F è omeomorfismo se e solo è propria
Ciao, vi propongo questo risultato perchè mi è sembrato molto carino. Magari è arcinoto e ha una dimostrazione elementare che mi sfugge.
Siano \(\displaystyle \mathbb{X} \) e \(\displaystyle \mathbb{Y} \) spazi topologici.
Sia \(\displaystyle \mathbb{Y} \) di Hausdorff e tale che ogni punto ammette un intorno compatto.
Sia \(\displaystyle \mathbb{f} \) continua e biettiva tra \(\displaystyle \mathbb{X} \) e \(\displaystyle \mathbb{Y} \)
Allora
\(\displaystyle \mathbb{f} \) è un omeomorfismo \(\displaystyle \Leftrightarrow \) \(\displaystyle \mathbb{f} \) è propria
(una funzione si definisce propria se la controimmagine di un compatto è un compatto).
Corollario: ogni biezione continua da \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) è un omeomorfismo.
Domanda: è possibile estendere il ottenuto per \(\displaystyle \mathbb{R} \) a \(\displaystyle \mathbb{R^n} \)?
cioè esistono biezioni di \(\displaystyle \mathbb{R^n} \) in sè continue e con inversa non continua?
E tra spazi topologici generici?
Siano \(\displaystyle \mathbb{X} \) e \(\displaystyle \mathbb{Y} \) spazi topologici.
Sia \(\displaystyle \mathbb{Y} \) di Hausdorff e tale che ogni punto ammette un intorno compatto.
Sia \(\displaystyle \mathbb{f} \) continua e biettiva tra \(\displaystyle \mathbb{X} \) e \(\displaystyle \mathbb{Y} \)
Allora
\(\displaystyle \mathbb{f} \) è un omeomorfismo \(\displaystyle \Leftrightarrow \) \(\displaystyle \mathbb{f} \) è propria
(una funzione si definisce propria se la controimmagine di un compatto è un compatto).
Corollario: ogni biezione continua da \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) è un omeomorfismo.
Domanda: è possibile estendere il ottenuto per \(\displaystyle \mathbb{R} \) a \(\displaystyle \mathbb{R^n} \)?
cioè esistono biezioni di \(\displaystyle \mathbb{R^n} \) in sè continue e con inversa non continua?
E tra spazi topologici generici?
Risposte
"beltzer":Ne abbiamo abbondantemente discusso da qui in poi!
...
Domanda: è possibile estendere il ottenuto per \( \displaystyle \mathbb{R} \) a \( \displaystyle \mathbb{R^n} \)?
cioè esistono biezioni di \( \displaystyle \mathbb{R^n} \) in sè continue e con inversa non continua?
E tra spazi topologici generici?
P.S.: Se ci fai caso, puoi tranquillamente supporre che \(X\) è uno spazio di Hausdorff! Perché?
"j18eos":
Ne abbiamo abbondantemente discusso da qui in poi!
Wow quanta roba! era esattamente quello che cercavo. Con calma leggo e vedo di mettere un pò di ordine.
Grazie mille!
"j18eos":
P.S.: Se ci fai caso, puoi tranquillamente supporre che \(X\) è uno spazio di Hausdorff! Perché?
Si, ma questo criterio mi piaceva proprio perchè non metteva nessuna ipotesi su \(X\), e il fatto che effettivamente \(X\) sia di Hausdorff, non viene usato nella dimostrazione che avevo in mente.
Appena riesco a leggere il post sopra ti inizierò a fare un pò di domande mi sa, anche perchè mi sembra che tu ne sappia un sacco! Ti stai specializzando in topologia generale?
"beltzer":E ti sembro male, dato che sono (attualmente) al secondo anno della laurea magistrale in matematica e le omotopìe le ho iniziate a studiare da solo da circa 2 settimane
...mi sembra che tu ne sappia un sacco! Ti stai specializzando in topologia generale?
ai fini della tesi (in geometria algebrica).Comunque confesso che la topologia (generale) è l'unica materia matematica che mi viene naturale;
ed è l'unica materia che se non la utilizzo non mi trovo! 
Venendo al problema:
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