Integrale di funzione continua

[Sk_Anonymous]

Esercizio (facile). Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua e supponiamo di avere un insieme \( S \subset \mathbb{R} \) di cardinalita' (al piu') numerabile tale che \[ \int_p^q f(x) \, dx = 0 \] per ogni coppia \(p,q \in \mathbb{R} \setminus S \). Mostrare che \(f(x) =0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).

[Bremen000]

Supponiamo per assurdo che esista un $x_0 \in RR$ tale che $f(x_0) \ne 0$. Senza perdere generalità supponiamo che sia $f(x_0)>0$. Poiché $f$ è continua esiste tutto un intorno di $x_0$ dove la funzione è positiva, diciamo $A_{x_0}$.

L'insieme $S$ ha cardinalità minore di quella del continuo e dunque l'insieme $A_{x_0} \setminus S$ ha la cardinalità del continuo e contiene almeno due elementi diciamo $p
Dunque $\int_p^q f(x)dx>0$, assurdo.

[Vincent46]

Con le stesse ipotesi, basterebbe integrabile sui compatti e si concluderebbe che $f$ è nulla quasi ovunque, giusto?

[dan952]

Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

[Bremen000]

"dan95":Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

Io volevo vedere se era davvero facile

"Vincent46":Con le stesse ipotesi, basterebbe integrabile sui compatti e si concluderebbe che $ f $ è nulla quasi ovunque, giusto?

Non ho capito bene cosa intendi ma mi interessa, puoi spiegarti meglio?

[Sk_Anonymous]

"dan95":Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

In accordo con la scala di ovvieta' di Princeton, le mie affermazioni sulla difficolta' o sull'ovvio sono solitamente una via di mezzo tra quelle di Wedderburn e quelle di Lefschetz, quindi quando dico "facile" intendo "ricreativo" o "che puo' essere risolto mentre si aspetta il bus" (assunte le abilita' matematiche di chi popola questa sezione, ovvero i soliti pochi).

@Bremen: si'!