[Geometria Algebrica] Irriducibilità del prodotto fibrato
Ciao a tutti!
Credo che questa sia la sezione più adatta per questo quesito.
Sia $K$ un campo, non necessariamente algebricamente chiuso. Sia $f:W->V$ un morfismo dominante di varietà ($K$-schemi di tipo finito) la cui fibra generica è geometricamente irriducibile. Sia poi $Y$ un'altra varietà (irriducibile) di dimensione uguale a $V$ e $\pi : Y -> V$ un morfismo dominante di grado almeno 2. Non riesco a dimostrare che $W \times_V Y$ è irriducibile e che la proiezione su $W$ ha ancora grado almeno due (non sto assumendo che $W$ sia irriducibile). Chi mi da una mano?
Credo che questa sia la sezione più adatta per questo quesito.
Sia $K$ un campo, non necessariamente algebricamente chiuso. Sia $f:W->V$ un morfismo dominante di varietà ($K$-schemi di tipo finito) la cui fibra generica è geometricamente irriducibile. Sia poi $Y$ un'altra varietà (irriducibile) di dimensione uguale a $V$ e $\pi : Y -> V$ un morfismo dominante di grado almeno 2. Non riesco a dimostrare che $W \times_V Y$ è irriducibile e che la proiezione su $W$ ha ancora grado almeno due (non sto assumendo che $W$ sia irriducibile). Chi mi da una mano?
Risposte
Da quel ricordo, il prodotto fibrato di schemi si costruisce a partire dal prodotto fibrato di schemi affini: prova a dimostrare l'asserto per il caso di soli schemi affini!, può essere utile?
La strategia sarebbe certamente stata quella, ci si può chiaramente ridurre al caso affine. Ecco una bozza di soluzione.
Per uno schema (qui affine) $X$ chiamo con $A(X)$ il suo anello delle coordinate (i.e.: $X = \Spec(A(X))$) e $K(X)$ il suo campo di funzioni.
Poniamo $Z:=W \times _V Y$. Allroa $A(Z) = A(W) \otimes_{A(V)} A(Y).$ Posto $S=A(Z)^{\times}$ abbiamo
$$ A(Z) \hookrightarrow S^{-1}A(Z) = S^{-1}A(W)\otimes_{K(V)} K(Y). $$
Inoltre, $K(Y), K(W)$ sono piatti su $K(V)$, dunque tensorizzando con $\bar{K(Y)}$, otteniamo
$$ A(Z) \hookrightarrow K(W)\otimes_{K(V)} \overline{K(Y)} $$
che è un dominio di integrità, perchè $K(W)|K(V)$ è un'estensione regolare per ipotesi.
Segue quindi che anche $A(Z)$ è un dominio, e quindi $Z$ è irriducibile.
Per quanto riguarda il grado del morfismo, sia $p:Z \rightarrow W$ la proiezione. Sappiamo che $ \deg \pi = [K(Y):K(V)] \geq 2. $ Inoltre, $K(W)|K(V)$ è un'estensione regolare, cioè $K(W)$ e $\bar{K(V)}$ sono linearmente disgiunti su $K(V)$. Ancora, abbiamo le immersioni $ K(V) \subset K(Y) \subset \bar{K(V)} $, quindi, per la regola della torre, $K(W)$ e $K(Y)$ sono linearmente disgiunte su $K(V)$. Segue che, poiche posso trovare almeno due elementi di $K(Y)$ linearmente indipendenti su $K(V)$, allora questi saranno anche linearmente indipendenti su $K(W)$ come elementi di $K(Z)$, da cui $[K(Z):K(W)] \geq 2$.
Critiche, correzioni e suggerimenti sono molto più che benvenuti.
Per uno schema (qui affine) $X$ chiamo con $A(X)$ il suo anello delle coordinate (i.e.: $X = \Spec(A(X))$) e $K(X)$ il suo campo di funzioni.
Poniamo $Z:=W \times _V Y$. Allroa $A(Z) = A(W) \otimes_{A(V)} A(Y).$ Posto $S=A(Z)^{\times}$ abbiamo
$$ A(Z) \hookrightarrow S^{-1}A(Z) = S^{-1}A(W)\otimes_{K(V)} K(Y). $$
Inoltre, $K(Y), K(W)$ sono piatti su $K(V)$, dunque tensorizzando con $\bar{K(Y)}$, otteniamo
$$ A(Z) \hookrightarrow K(W)\otimes_{K(V)} \overline{K(Y)} $$
che è un dominio di integrità, perchè $K(W)|K(V)$ è un'estensione regolare per ipotesi.
Segue quindi che anche $A(Z)$ è un dominio, e quindi $Z$ è irriducibile.
Per quanto riguarda il grado del morfismo, sia $p:Z \rightarrow W$ la proiezione. Sappiamo che $ \deg \pi = [K(Y):K(V)] \geq 2. $ Inoltre, $K(W)|K(V)$ è un'estensione regolare, cioè $K(W)$ e $\bar{K(V)}$ sono linearmente disgiunti su $K(V)$. Ancora, abbiamo le immersioni $ K(V) \subset K(Y) \subset \bar{K(V)} $, quindi, per la regola della torre, $K(W)$ e $K(Y)$ sono linearmente disgiunte su $K(V)$. Segue che, poiche posso trovare almeno due elementi di $K(Y)$ linearmente indipendenti su $K(V)$, allora questi saranno anche linearmente indipendenti su $K(W)$ come elementi di $K(Z)$, da cui $[K(Z):K(W)] \geq 2$.
Critiche, correzioni e suggerimenti sono molto più che benvenuti.
"mickey88":Problemi notazionali o mi sfugge qualcosa?
6...Posto $S=A(Z)^{\times}$ abbiamo
$$ A(Z) \hookrightarrow S^{-1}A(Z) = S^{-1}A(W)\otimes_{K(V)} K(Y). $$...
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