Foglio di carta illimitato - SNS 1962

[elios2]

Leggendo questo esercizio mi rendo conto di non avere idea di come approcciarmi a risolverlo. Qualcuno può aiutarmi e guidarmi al ragionamento che devo seguire, per capire come devo ragionare? Grazie.

"Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l'altra lunga cm 11, la terza illimitata; dire con quale precisione si può misurare la distanza dei punti A e B."

Grazie.

[Smt_1033]

"elios":[quote="Smt_1033"]metto il righello da 8, gli affianco quello illimitato, lo tolgo e metto quello da 3 arrivando ai 5. In generale affianco quelli da 8 e da 3 partendo da A fino a superare B, poi uso quella infinita come "segno" e torno indietro fino alla misura esatta o fino a finire prima di B, quindi ripeto il procedimento fino a che non noto che l'ultima misura è meno precisa di quella precedente. Contando che posso ripetere quante volte voglio questo procedimento, posso scrivere la misura di AB come $3h+8k, con k in ZZ$, ottenendo $h$ e $k$ dalla volte che uso i righelli "in avanti" e "indietro", quindi posso misurare con precisione assoluta lunghezze intere, mentre per le altre l'errore è $<1$.

Perché parli come se ci fosse un righello da 3 cm? Mi è sfuggito qualcosa..[/quote]

Perchè ero convinto ci fosse ROTFL

Comunque il ragionamento è lo stesso.

[elios2]

"Smt_1033":[quote="elios"][quote="Smt_1033"]metto il righello da 8, gli affianco quello illimitato, lo tolgo e metto quello da 3 arrivando ai 5. In generale affianco quelli da 8 e da 3 partendo da A fino a superare B, poi uso quella infinita come "segno" e torno indietro fino alla misura esatta o fino a finire prima di B, quindi ripeto il procedimento fino a che non noto che l'ultima misura è meno precisa di quella precedente. Contando che posso ripetere quante volte voglio questo procedimento, posso scrivere la misura di AB come $3h+8k, con k in ZZ$, ottenendo $h$ e $k$ dalla volte che uso i righelli "in avanti" e "indietro", quindi posso misurare con precisione assoluta lunghezze intere, mentre per le altre l'errore è $<1$.

Perché parli come se ci fosse un righello da 3 cm? Mi è sfuggito qualcosa..[/quote]

Perchè ero convinto ci fosse ROTFL

Comunque il ragionamento è lo stesso.[/quote]


ROTFL?

[Smt_1033]

Rolling On The Floor Laughing

[ViciousGoblin]

"elios":[quote="ViciousGoblin"]Prima di farti ammattire

Scrivendo ${n8+m11}={k\cdot MCD(8,11)}={k}$
dico due cose
1) che tutti inumeri dell insieme di sinistra sono multipli di uno (un po' banalotto in effetti)
2) che tutti gli elementi dell'insieme di destra sono elementi dell'insieme di sinistra, cioe' che facendo variare $n$ e $m$ raggiungi TUTTI gli interi.

per la 1) bastava la 1) della dimostrazione nel post precedente -

Grazie del chiarimento, in effetti mi stavo ammattendo.. Cioé la dimostrazione che hai fatto dice che $8*n+11*m$ in realtà rappresenta tutti gli interi.. Quindi in effetti con questi due righelli io posso misurare qualunque distanza, che ovviamente sia intera, giusto?[/quote]

Giusto (TUTTI gli interi)

[Smt_1033]

Ma sbaglio o sarebbe in pratica quello che ho detto io scritto in maniera formale? Giusto per capire se ho afferrato la soluzione.

[elios2]

"ViciousGoblin":[quote="elios"][quote="ViciousGoblin"]Prima di farti ammattire

Scrivendo ${n8+m11}={k\cdot MCD(8,11)}={k}$
dico due cose
1) che tutti inumeri dell insieme di sinistra sono multipli di uno (un po' banalotto in effetti)
2) che tutti gli elementi dell'insieme di destra sono elementi dell'insieme di sinistra, cioe' che facendo variare $n$ e $m$ raggiungi TUTTI gli interi.

per la 1) bastava la 1) della dimostrazione nel post precedente -

Grazie del chiarimento, in effetti mi stavo ammattendo.. Cioé la dimostrazione che hai fatto dice che $8*n+11*m$ in realtà rappresenta tutti gli interi.. Quindi in effetti con questi due righelli io posso misurare qualunque distanza, che ovviamente sia intera, giusto?[/quote]

Giusto (TUTTI gli interi)[/quote]


Quindi in effetti, la precisione di un centimetro nasce dal fatto che 1 è il minor numero intero, cioè non si possono apprezzare le distanze minori di un centimetro... E questo risultato di sarebbe ottenuto per qualunque lunghezza dei due righelli, sempre a patto che siano numeri primi fra loro, no?

Un'ultima domanda: la riga illimitata, a cosa è servita? Serve a "posizionare dritte" le altre due righe mentre misuriamo la distanza?

[ViciousGoblin]

"Smt_1033":Ma sbaglio o sarebbe in pratica quello che ho detto io scritto in maniera formale? Giusto per capire se ho afferrato la soluzione.

A parte la sostituzione di $11$ con $3$ avevi visto giusto - l'avevo detto anch'io nel testo nascosto (dato che $MCD(8,11)=1$).
Comunque, come avrai visto non e' proprio immediato dimostrare che $nK+mK$ genera tutti i multipli di $MCD(H,K)$ (e quindi $11n+8m$ , o anche $3 n+8 m$, genera tutti gli interi)

[ViciousGoblin]

@elios Esatto (quello che dici nell'ultimo post) . Tieni presente che un problema simile si puo' presentare chiedendo quali pesi si possono
misurare avendo una bilancia a bracci e dei pesi campione (in numero illmitato) di taglia $H$ e $K$.

Riguardo alla retta illimitata non vedo come altro possa servire (comunque serve come guida per i righelli).
Inizialmente mi ero chiesto se non si potesse scendere sotto l'approssimazione $1$ facendo delle costruzioni geometriche nel piano, ma non vedo cosa si possa fare
e comunque senza una penna per segnare dei punti credo non si possa fare nulla.

[blackbishop13]

"ViciousGoblin":Mi pare che il link fornito dall'alfiere nero ( ) sia sostanzialmente quello che serve. Comunque faccio la dimostrazione come la sapevo io
(non ho letto il contenuto del link).

Vogliamo dimostrare che i numeri del tipo $nH+mK$, $n,m\in ZZ$ sono tutti e soli i multipli di $MCD(H,K)$.

1) sia $p=nH+mK$; dato che $H=h MCD(H,K)$ e $K=kMCD(H,K)$ si ha $p=(nh+mk)MCD(H,K)$; dunque $p$ e' un multiplo di $MCD(H,K)$.

2) Usero' il fatto che ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ha minimo.

Poniamo $p_0:="min"{nH+mK:n,m\in ZZ, nH+mH>0}$ posso scrivere $p_0=n_0H+m_0K$ ($p_0$ e' e' strettamente positivo ed e' il piu' piccolo intero positivo generabile nel modo detto).

Prendiamo un qualunque $p=nH+mK$ e supponiamo $p>0$ (se no prendo l'opposto e faccio lo stesso ragionamento, ricambiando il segno alla fine).
Dividendo $p$ per $p_0$ ottengo $p=qp_0+r$ con $q\geq0$ e $0\leq r inoltre $r$ e' maggiore o eguale a zero e strettamente minore di $p_0$. Per la definizione di $p_0$ non puo' essere $r>0$ e quindi $r=0$. In definitiva $p$ e' multiplo di $p_0$.
In formule

(*) ${nH+mK:n,m\in ZZ}={kp_0:k\in ZZ}$

3) In particolare $H=1\cdot H=hp_0$ per un opportuno $h$: dunque $p_0$ e' un divisore di $H$ - analogamente $K=1\cdot K=kp_0$ per un opportuno $k$: dunque $p_0$ e' un divisore di $K$. Quindi $p_0$ e' un divisore comune di $H$ e $K$. Insieme alla 1) questo dice che $p_0=MCD(H,K)$ (quest'ultimo passaggio andrebbe dettagliato un po' di piu', ma e' solo questione di pazienza).

Questo mi pare dica tutto

Io sono rimasto a questo, non mi pare che dopo sia stato aggiunto altro.
Allora il concetto credo di afferrarlo completamente, grazie ViciousGoblin per la dimostrazione(credo di essermela cavata anche nel punto 3).
Però mi pare ci sia un errore, di battitura nel passaggio

"ViciousGoblin":Dividendo $p$ per $p_0$ ottengo $p=qp_0+r$ con $q\geq0$ e $0\leq r

Direi che
$r=p-qp_0$ anche se essendo poi numeri relativi non cambia, però per dare un po fastidio...
e poi nel passaggio dopo c'è H al posto K $r=(n-qn_0)H+(m-qm_0)K$ mentre per sbaglio hai scritto due volte H (poi i segni nelle parentesi si possono anche invertire, come detto prima)

A parte queste quisquillie, grazie mille Vicious, sei stato di grandissimo aiuto!

[ViciousGoblin]

@blackbishop13 Grazie per quanto scrivi , e scusa per l'errore - scrivendo in "diretta" penso possa capitare.

[elios2]

Mi unisco ai ringraziamenti! =)