[EX] Funzione intera reale su $\partial B_1 (0)$

Seneca1
Vi propongo un esercizio che spero troverete interessante!

Esercizio: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che assuma solo valori reali sul bordo della circonferenza unitaria $|z| = 1$. Provare che $f$ è costante.

Nota:

Risposte
dissonance
Ho modificato il messaggio precedente.

razorbak901
allour:

per dire che \(\displaystyle {f(0)} \) è reale ho utilizzato il teorema della media integrale per funzioni olomorfe, infatti:

\(\displaystyle {f(0)} \)\(\displaystyle {=} \) \(\displaystyle {1/2\pi} \)$ int_(0)^(2\pi) f(re^(it))dt $

che è appunto la media di tutti i valori che trovo sulla circonferenza di raggio \(\displaystyle r \), in questo caso quindi, per \(\displaystyle r \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle 1 \) per ipotesi ho tutti valori reali , di conseguenza \(\displaystyle f(0) \)è un numero reale.
Difatti però nemmeno serviva, perchè potevo benissimo integrare \(\displaystyle f' \) su una curva tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) punti qualsiasi della circonferenza di raggio unitario, e avrei comunque ottenuto un valore reale, infatti:

$ oint_(c)f'(z)dz $ \(\displaystyle = \)\(\displaystyle f(B) \)\(\displaystyle - \)\(\displaystyle f(A) \)

per quanto riguarda:

\(\displaystyle f' \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{{d}}{{\left.{d}{x}\right.}} \)\(\displaystyle u \)\(\displaystyle + \)\(\displaystyle i \)\(\displaystyle \frac{{d}}{{\left.{d}{x}\right.}} \)\(\displaystyle v \)
dove \(\displaystyle f \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle u \)\(\displaystyle + \)\(\displaystyle i \)\(\displaystyle v \)

pensavo fosse valida :shock:
l'ho letta ogni dove, sono andato a controllare anche ora su wiki http://it.wikipedia.org/wiki/Derivazione_complessa (è l'ultima serie di formule)

dico bene? oppure non ho capito bene cosa mi hai detto? :cry:

razorbak901
"dissonance":
Sono d'accordo che

\(\displaystyle ∫f'(z)dz∈R\)


per ogni curva \(\displaystyle γ \) che nasce nell'origine e arriva sul bordo della circonferenza unitaria. Ma da questo non puoi concludere che la parte immaginaria di f si annulla su tutta la curva


infatti non l'ho detto, però ho notato che l'integrale è reale per ogni curva che va dal bordo all'origine, quindi integrando la parte immaginaria su quella curva devo ottenere \(\displaystyle 0 \).
ora però c'è la mia insicurezza: se integrando per ogni curva una forma differenziale ottengo zero, allora quella deve essere pari a \(\displaystyle 0 \), il problema è che io non posso integrare per ogni curva, ma solo per le curve che vanno dall'origine al bordo, o meglio, da due punti che sono entrambi sul bordo!

Appena adesso mi sono accorto che ho scambiato la parte reale con la parte immaginaria nell'integrale :oops:
comunque sia, il ragionamento non cambia

Seneca1
"razorbak90":
La parte immaginaria di un integrale complesso si scrive come $ oint_(c)d/dxu(x,y)dx+d/dxv(x,y)dy$ che vale \(\displaystyle {0} \) per ogni curva \(\displaystyle {C} \), questo implica che \(\displaystyle {f'} \) è nulla su tutto il disco unitario


Non ho ben capito questa parte qui...

razorbak901
"Seneca":
[quote="razorbak90"]La parte immaginaria di un integrale complesso si scrive come $ oint_(c)d/dxu(x,y)dx+d/dxv(x,y)dy$ che vale \(\displaystyle {0} \) per ogni curva \(\displaystyle {C} \), questo implica che \(\displaystyle {f'} \) è nulla su tutto il disco unitario


Non ho ben capito questa parte qui...[/quote]

bè, una forma differenziale esatta ammette un potenziale, se il potenziale è nullo (o costante) per ogni curva in \(\displaystyle \Omega \), allora vuol dire che la forma differenziale è nulla in \(\displaystyle \Omega \). (non si faccia ingannare dal pallino sull'integrale, l'ho messo per intendere un integrale curvilineo, non un integrale su una curva chiusa, non sono molto abituato ai formalismi :roll: )

ora però c'è un problema, perchè io non sto integrando per ogni curva, ma solo per le curve che iniziano su un punto della circonferenza, e finiscono su un altro (oppure nell'origine), ora vedo se mi viene in mente qualcosa :-D

dissonance
Adesso ho capito. Intanto, la formula di derivazione era vera, quello che si deve rivedere Cauchy-Riemann qua sono io :oops: . Avevi solo scambiato la parte reale e immaginaria.

Insomma, siamo arrivati a dimostrare che

\[\int_{\gamma} \left( \frac{\partial v}{\partial x} dx - \frac{\partial u}{\partial x} dy\right)=0\]

per ogni curva \(\gamma\) che nasce nell'origine e termina sulla circonferenza oppure che nasce e termina sulla circonferenza. Benissimo.

E adesso come concludi...? L'obiettivo è mostrare che \(v(x, y)=0\) su tutto il disco aperto.

PS: Non usare \(\oint\) se il percorso su cui integri non è chiuso. Io veramente non userei mai quel simbolo, basta il semplice \(\int\) che non dà luogo a nessuna ambiguità.

razorbak901
sinceramente non saprei come concludere :-D

comunque si dimostra facilmente con questo teoremino che ho trovato su internet (di cui non so assolutamente la dimostrazione, anzi, se qualcuno potesse aiutarmi, o volesse cimentarsi, sarebbe ben accetto :D )


dissonance
No, aspetta, non fare casino. Questo teorema adesso cosa c'entra?

Seneca1
Forse ho un'idea, ma spero che qualcuno controlli...

Considero la funzione composta $g(\theta) = f(e^{i\theta})$. $g : [0,2\pi] \rightarrow RR$ è una funzione reale di variabile reale. Quindi $g'(\theta) \in RR$, $\forall \theta \in RR$.

Ma $g'(\theta) = i e^(i \theta) f'(e^(i\theta)) = i cos\theta f'(e^(i\theta)) - sin\theta f'(e^(i\theta)) \in RR$, $\forall \theta \in [0,2 \pi]$
$hArr$ $f'(e^(i\theta)) = 0$, $\forall \theta \in [0, 2\pi]$.

Allora $(f')_{|\partial B_1(0)} \equiv 0$. quindi $f$ è costante su $\partial B_1(0)$.

Da qui, ammesso che l'argomento esposto sia corretto, si può concludere per il teorema degli zeri che $f$ è costante in tutto $CC$.

razorbak901
nono, ho cambiato completamente strada XD (dal ragionamento di prima non riesco a cavarne nulla :( )



sbagliato qualcosa?

dissonance
*** Questo post è aggiornato all'ultimo di Seneca e non ho ancora letto l'ultimo post di razorback. ***

Un attimo: questo non c'entra niente col precedente tentativo di razorback.
@razorback: Vorrei capire se quel tentativo è stato abbandonato o no. Se non è stato abbandonato, dovresti mostrare come concludi a partire da qui:
"dissonance":
siamo arrivati a dimostrare che

\[\int_{\gamma} \left( \frac{\partial v}{\partial x} dx - \frac{\partial u}{\partial x} dy\right)=0\]

per ogni curva \(\gamma\) che nasce nell'origine e termina sulla circonferenza oppure che nasce e termina sulla circonferenza.

Nel tuo primo post, partendo da qui, concludi senza giustificazione che \(f'=0\) sul disco aperto. Dovresti spiegare come tu abbia fatto.

EDIT @razorback: Il tuo ultimo tentativo non funziona. Nel prossimo post spiego perché. fine edit

@Seneca: Come fai a dire questo?
\[g'(\theta)[\ldots]\in \mathbb{R} \iff f'(e^{i \theta})=0,\quad \forall \theta \in [0, 2\pi].\]

Tieni conto che NON puoi dire a priori \(f'(e^{i \theta})\in \mathbb{R}\): difatti, \(f'(e^{i\theta})\) dipende dai valori assunti da \(f\) in tutto un intorno di \(e^{i \theta}\) e quindi non ne puoi garantire la realtà.

dissonance
@razorback: Non va bene.
"razorbak90":
se $f$ è olomorfa in $\Omega$, ed è nota in un dominio $ D sub \Omega $, allora è nota univocamente su tutto $\Omega$,
Questo (opportunamente interpretato) è vero, nel senso che se due funzioni intere \(f, g\) coincidono sulla circonferenza unitaria allora coincidono su tutto \(\mathbb{C}\). Ma è un risultato che tu non usi correttamente perché:
se quindi $f$ ha parte immaginaria nulla sul cerchio di raggio unitario, allora avrà parte immaginaria nulla in tutto $CC$

E no, e così è troppo facile. La parte immaginaria di una funzione olomorfa non è una funzione olomorfa, quindi anche se si annulla su tutto il cerchio unitario tu non puoi concludere mediante quel teorema che si annulla ovunque.

razorbak901
E uffa allora :(

Bene, allora ricambio strada e tiro fuori dal "cilindro" (se così si può chiamare) una mia "formuletta" :-D (non so se sia già nota, sbagliata non mi sembra, me la volevo tenere per me... pazienza, almeno mi aiuterete a capire se è già nota, o perlomeno se è sbagliata)



Come le sembra?

dissonance
Mi sembra un pastrocchio.

Io apprezzo il tuo entusiasmo, ma la matematica non si fa così. Non puoi pensare di buttare lì qualcosa ogni due minuti facendo un gran polverone e non permettendo a nessuno di capire ciò che fai. Devi usare correttamente i termini, controllare accuratamente le formule, giustificare logicamente ogni tuo passaggio, altrimenti usi il metodo dei crank: fare solo fumo, tanto fumo, e confidare sul fatto che nessuno avrà tempo e voglia per analizzarlo e segnalare i tuoi errori.

Qui, per esempio, stai usando la parola "dominio" in modo arbitrario: di solito per "dominio" si intende la chiusura di un aperto ma tu evidentemente hai in mente un significato diverso per il termine, se pensi che un dominio sia contenuto nella circonferenza unitaria. Non c'è problema ma devi spiegarlo.

La "formuletta che ti volevi tenere per te" (!!): fa male alle orecchie sentire una frase del genere! Devi dimostrare ogni asserzione che fai, rinunciare alla presunzione di dimostrare risultati nuovi e ancora peggio di tenerli per te. L'analisi complessa è studiata ormai da secoli, vi hanno partecipato studiosi del massimo calibro di tutti i tempi e ottenere risultati nuovi in questo settore è cosa che richiede lunghi anni di esperienza: io ritengo estremamente improbabile che chiunque in questo forum sia in grado di fare qualcosa del genere. Inoltre è sbagliatissimo l'approccio basato sul mito del matematico che si tiene i teoremi in cassaforte: la matematica è collaborativa, solo lavorando in sinergia con altri si può fare qualcosa.

E poi c'è una questione di metodo: quando scrivi di matematica, devi sempre essere più chiaro possibile, in modo che altri possano passare al microscopio i tuoi ragionamenti, seguirli e individuare con precisione eventuali errori. Non devi MAI fare riferimento a qualcosa di oscuro e misterioso: non sarebbe matematica.

Insomma, cestina questo tentativo e riprova. Se vuoi un suggerimento, prova ad insistere sulla strada del tuo primo post. Può essere che si arrivi da qualche parte. Non cambiare approccio in continuazione.

razorbak901
Bé, come sa io non sono un matematico, non mi ci avvicino neanche, figuriamoci, non mi avvicino nemmeno dall'essere un ingegnere :)

Comunque, intanto che ritento dal mio primo tentativo, mi può dire che ne pensa di quella formula? se vuole le scrivo la "dimostrazione", sempre se così si può chiamare (visto che io e la rigorosità non andiamo molto d'accordo), se però mi dice che non ne vale la pena, mi metto l'anima in pace.
Certamente non intendo produrre nuovi risultati in analisi complessa (sarebbe un sogno)... Ma c'è sempre la possibilità che una persona possa esprimere alcune formule in maniera diversa, magari più "elegante", se ci si riesce...

Mi scusi se le sono sembrato arrogante nel mio ultimo post, non era mia intenzione (è mia abitudine, in generale, inserire frasi "scherzose" in ogni commento, per alleggerire un po').
Insomma, se mi potesse dare un parere gliene sarei molto grato, e comunque la ringrazio per la disponibilità che ha avuto in questi giorni, era proprio quello che mi auguravo da questo forum :)

razorbak901
Comunque, per quanto riguarda la questione del dominio, pensavo che l'arco di una circonferenza lo fosse, infatti è un aperto (l'arco appunto) unito alla sua frontiera (gli estremi dell'arco), mi corregga se sbaglio

dissonance
1) Un arco di circonferenza non è assolutamente un aperto in \(\mathbb{C}\), rivedi la definizione per bene.

2) La formula qua è off-topic, se vuoi discuterla apri un argomento apposta nella stanza di Analisi matematica. Posta anche la tua dimostrazione, non ti preoccupare perché è sicuramente meglio così che tenerla nel cassetto. Specifica bene cosa intendi con \(\text{arg}\) (la determinazione principale?) e che la formula vale solo per \(f(z)\ne 0\).

E' una cosa simpatica, ma da discutere a parte.

Seneca1
"dissonance":
@Seneca: Come fai a dire questo? [...]
Tieni conto che NON puoi dire a priori \(f'(e^{i \theta})\in \mathbb{R}\): difatti, \(f'(e^{i\theta})\) dipende dai valori assunti da \(f\) in tutto un intorno di \(e^{i \theta}\) e quindi non ne puoi garantire la realtà.

Mi è chiarissima la tua critica. Grazie.

razorbak901
Bé, in effetti un arco non è un aperto, visto che tutti i punti non sono interni ma sono di frontiera (erroraccio :-D )

Comunque... Sinceramente non so cosa sia la determinazione principale, con $arg$ intendevo l'argomento, non so se siano la stessa cosa, può essere che la determinazione principale sia l'argomento tra $0$ e $2\pi$?

comunque ok, ora la posto nella sezione di analisi e vedo cosa mi viene detto.
grazie :)

dissonance
"Seneca":
[quote="dissonance"]@Seneca: Come fai a dire questo? [...]
Tieni conto che NON puoi dire a priori \(f'(e^{i \theta})\in \mathbb{R}\): difatti, \(f'(e^{i\theta})\) dipende dai valori assunti da \(f\) in tutto un intorno di \(e^{i \theta}\) e quindi non ne puoi garantire la realtà.

Mi è chiarissima la tua critica. Grazie.[/quote]
Puoi usare le equazioni di Cauchy-Riemann, però, che è un po' il filo conduttore di tutti i tentativi di razorback. Come lui usa sempre le formule

\[\frac{df}{dz}=u_x+iv_x=v_y-iu_y=u_x-iu_y=v_y+iv_x, \]

puoi provare ad adoperare una rappresentazione simile in coordinate polari. Così potresti sfruttare bene la geometria della situazione... Però non ho fatto nessun conto, non ti so dire cosa ne viene fuori.

A naso, è una strada valida per arrivare alla soluzione.

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