[EX] Funzione intera reale su $\partial B_1 (0)$
Vi propongo un esercizio che spero troverete interessante!
Esercizio: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che assuma solo valori reali sul bordo della circonferenza unitaria $|z| = 1$. Provare che $f$ è costante.
Nota:
Esercizio: Sia $f : CC -> CC$ una funzione intera (cioè olomorfa su tutto $CC$) che assuma solo valori reali sul bordo della circonferenza unitaria $|z| = 1$. Provare che $f$ è costante.
Nota:
Risposte
Daccapo: se $f'(z_0) \ne 0$ per un certo $z_0 \in \partial B_1(0)$, allora esiste un disco $B_r(z_0)$ tale che $f_{|B_r(z_0)}$ è un diffeomorfismo; allora $f$ è ivi conforme. Considerando $\gamma , \eta$ le parametrizzazioni di $\partial B_1(0)$ e della retta per l'origine passante per $z_0$ (rispettivamente), con $\gamma(0) = \eta(0) = z_0$, si ha che:
\[\displaystyle \gamma'(0) \bot \eta'(0) \Rightarrow f'(\gamma(0)) \bot f'(\eta(0)) \]
Poichè $f'(\gamma(0))$ è del tipo $(\lambda , 0)$ , $f'(\eta(0))$ è del tipo $(0, \mu)$ , $\lambda , \mu \in RR$.
$\text{Jac}(f(z_0)) = ((\lambda , 0),(0, \mu))$
Allora (in $z_0$) $u_x = \lambda$ , $v_y = \mu$ , $u_y = v_x = 0$. Invocando una delle tante espressioni di $f'(z)$:
$f'(z_0) = u_x(z_0) + i v_x(z_0) = u_x(z_0) = \lambda \in RR$.
Quindi, se in un punto $z_0$ della circonferenza unitaria $f'(z_0)$ è diverso da $0$, sappiamo comunque che è un numero reale. Cosa ne dici?
\[\displaystyle \gamma'(0) \bot \eta'(0) \Rightarrow f'(\gamma(0)) \bot f'(\eta(0)) \]
Poichè $f'(\gamma(0))$ è del tipo $(\lambda , 0)$ , $f'(\eta(0))$ è del tipo $(0, \mu)$ , $\lambda , \mu \in RR$.
$\text{Jac}(f(z_0)) = ((\lambda , 0),(0, \mu))$
Allora (in $z_0$) $u_x = \lambda$ , $v_y = \mu$ , $u_y = v_x = 0$. Invocando una delle tante espressioni di $f'(z)$:
$f'(z_0) = u_x(z_0) + i v_x(z_0) = u_x(z_0) = \lambda \in RR$.
Quindi, se in un punto $z_0$ della circonferenza unitaria $f'(z_0)$ è diverso da $0$, sappiamo comunque che è un numero reale. Cosa ne dici?
Comunque, ora che ho postato la dimostrazione nella sezione di analisi, continuo sul filone della formula che ho scritto poco fa (anche perché dal tentativo precedente non riesco a cavare un ragno dal buco)
dato che
$\f'=f(d/(dy)argf+id/(dx)argf)$ e dato che l'argomento della funzione è nullo su tutta la circonferenza di raggio unitario, e che $f$ non diverge mai (visto che è olomorfa), allora $\f'$ è nulla su tutta circonferenza, e visto che massimo e minimo nel disco unitario vengono assunti su di essa, allora $\f'$ è nulla su tutto il disco, e di conseguenza è nulla in $\CC$, ovvero che $f$ è costante in $\CC$
questa può andare?
dato che
$\f'=f(d/(dy)argf+id/(dx)argf)$ e dato che l'argomento della funzione è nullo su tutta la circonferenza di raggio unitario, e che $f$ non diverge mai (visto che è olomorfa), allora $\f'$ è nulla su tutta circonferenza, e visto che massimo e minimo nel disco unitario vengono assunti su di essa, allora $\f'$ è nulla su tutto il disco, e di conseguenza è nulla in $\CC$, ovvero che $f$ è costante in $\CC$
questa può andare?
@Seneca: E si, questo approccio geometrico secondo me può portare ad una dimostrazione alternativa. Ma purtroppo mi sa che c'è un errore.
Intanto quando scrivi \(f'(\gamma(0)), f'(\eta(0))\) in realtà intendi la derivata radiale e tangenziale di \(f\) in \(z_0\), quindi meglio usare i simboli \(\partial f / \partial \theta, \partial f / \partial \rho\) per sottolineare che si tratta di derivate direzionali (con la scrittura precedente sembra ti riferisca alla derivata totale/complessa \(f'\)). Sono comunque d'accordo che
\[\frac{\partial f }{\partial \theta} =(\lambda, 0), \frac{\partial f}{\partial \rho}=(0, \mu)\]
ma non su
\[Jf(z_0)=\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu\end{bmatrix}.\]
\(Jf\) è la matrice delle derivate parziali rispetto alle coordinate cartesiane, non rispetto a queste nuove coordinate curvilinee che hai introdotto ora. Quindi \(Jf\) sarà una matrice simile a
\[\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu\end{bmatrix}\]
ma non esattamente lei.
Però guarda che il ragionamento si può salvare facilmente, tornando a questo punto:
\[\frac{\partial f }{\partial \theta} =(\lambda, 0), \frac{\partial f}{\partial \rho}=(0, \mu).\]
Puoi dire molto di più: secondo me \(\lambda=\mu\). Infatti una funzione olomorfa, localmente, agisce sempre come una roto-dilatazione e in particolare non può scalare di fattori diversi due assi ortogonali.
E quindi sì che \(Jf(z_0)=\text{diag}(\lambda, \lambda)\), perché una matrice scalare non cambia per similitudine (fatto di algebra lineare che conosci sicuramente, e se non lo conosci lo riuscirai a dimostrare in mezzo secondo). Si conclude come hai fatto tu.
@razorback: A naso questo tuo approccio è una versione più concisa ed efficiente dell'approccio geometrico di Seneca. Ci sono ancora delle imprecisioni matematiche (che cos'è il massimo di una funzione a valori complessi?), ma mi pare che l'idea sia valida. Dico che l'approccio è lo stesso perché pure tu stai usando le coordinate polari. Sono interpretazioni geometriche del problema.
Intanto quando scrivi \(f'(\gamma(0)), f'(\eta(0))\) in realtà intendi la derivata radiale e tangenziale di \(f\) in \(z_0\), quindi meglio usare i simboli \(\partial f / \partial \theta, \partial f / \partial \rho\) per sottolineare che si tratta di derivate direzionali (con la scrittura precedente sembra ti riferisca alla derivata totale/complessa \(f'\)). Sono comunque d'accordo che
\[\frac{\partial f }{\partial \theta} =(\lambda, 0), \frac{\partial f}{\partial \rho}=(0, \mu)\]
ma non su
\[Jf(z_0)=\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu\end{bmatrix}.\]
\(Jf\) è la matrice delle derivate parziali rispetto alle coordinate cartesiane, non rispetto a queste nuove coordinate curvilinee che hai introdotto ora. Quindi \(Jf\) sarà una matrice simile a
\[\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu\end{bmatrix}\]
ma non esattamente lei.
Però guarda che il ragionamento si può salvare facilmente, tornando a questo punto:
\[\frac{\partial f }{\partial \theta} =(\lambda, 0), \frac{\partial f}{\partial \rho}=(0, \mu).\]
Puoi dire molto di più: secondo me \(\lambda=\mu\). Infatti una funzione olomorfa, localmente, agisce sempre come una roto-dilatazione e in particolare non può scalare di fattori diversi due assi ortogonali.
E quindi sì che \(Jf(z_0)=\text{diag}(\lambda, \lambda)\), perché una matrice scalare non cambia per similitudine (fatto di algebra lineare che conosci sicuramente, e se non lo conosci lo riuscirai a dimostrare in mezzo secondo). Si conclude come hai fatto tu.
@razorback: A naso questo tuo approccio è una versione più concisa ed efficiente dell'approccio geometrico di Seneca. Ci sono ancora delle imprecisioni matematiche (che cos'è il massimo di una funzione a valori complessi?), ma mi pare che l'idea sia valida. Dico che l'approccio è lo stesso perché pure tu stai usando le coordinate polari. Sono interpretazioni geometriche del problema.
A naso questo tuo approccio è una versione più concisa ed efficiente dell'approccio geometrico di Seneca. Ci sono ancora delle imprecisioni matematiche (che cos'è il massimo di una funzione a valori complessi?), ma mi pare che l'idea sia valida. Dico che l'approccio è lo stesso perché pure tu stai usando le coordinate polari. Sono interpretazioni geometriche del problema.
il massimo modulo, uso il teorema del massimo e del minimo modulo.
@dissonance: perfetto, torna tutto ora. 
"razorbak90":
il massimo modulo, uso il teorema del massimo e del minimo modulo.
l'avevo capito, era per invitarti ad esprimerti in modo più preciso, che non guasta mai. A meno di problemucci tecnici con la determinazione dell'argomento (citati in Analisi matematica) e che comunque sono sicuramente aggirabili, la tua soluzione va bene ed è proprio un'idea bellina. Bravo
ahahah immaginavo che l'avessi capito 
dai, era per essere chiaro. Ho qualche considerazione da fare nell'altro post!
Comunque sono contento, alla fine mi è servita a qualcosa, anche se era piuttosto ovvia in fondo
dai, era per essere chiaro. Ho qualche considerazione da fare nell'altro post!
Comunque sono contento, alla fine mi è servita a qualcosa, anche se era piuttosto ovvia in fondo
Invio il mio contributo a questo problema.
Intanto \( f(0 )=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})d \theta \in \mathbb{R}\)
Poichè \(f(z) \) è una funzione intera abbiamo:
\( f(z)=\sum_0^{\infty}a_n z^n\)
La serie è uniformemente convergente per \( |z| \leq R\) con \( R >0 \) arbitrariamente prefissato.
In particolare \( f(e^{i \theta}) = \sum_0^{\infty}a_n e^{in\theta}\) e la serie è uniformemente convergente
quindi : \( \int_0^{2\pi}[f(e^{i\theta})-f(0)]\ d\theta=\int_0^{2\pi}\sum_1^{\infty}a_n e^{in\theta}d\theta = \sum_1^{\infty}aq_n\int_0^{2\pi}e^{in\theta}d\theta=0\) per l'uniforme convergenza della serie.
Consideriamo preliminarmente il caso in cui \( f(z) \geq f(0)\) \( \forall |z|=1\)
Sia \(C\) la circonferenza unitaria e \(|z|<1\):
\( |f(z)-f(0)|=|\frac{1}{2\pi}\oint_C\frac{f(\zeta)-f(0)}{\zeta-z}d\zeta|\leq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{i\theta})-f(0)}{1-|z|}d\theta=0\)
Quindi \( f(z)=f(0)\) all'interno della circonferenza unitaria.
Per il caso generale si consideri la funzione \( g(z)=(f(z)-f(0) )^2\) analitica, a valori reali su C e \( g(z) \geq g(0) \) su \(C \)
quindi per i caso precedente \(g(z) \) è costante e quindi lo è anche \(f(z) \).
Intanto \( f(0 )=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})d \theta \in \mathbb{R}\)
Poichè \(f(z) \) è una funzione intera abbiamo:
\( f(z)=\sum_0^{\infty}a_n z^n\)
La serie è uniformemente convergente per \( |z| \leq R\) con \( R >0 \) arbitrariamente prefissato.
In particolare \( f(e^{i \theta}) = \sum_0^{\infty}a_n e^{in\theta}\) e la serie è uniformemente convergente
quindi : \( \int_0^{2\pi}[f(e^{i\theta})-f(0)]\ d\theta=\int_0^{2\pi}\sum_1^{\infty}a_n e^{in\theta}d\theta = \sum_1^{\infty}aq_n\int_0^{2\pi}e^{in\theta}d\theta=0\) per l'uniforme convergenza della serie.
Consideriamo preliminarmente il caso in cui \( f(z) \geq f(0)\) \( \forall |z|=1\)
Sia \(C\) la circonferenza unitaria e \(|z|<1\):
\( |f(z)-f(0)|=|\frac{1}{2\pi}\oint_C\frac{f(\zeta)-f(0)}{\zeta-z}d\zeta|\leq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{i\theta})-f(0)}{1-|z|}d\theta=0\)
Quindi \( f(z)=f(0)\) all'interno della circonferenza unitaria.
Per il caso generale si consideri la funzione \( g(z)=(f(z)-f(0) )^2\) analitica, a valori reali su C e \( g(z) \geq g(0) \) su \(C \)
quindi per i caso precedente \(g(z) \) è costante e quindi lo è anche \(f(z) \).
Una dimostrazione interessante! Grazie per il tuo contributo.
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