[EX] Funzione intera reale su $\partial B_1 (0)$

[Seneca1]

Vi propongo un esercizio che spero troverete interessante!

Esercizio: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che assuma solo valori reali sul bordo della circonferenza unitaria $|z| = 1$. Provare che $f$ è costante.

Nota:

Purtroppo io all'inizio ho letto male l'esercizio (...) e ho risolto una variante molto semplificata del suddetto. Ve la propongo come esercizio alternativo, se vi aggrada più del primo.

Esercizio 2: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che non assuma valori reali nel complementare di $\partial B_1(0)$. Provare che $f$ è costante.

[yellow2]

Mm visti i teoremi a disposizione avrei detto che esiste una soluzione abbastanza immediata, ma se c'è non riesco a trovarla.
Piccolissima indicazione?

[Seneca1]

Il primo non l'ho ancora risolto (Dovrei pensarci... Purtroppo questo periodo non posso passarci sopra troppo tempo).

Se vuoi posso darti un piccolo suggerimento per il secondo.

[Rigel1]

Fornisco un suggerimento, sperando che vada nella direzione giusta

La parte immaginaria di \(f\) è una funzione armonica su tutto \(\mathbb{R}^2\) che si annulla sulla circonferenza unitaria.

[Seneca1]

"Rigel":Fornisco un suggerimento, sperando che vada nella direzione giusta

La parte immaginaria di \(f\) è una funzione armonica su tutto \(\mathbb{R}^2\) che si annulla sulla circonferenza unitaria.

Splendido suggerimento! Non avevo pensato alle funzioni armoniche. Allora

Chiaramente $Im(f) = v$ è armonica in una palla più grande di $B_1 (0)$ che contiene $B_1 (0)$, e quindi $v$ è armonica in $B_1(0)$ ed è continua fin sul bordo $|z| = 1$.

Scrivo la formula di Poisson per $v$. Se con $P(\zeta, z)$ indichiamo il nucleo di P. (per $B_1(0)$), $\forall z \in B_1(0)$ vale:

$v(z) = \int_{\partial B_1(0)} P(\zeta, z) v(\zeta) |d\zeta|$

ma $v(\zeta) \equiv 0$ ($\zeta$ corre sulla circonferenza unitaria), quindi $v(z) \equiv 0$ in $B_1(0)$.

Quindi $f$ è reale su tutta la palla unitaria e questo implica che $f$ deve essere identicamente costante su tutto $CC$; se non lo fosse, infatti, $f$ sarebbe una mappa aperta e $f(B_1 (0))$ un aperto, ciò che è assurdo, perché $f(B_1 (0)) \subset \mathbb{R}$. \(\displaystyle \Box \)

Che ne dici?

[Rigel1]

Non credo sia necessario usare la formula di Poisson (basta usare il principio del massimo per concludere che \(v\) è nulla nella palla unitaria). A questo punto io avrei concluso usando le condizioni di Cauchy-Riemann (che implicano che la parte reale sia costante), ma anche il teorema della mappa aperta va bene.

[Seneca1]

A quale principio del massimo fai riferimento?

[yellow2]

Ah bene, non avendo mai approfondito il legame tra funzioni armoniche e olomorfe non ci avevo proprio pensato!
Quindi è sufficiente che la funzione sia olomorfa su $B_1(0)$ e continua fino al bordo, un po' me lo aspettavo.
Io stavo cercando una dimostrazione più topologica partendo proprio da queste ipotesi, vediamo se riuscite ad aiutarmi.
Sappiamo che $f(S^1)$ è un segmento chiuso e limitato e che, se $f$ non è costante, $f(B_1(0))$ è un aperto. Si riesce a giungere a un assurdo o manca ancora qualcosa?

[Rigel1]

@Seneca:

Mi riferisco al Principio del Massimo per le funzioni armoniche:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_a ... el_massimo

[Rigel1]

@yellow:
usando il fatto che \(f(\overline{B}_1(0))\) è compatto, dovresti riuscire a concludere.

[Seneca1]

@Rigel: Ah, ti ringrazio... Non lo conoscevo.

[yellow2]

"Rigel":@yellow:
usando il fatto che \(f(\overline{B}_1(0))\) è compatto, dovresti riuscire a concludere.

Cavolo è vero, questa volta non ho scuse per non averci pensato.
Geometricamente adesso è chiarissimo, $f(\bar(B_1(0)))$ è un compatto d'interno non vuoto che ha come frontiera al più un segmento. Pero' ho la sensazione che concludere in maniera rigorosa potrebbe non essere banalissimo, sbaglio?

[Rigel1]

Dobbiamo dimostrare che non esiste alcun insieme compatto \(K\subset\mathbb{R}^2\), con interno non vuoto, avente frontiera tutta contenuta in un segmento.
Io procederei così.
Sia \(z_0\) un punto interno a \(K\). Fissato un qualsiasi punto \(z\neq z_0\), sia \(S_z\) la semiretta chiusa uscente da \(z_0\) e passante per \(z\). Sia inoltre \(K_z := K \cap S_z\). Tale insieme \(K_z\) è compatto e non vuoto, dunque la funzione \(d(w) := |w-z_0|\) ammette un punto di massimo \(w(z)\) in \(K_z\). Chiaramente \(w(z)\in \partial K\); inoltre questi punti \(w(z)\), al variare di \(z\in\mathbb{R}^2\setminus\{z_0\}\), non possono stare tutti su uno stesso segmento (basta scegliere \(z\) tale che \(S_z\) non intersechi il segmento assegnato).

[yellow2]

Grazie, chiarissimo! Per pignoleria si potrebbe precisare che è possibile scegliere $z_0$ fuori dal segmento, oppure che se $z_0$ è sul segmento e la semiretta non è parallela al segmento il massimo è comunque al di fuori di esso.
Intendevo proprio una cosa del genere per "non banalissimo", nella mia mente erano pure comparse delle rette ma non avevo tempo per pensarci troppo.

[Seneca1]

"Seneca":Esercizio 2: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che non assuma valori reali nel complementare di $\partial B_1(0)$. Provare che $f$ è costante.

Secondo voi è vero questo fatto? Mi sembra di aver fatto una dimostrazione che funziona. Tra qualche giorno la posto, lascio il tempo a chi vuole divertirsi di pensarci...

[Rigel1]

La parte immaginaria \(v\) questa volta è una funzione armonica che si può annullare solo su \(\partial B_1\). Non può essere nulla su tutto \(\partial B_1\), altrimenti dovrebbe essere nulla anche in \(0\) per il teorema della media. A sua volta questo implica che si debba avere \(v\geq 0\) oppure \(v\leq 0\) su tutto \(\mathbb{R}^2\), dal momento che \(v\) deve avere segno costante in \(B_1\) e \(\mathbb{R}^2\setminus \overline{B}_1\).
Ma una funzione armonica limitata inferiormente o superiormente è costante.

[Seneca1]

"Rigel":

La parte immaginaria \(v\) questa volta è una funzione armonica che si può annullare solo su \(\partial B_1\). Non può essere nulla su tutto \(\partial B_1\), altrimenti dovrebbe essere nulla anche in \(0\) per il teorema della media. A sua volta questo implica che si debba avere \(v\geq 0\) oppure \(v\leq 0\) su tutto \(\mathbb{R}^2\), dal momento che \(v\) deve avere segno costante in \(B_1\) e \(\mathbb{R}^2\setminus \overline{B}_1\).
Ma una funzione armonica limitata inferiormente o superiormente è costante.

Ottimo!

L'ultima tua considerazione mi era nuova - conosco da qualche giorno queste simpatiche funzioni armoniche e le loro proprietà.

In ogni caso l'ho vista come un corollario della disuguaglianza di Harnack; ovvero, poiché $v \geq 0$ ovunque $\forall R > 0$ e $\forall z \in B_R (0)$ si ha:
\[ \displaystyle v(0) \frac{R - |z|}{R + |z|} \le v(z) \le v(0) \frac{R - |z|}{R + |z|}\]
Per $R \to +\infty$ si ottiene:
\[ \displaystyle v(0) \le v(z) \le v(0)\]
Quindi $v(z) \equiv v(0)$. Va bene?

Si può vedere in un modo più immediato?

[Seneca1]

In ogni caso la mia soluzione era questa, ditemi cosa ne pensate (è un po' più lunghetta...):

[*:32jvkf22]Se $f$ è una trascendente intera, allora $f(z) = \sum_(k=0)^(+oo) a_k z^k$ con $a_k$ non definitivamente nulli. Si osserva che $f(1/w)$ ha una singolarità essenziale in $w=0$, quindi $f(z)$ ha una singolarità essenziale all'infinito. Per il teorema di Picard $f$ assume in $CC \setminus \overline{B_2(0)}$ tutti i valori complessi escluso al più uno, ciò che è impossibile perché $f$ non assume nessun valore reale in $CC \setminus \overline{B_2(0)}$.
[/*:m:32jvkf22]
[*:32jvkf22] Sia $f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n$ non costante. Allora su $\partial B_1(0)$ si può maggiorare:
\[ \displaystyle |f(z)| \le |a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n| \le |a_0| + |a_1 |+ ... + |a_n| = M \]
E' evidente che i valori $M + 1$ ed $M+2$ non vengono assunti da $f(z)$ per nessun $z \in CC$, perché sono reali e non vengono assunti in alcun punto della circonferenza.[/*:m:32jvkf22][/list:u:32jvkf22]

$f(z) \ne M+1$ , $f(z) \ne M+2$ , $\forall z \in CC$, quindi:
\[ \displaystyle e^{\frac{1}{f(z)}} \ne e^{\frac{1}{M+1}} = t_1 \;\;\;,\;\;\; e^{\frac{1}{f(z)}} \ne e^{\frac{1}{M+2}} = t_2 \;\;\;\;\; \forall z \in \mathbb{C} \]
A questo punto definisco $g(z) = e^(1/(f(z)))$. Avendo supposto $f$ non costante, esiste $z_0$ in cui $f$ si annulla. $g(z)$ ha in $z_0$ una singolarità essenziale, quindi non può accadere che esistano due valori $t_1 , t_2$ che non vengono assunti dalla funzione $g$, per il teorema di Picard. Di conseguenza non può accadere che esistano due valori distinti che non vengono assunti dal polinomio $f(z)$: si ha un assurdo. $f$ deve essere il polinomio costante.

[razorbak901]

Scusate l'intromissione, ma volevo anche dire la mia piccola idea (sperando di non aver fatto strafalcioni )

Se \(\displaystyle {f} \) assume solo valori reali sul cerchio unitario \(\displaystyle {\left|{z}\right|}={1} \) allora vuol dire che \(\displaystyle {f(0)} \) ha valore reale (perchè essendo olomorfa, per il teorema della media, è appunto la media dei valori assunti da \(\displaystyle {f} \) sulla circonferenza di raggio 1). Ora consideriamo \(\displaystyle {f'(z)} \). Se la integriamo su una qualsiasi curva \(\displaystyle {C} \) semplice che va da \(\displaystyle {0} \) ad \(\displaystyle {A} \), dove \(\displaystyle {A} \) è un generico punto sulla circonferenza unitaria otteniamo che $ oint_(c)f'(z)dz $\(\displaystyle {=} \)\(\displaystyle {f(0)} \)\(\displaystyle {-} \)\(\displaystyle {f(A)} \) che è la differenza di due numeri reali, più precisamente $ oint_(c)f'(z)dz $ ha parte immaginaria nulla. La parte immaginaria di un integrale complesso si scrive come $ oint_(c)d/dxu(x,y)dx+d/dxv(x,y)dy$ che vale \(\displaystyle {0} \) per ogni curva \(\displaystyle {C} \), questo implica che \(\displaystyle {f'} \) è nulla su tutto il disco unitario, e quindi che \(\displaystyle {f} \) è costante. Per olomorfia, quindi, \(\displaystyle {f} \) è costante su tutto \(\displaystyle \mathbb{C} \)

Che ne dite? non siate troppo crudeli, sono solo uno studentello di ingegneria

P.S.

Scusatemi se non mi sono presentato, ora provvedererò immediatamente!

[razorbak901]

mi sono reso conto ora che il ragionamento filava (sempre se fila) anche se avessi integrato da due punti qualsiasi sulla circonferenza unitaria, senza disturbare il teorema della media...

[dissonance]

Solo una puntualizzazione, tu dici:

Se \(\displaystyle {f} \) assume solo valori reali sul cerchio unitario \(\displaystyle {\left|{z}\right|}={1} \) allora vuol dire che \(\displaystyle {f(0)} \) ha valore reale (perchè essendo olomorfa, per il teorema della media, è appunto la media dei valori assunti da \(\displaystyle {f} \) sulla circonferenza di raggio 1).

e questo è vero ma è proprio quello che vogliamo dimostrare! Putroppo la cosa non è ovvia perché nella formula di Cauchy

\[f(0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta}\, d\zeta\]

compaiono numeri complessi a go-go. Ma se esplicitiamo l'integrale mediante la parametrizzazione \(\zeta=e^{i \theta}\) otteniamo

\[f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\left(e^{i \theta}\right)\, d\theta\]

e adesso si che si vede: \(f(0)\) è reale.

Il resto del ragionamento purtroppo non va bene. Sono d'accordo che

\[\int_\gamma f'(z)\, dz \in \mathbb{R}\]

per ogni curva \(\gamma\) che nasce nell'origine e arriva sul bordo della circonferenza unitaria. Ma da questo non puoi concludere che la parte immaginaria di \(f\) si annulla su tutta la curva. E poi c'è questo:

La parte immaginaria di un integrale complesso si scrive come $ oint_(c)d/dxu(x,y)dx+d/dxv(x,y)dy$

Eh, no, questo proprio no. Stai usando la formula
\[\tag{!!} f'(z)=\frac{\partial u }{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}\]

che è falsissima: vediti bene le equazioni di Cauchy-Riemann. (O forse ho capito male io cosa vuoi dire?)

Comunque sono buone idee, solo che ogni tanto parti un po' per la tangente!