?
Ora, diamo a $S^d V$ la base \(E_I = \binom{d}{I} e_I\) dove $I$ e' un multi-indice proprio come nel primo post, \(\binom{d}{I}\) e' il coefficiente multinomiale ed $e_I = e_0^{i_0}...e_n^{i_n}$.
A questo punto, se $v$ ha coordinate $(x_0,...,x_n)$, nelle $e_i$ allora $v^d$ ha coordinate $\mathbf{x}^I$ nelle $E_I$, e dunque $\nu_d([v]) = [v^d]$.
"j18eos":
Poi, questo sarebbe un punto di arrivo e non di partenza!
Questo che vuol dire?
Mi sono espresso anch'io male: il dimostrare che l'immagine di \(\displaystyle\nu_{n,d}\) è una varietà algebrica proiettiva di \(\displaystyle\mathbb{P}\left(S^d\mathbb{V}_n\right)\), mediante l'azione ovvia di \(\displaystyle\mathrm{GL}(\mathbb{V}_n)\) su \(\displaystyle S^d\mathbb{V}_n\) è un punto di arrivo ma non di partenza per lo studio di tali varietà.
Sarebbe come introdurre le grassmanniane a partire dall'azione ovvia di \(\displaystyle\mathrm{GL}(\mathbb{V}_n)\) su \(\bigwedge^d\mathbb{V}_n\) con \(\displaystyle0
IMHO
Sarebbe come introdurre le grassmanniane a partire dall'azione ovvia di \(\displaystyle\mathrm{GL}(\mathbb{V}_n)\) su \(\bigwedge^d\mathbb{V}_n\) con \(\displaystyle0
IMHO
Mmm...no...ho saltato un punto. Io mi sono limitato a dimostrare la nondegenericita', cioe' il fatto che l'imagine dell'embedding non e' contenuta in un iperpiano. Volevo proporre questa dimostrazione perche' non usa praticamente nessun fatto teorico profondo e non rende necessario alcun conto con iperpiani, intersezioni e simili.
Comunque quello che ho mostrato io non dimostra che si tratta di una varieta' algebrica in $mathbb{P} (S^d V)$. In effetti questo e' un caso molto particolare in cui la varieta' e' essa stessa un'orbita per l'azione di $GL(V)$, o equivalentemente che l'orbita per l'azione di $GL(V)$ e' chiusa. Ma ci sono tonnellate di orbite che non sono chiuse.
Per dimostrare che l'immagine dell'embedding e' un'orbita, l'unico argomento completo che conosco e' attraverso i minori $2 \times 2$ della cataletticante. Ma per dimostrare che in effetti quelle equazioni definiscono la varieta', se ben ricordo bisogna fare un bel po' di conti e un po' di induzione.
Concludendo, trovo comunque che la definizione dell'embedding via $v \mapsto v^d$ sia molto piu' geometrica e molto piu' intuitiva rispetto alla definizione in coordinate. L'embedding di Veronese prene' quella mappa che prende polinomi omogenei di grado $1$ (che vivono nello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado $1$) e ne fa la potenza $d$-esima, che vive nello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado $d$.
Con questa definizione e' immediato osservare che l'immagine dell'embedding e' chiusa sotto l'azione di $GL(V)$ e con la prima settimana di un corso di teoria delle rappresentazioni si dimostra la nondegenericita' senza neanche un conto.
Comunque quello che ho mostrato io non dimostra che si tratta di una varieta' algebrica in $mathbb{P} (S^d V)$. In effetti questo e' un caso molto particolare in cui la varieta' e' essa stessa un'orbita per l'azione di $GL(V)$, o equivalentemente che l'orbita per l'azione di $GL(V)$ e' chiusa. Ma ci sono tonnellate di orbite che non sono chiuse.
Per dimostrare che l'immagine dell'embedding e' un'orbita, l'unico argomento completo che conosco e' attraverso i minori $2 \times 2$ della cataletticante. Ma per dimostrare che in effetti quelle equazioni definiscono la varieta', se ben ricordo bisogna fare un bel po' di conti e un po' di induzione.
Concludendo, trovo comunque che la definizione dell'embedding via $v \mapsto v^d$ sia molto piu' geometrica e molto piu' intuitiva rispetto alla definizione in coordinate. L'embedding di Veronese prene' quella mappa che prende polinomi omogenei di grado $1$ (che vivono nello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado $1$) e ne fa la potenza $d$-esima, che vive nello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado $d$.
Con questa definizione e' immediato osservare che l'immagine dell'embedding e' chiusa sotto l'azione di $GL(V)$ e con la prima settimana di un corso di teoria delle rappresentazioni si dimostra la nondegenericita' senza neanche un conto.
"Pappappero":Mi riserverò del tempo per rifletterci; comunque ho scritto tutti i punti dell'esercizio!
...trovo comunque che la definizione dell'embedding via $v \mapsto v^d$ sia molto piu' geometrica e molto piu' intuitiva rispetto alla definizione in coordinate...
Quanto tempo che non passavo più di qua! Mi è piaciuta molto l'idea proposta da Pappappero.
Voglio ricambiare proponendo una descrizione della mappa di Veronese con il linguaggio degli schemi e dei fasci. Notate che il contenuto dimostrativo degli esercizi di j18eos non viene in alcun modo semplificato, si tratta soltanto di un cambio di linguaggio, che pero' è comodo in quanto consente di estendere l'idea della mappa di Veronese a praticamente ogni varietà, dando un modo semplice di produrre mappe verso il proiettivo.
Ricordo innanzi tutto che dato uno schema $X$ (leggete varietà algebrica, se vi fa sentire più tranquilli), un line bundle $\mathcal L$ su $X$ (formalmente definito come un fascio localmente libero di rango 1) è ampio se è possibile scegliere sezioni globali $f \in H^0(X, \mathcal L)$ di modo che gli aperti $X_{f} := \{x \in X | f(x) \ne 0\}$ formino una base di aperti per $X$ (si ricordi che $f(x) = 0$ significa che $f_x \equiv 0 (\mod \mathfrak m_x)$, dove $f_x \in \mathcal L_{x}$ è il germe di $f$ nel punto $x$ e $\mathfrak m_x$ è l'ideale massimale dell'anello locale $\mathcal O_{X,x}$). Equivalentemente, il base locus di $\mathcal L$ è vuoto. E' semplice mostrare che i fibrati ampi sono stabili per prodotto tensore di fasci (in effetti, basta dimostrare l'identità $X_{f \otimes g} = X_{f} \cap X_{g}$).
Supponiamo ora che $X$ sia uno schema proprio su un campo $k$, e $\mathcal L$ un fibrato ampio su $X$. In tal caso, si sa che $H^0(X, \mathcal L)$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita su $k$. Data una qualunque base $f_1, \ldots, f_m$ di questo spazio vettoriale, possiamo definire un'applicazione canonica $\varphi : X \to \mathbb P^m$ definita informalmente in coordinate da $x \mapsto [f_1(x) : \ldots : f_m(x)]$ (per gli interessati, ricordo che formalmente questa mappa si costruisce come segue: se $p : X \to \text{Spec}(k)$ è la mappa canonica sul punto, allora la scelta della base equivale ad una mappa $k^m \to p_\star \mathcal L$, che quindi induce una mappa di anelli graduati $\text{Sym}_k(k^m) \to \text{Sym}_k(p_\star \mathcal L)$ e quindi si conclude per proprietà universale della costruzione proj - vedere ad esempio Stack project, Tag 01O4). Se si cambia la base, le due applicazioni risultanti differiranno per un automorfismo lineare di $\mathbb P^m$.
Si prenda il duale del fascio tautologico su $\mathbb P^n$, $\mathcal O_{\mathbb P^n}(1)$. Segue dalla definizione che $\mathcal O_{\mathbb P^n}(1)$ è un fascio ampio. Siccome i fasci ampi sono stabili per prodotto tensore, segue che $\mathcal L := \mathcal O_{\mathbb P^n}(1)^{\otimes d} = \mathcal O_{\mathbb P^n}(d)$ è ancora ampio. Se ne deduce che l'applicazione canonica $\varphi_{\mathcal L} : \mathbb P^n \to \mathbb P^N$, è ben definita. Qui, ho posto $N = \dim_k H^0(\mathbb P^n, \mathcal L)$. E' molto semplice constatare che si tratta precisamente dell'embedding di Veronese.
Ricordo infine che un fibrato ampio si dice molto ampio se l'applicazione canonica indotta è un embedding. L'esercizio 2. proposto da j18eos si puo' allora riparafrasare dicendo che $\mathcal O_{\mathbb P^n}(d)$ è molto ampio.
Closing exercise. Se $X$ è uno schema, $\mathcal L$ e $\mathcal H$ sono due fibrati molto ampi su $X$, allora $\mathcal L \otimes \mathcal H$ è ancora molto ampio.
Voglio ricambiare proponendo una descrizione della mappa di Veronese con il linguaggio degli schemi e dei fasci. Notate che il contenuto dimostrativo degli esercizi di j18eos non viene in alcun modo semplificato, si tratta soltanto di un cambio di linguaggio, che pero' è comodo in quanto consente di estendere l'idea della mappa di Veronese a praticamente ogni varietà, dando un modo semplice di produrre mappe verso il proiettivo.
Ricordo innanzi tutto che dato uno schema $X$ (leggete varietà algebrica, se vi fa sentire più tranquilli), un line bundle $\mathcal L$ su $X$ (formalmente definito come un fascio localmente libero di rango 1) è ampio se è possibile scegliere sezioni globali $f \in H^0(X, \mathcal L)$ di modo che gli aperti $X_{f} := \{x \in X | f(x) \ne 0\}$ formino una base di aperti per $X$ (si ricordi che $f(x) = 0$ significa che $f_x \equiv 0 (\mod \mathfrak m_x)$, dove $f_x \in \mathcal L_{x}$ è il germe di $f$ nel punto $x$ e $\mathfrak m_x$ è l'ideale massimale dell'anello locale $\mathcal O_{X,x}$). Equivalentemente, il base locus di $\mathcal L$ è vuoto. E' semplice mostrare che i fibrati ampi sono stabili per prodotto tensore di fasci (in effetti, basta dimostrare l'identità $X_{f \otimes g} = X_{f} \cap X_{g}$).
Supponiamo ora che $X$ sia uno schema proprio su un campo $k$, e $\mathcal L$ un fibrato ampio su $X$. In tal caso, si sa che $H^0(X, \mathcal L)$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita su $k$. Data una qualunque base $f_1, \ldots, f_m$ di questo spazio vettoriale, possiamo definire un'applicazione canonica $\varphi : X \to \mathbb P^m$ definita informalmente in coordinate da $x \mapsto [f_1(x) : \ldots : f_m(x)]$ (per gli interessati, ricordo che formalmente questa mappa si costruisce come segue: se $p : X \to \text{Spec}(k)$ è la mappa canonica sul punto, allora la scelta della base equivale ad una mappa $k^m \to p_\star \mathcal L$, che quindi induce una mappa di anelli graduati $\text{Sym}_k(k^m) \to \text{Sym}_k(p_\star \mathcal L)$ e quindi si conclude per proprietà universale della costruzione proj - vedere ad esempio Stack project, Tag 01O4). Se si cambia la base, le due applicazioni risultanti differiranno per un automorfismo lineare di $\mathbb P^m$.
Si prenda il duale del fascio tautologico su $\mathbb P^n$, $\mathcal O_{\mathbb P^n}(1)$. Segue dalla definizione che $\mathcal O_{\mathbb P^n}(1)$ è un fascio ampio. Siccome i fasci ampi sono stabili per prodotto tensore, segue che $\mathcal L := \mathcal O_{\mathbb P^n}(1)^{\otimes d} = \mathcal O_{\mathbb P^n}(d)$ è ancora ampio. Se ne deduce che l'applicazione canonica $\varphi_{\mathcal L} : \mathbb P^n \to \mathbb P^N$, è ben definita. Qui, ho posto $N = \dim_k H^0(\mathbb P^n, \mathcal L)$. E' molto semplice constatare che si tratta precisamente dell'embedding di Veronese.
Ricordo infine che un fibrato ampio si dice molto ampio se l'applicazione canonica indotta è un embedding. L'esercizio 2. proposto da j18eos si puo' allora riparafrasare dicendo che $\mathcal O_{\mathbb P^n}(d)$ è molto ampio.
Closing exercise. Se $X$ è uno schema, $\mathcal L$ e $\mathcal H$ sono due fibrati molto ampi su $X$, allora $\mathcal L \otimes \mathcal H$ è ancora molto ampio.
"maurer":Confermo!
...Voglio ricambiare proponendo una descrizione della mappa di Veronese con il linguaggio degli schemi e dei fasci. Notate che il contenuto dimostrativo degli esercizi di j18eos non viene in alcun modo semplificato, si tratta soltanto di un cambio di linguaggio...
"maurer":Odio quel fascio duale.
...Si prenda il duale del fascio tautologico su $ \mathbb P^n $, $ \mathcal O_{\mathbb P^n}(1) $...
Un riferimento bibliografico alla versione di maurer: Bosch - Algebraic Geometry and Commutative Algebra, esercizio 9.4.6!
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