[EX] - Di nuovo sulle serie

[Sk_Anonymous]

Calcolare \[\displaystyle e^{i/n^{2}} + e^{2i/n^{2}} + \dots + e^{in/n^{2}} \]
e utilizzare quindi il risultato per calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ \sin \left(\frac{1}{n^{2}} \right) + \dots + \sin \left( \frac{n}{n^{2}} \right) \right] \]

[wnvl]

\(\displaystyle f(n)=O\left( \frac{1}{n^2}\right) \Leftrightarrow \exists M>0, \exists n_f \mbox{ tale che } f(n)<\frac{M_f}{n^2} \mbox{ per } n>n_f \)

\(\displaystyle g(n)=O\left( \frac{1}{n^4}\right) \Leftrightarrow \exists M>0, \exists n_g \mbox{ tale che } f(n)<\frac{M_g}{n^4} \mbox{ per } n>n_g \)

\(\displaystyle \mbox{Se }n_h=max(n_f,n_g)\mbox{ e }M_h=M_f+\frac{M_g}{n_h^2}, \)
\(\displaystyle \mbox{quindi }f(n)+g(n)<\frac{M_h}{n^2}\mbox{ per } n>n_h. \)
\(\displaystyle \mbox{Dunque }f(n)+g(n)=O\left( \frac{1}{n^2}\right) \)


\(\displaystyle \mbox{Nel caso di }\infty \mbox{termini abbiamo} \)

\(\displaystyle n_h=max(n_f,n_g, n_i...)\mbox{ e }M_h=M_f+\frac{M_g}{n_h^2}+\frac{M_i}{n_i^4}+..., \)
E quest'ultima serie converge.

[aizarg1]

Un modo da liceo per calcolare i due limiti:

\( sen(\frac{k-1}{n^2})\leq \int_{k-1}^ksen(\frac{x}{n^2} )dx \leq \frac{k}{n^2} \)

\( \sum_1^n sen(\frac{k-1}{n^2}) \leq \int_{0}^n sen(\frac{x}{n^2} )dx \leq \sum_1^n sin(\frac{k}{n^2})\)

da cui:

\( n^2(1-cos(\frac{1}{n^2}) )\leq \sum_1^n sin(\frac{k}{n^2}) \leq sin(\frac{1}{n})+n^2(1-cos(\frac{1}{n^2}))\)

e quindi

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_1^n sin(\frac{k}{n^2}) = \frac{1}{2}\)

Con analogo procedimento si prova :

\( \sum_1^n cos(\frac{k}{n^2}) \geq 1+cos(\frac{1}{n})+n^2sin(\frac{1}{n})\)

quindi
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_1^n cos(\frac{k}{n^2}) = \infty\)