Irrazionalità di $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

[carlo232]

Dimostrare che

$sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

è irrazionale.

PS scusate per il casino di prima

[carlo232]

"archimede":Voglio fare lo "sborone",anche se sono ...
Archimede.

Interessante, la mia dimostrazione era più rozza ma comunque funzionale.
Proverò a vedere se posso applicare le tue idee a qualche altro problema...

Ciao, ciao!

[carlo232]

"Crook":

Non basterebbe dimostrare che $sum_(m=1)^infty sum_(n=1)^infty 1/(2^n)^m$ è irrazionale, dato che $1/(n-1)= sum_(i=1)^infty 1/(n)^i$? l'n nella seconda è un numero qualsiasi.

Si basterebbe, basterebbe anche dimostrare che

$sum_(n=1)^infty 1/(2^(n^2)) ((2^n+1)/(2^n-1))$

è irrazionale, infatti

$sum_(n=1)^infty (x^n)/(1-x^n)= sum_(n=1)^infty x^(n^2) ((1+x^n)/(1-x^n)) $ con $|x|<1$

conoscevi quest'uguaglianza?

Ciao, ciao

[TomSawyer1]

"antonio89x":Eccolo qui http://www.matematicamente.it/f/profile.php?mode=viewprofile&u=494
Come mai non partecipa più?

Tempo fa si è "offeso" per un post cancellato, e da allora non scrive piu'.

[TomSawyer1]

"carlo23":[quote="Crook"]

Non basterebbe dimostrare che $sum_(m=1)^infty sum_(n=1)^infty 1/(2^n)^m$ è irrazionale, dato che $1/(n-1)= sum_(i=1)^infty 1/(n)^i$? l'n nella seconda è un numero qualsiasi.

Si basterebbe, basterebbe anche dimostrare che

$sum_(n=1)^infty 1/(2^(n^2)) ((2^n+1)/(2^n-1))$

è irrazionale, infatti

$sum_(n=1)^infty (x^n)/(1-x^n)= sum_(n=1)^infty x^(n^2) ((1+x^n)/(1-x^n)) $ con $|x|<1$

conoscevi quest'uguaglianza?

Ciao, ciao [/quote]

No, non la conoscevo. Comunque il problema resta aperto, allora.