Estensioni e cocompletamenti liberi

[caulacau]

Mi sono accorto che c'è gente che non sa questa cosa. Dimostràtela.

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Let \(\mathcal{C}\) be a small category, \(\mathcal{A}\) a cocomplete category; then, precomposition with the Yoneda embedding \(y_{\mathcal{C}} : \mathcal{C} \to \widehat{\mathcal{C}}\) determines a functor
\[\textsf{Cat}(\widehat{\mathcal{C}}, \mathcal{A})\xrightarrow{\_\circ y_{\mathcal{C}}} \textsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{A}).\]

[*:1mylo1js] The universal property of the category \(\widehat{\mathcal{C}}\) amounts to the existence of a left adjoint \(L_y\) to the above functor, that has invertible unit (so, the left adjoint is fully faithful).
[/*:m:1mylo1js][/list:u:1mylo1js]
This means that \(\textsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{A})\) is a full subcategory of \(\textsf{Cat}(\widehat{\mathcal{C}}, \mathcal{A})\).


[*:1mylo1js] The essential image of \(L_y\) consists of those \(F : \widehat{\mathcal{C}} \to \mathcal{A}\) that preserve all colimits.
[/*:m:1mylo1js][*:1mylo1js] If \(\mathcal{A} = \widehat{\mathcal{D}}\), this essential image is equivalent to the subcategory of left adjoints \(F : \widehat{\mathcal{C}} \to \widehat{\mathcal{D}}\).
[/*:m:1mylo1js][/list:u:1mylo1js]

[Indrjo Dedej]

[ot]Mi chiedo come mai siano deserte queste discussioni... In Italia la teoria delle categorie fa paura? Oppure è una cosa generale? Leggo che piano piano questa teoria sta prendendo piede... Forse troppo piano? O quelli che credono ciò ci credono perché sono loro? Perché? C'è un problema di comunicazione? Forse sì. Il problema è serio. Come si può ovviare? È inutile allo stato attuale dell'arte sperare che qualcuno sorga dagli abbissi e risolva questo tipo di esercizi... Come si può fare? Forse cominciare da zero: aprire delle discussioni, partire dalle cose più semplici, mostrare la potenza di questo linguaggio e di questa parte della logica? Non so come si possa mettere in piedi questa cosa... Poi questo caldo non aiuta... Poi prendimi a malo modo, ma si potrebbe azzardare.[/ot]

[caulacau]

https://www.youtube.com/watch?v=N0VYLTY ... tu.be&t=82

[Ancona1]

Hint: la parola chiave da cercare per chi si volesse cimentare con l'esercizio è left Kan extension...

Prima di tornare negli abissi vorrei dire che in Italia è pieno di gente che sa queste cose, che non sono niente di esoterico e anzi sono nozioni fondamentali (l'esercizio proposto tornerà prima o poi utile a chiunque lo faccia); e la retorica proposta nel video mi pare veramente spicciola.

[caulacau]

in Italia è pieno di gente che sa queste cose

Eh, bum purtroppo non è così (oppure, fammi in privato i nomi delle persone cui ti riferisci).