Esercizio 4 anno 2005-2006 normale magistrale
Ciao a tutti!!
Sono un nuovo iscritto, e volevo chiedere se qualcuno fosse disponibile a darmi un paio di dritte su questo esercizio di ammissione per la laurea magistrale a Pisa!
Il testo è: Sia C un insieme compatto in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tale che per ogni [tex]\epsilon>0[/tex] esista un ricoprimento finito di C fatto di bolle aperte che soddisfi [tex]\sum r_i\leq\epsilon[/tex]
Mostrare che il complementare di C è connesso per n>1, semplicemente connesso per n>2.
Oltre ad aver mostrato che la parte interna di C deve essere vuota, e avere un'idea del fatto che non possa contenere al suo interno curve (ragionamenti sulla lunghezza in caso siano regolari, in quanto mi pare che con scelte ottimali delle bolle si arrivi ad un assurdo ma sono ancora a un punto del ragionamento totalmente euristico) non saprei cosa dire!!
Ragionando per assurdo che si può dire? Ho provato a supporre di scrivere il complementare come due aperti disgiunti, il punto è che non so come formalizzare il fatto che C lascia dei "buchi" in cui gli aperti andrebbero a toccarsi.
Grazie a chiunque provi a cimentarsi!!
Sono un nuovo iscritto, e volevo chiedere se qualcuno fosse disponibile a darmi un paio di dritte su questo esercizio di ammissione per la laurea magistrale a Pisa!
Il testo è: Sia C un insieme compatto in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tale che per ogni [tex]\epsilon>0[/tex] esista un ricoprimento finito di C fatto di bolle aperte che soddisfi [tex]\sum r_i\leq\epsilon[/tex]
Mostrare che il complementare di C è connesso per n>1, semplicemente connesso per n>2.
Oltre ad aver mostrato che la parte interna di C deve essere vuota, e avere un'idea del fatto che non possa contenere al suo interno curve (ragionamenti sulla lunghezza in caso siano regolari, in quanto mi pare che con scelte ottimali delle bolle si arrivi ad un assurdo ma sono ancora a un punto del ragionamento totalmente euristico) non saprei cosa dire!!
Ragionando per assurdo che si può dire? Ho provato a supporre di scrivere il complementare come due aperti disgiunti, il punto è che non so come formalizzare il fatto che C lascia dei "buchi" in cui gli aperti andrebbero a toccarsi.
Grazie a chiunque provi a cimentarsi!!
Risposte
Prima di formalizzare una soluzione conviene, come hai fatto, cercare di capire come procedere.
Quindi l'idea per la prima parte c'è tutta: \(\displaystyle C \) è un insieme finito di punti. Occorre dimostrarlo, ma sappiamo già dove vogliamo arrivare.
Connessione: ora che sappiamo com'è fatto \(\displaystyle C \) per \(n > 1\) si dimostra che \( \mathbb{R}^n \setminus C \) è connesso per archi. Hai qualche idea su come fare?
Suggerimento:
Semplice connessione: se \(\displaystyle \lvert C \rvert = 1 \) è un esercizio piuttosto standard. Se \(\displaystyle \lvert C \rvert > 1 \) le cose diventano un minimo più complicate. Ho in mente un modo forse un po' contorto, ma che credo funzioni, che passa per il teorema di Van Kampen; immagino ne esistano anche di più semplici, ma non me ne vengono in mente. In ogni caso ti do il mio suggerimento:
"Maldenbrot":
Oltre ad aver mostrato che la parte interna di C deve essere vuota, e avere un'idea del fatto che non possa contenere al suo interno curve
Quindi l'idea per la prima parte c'è tutta: \(\displaystyle C \) è un insieme finito di punti. Occorre dimostrarlo, ma sappiamo già dove vogliamo arrivare.
Connessione: ora che sappiamo com'è fatto \(\displaystyle C \) per \(n > 1\) si dimostra che \( \mathbb{R}^n \setminus C \) è connesso per archi. Hai qualche idea su come fare?
Suggerimento:
Semplice connessione: se \(\displaystyle \lvert C \rvert = 1 \) è un esercizio piuttosto standard. Se \(\displaystyle \lvert C \rvert > 1 \) le cose diventano un minimo più complicate. Ho in mente un modo forse un po' contorto, ma che credo funzioni, che passa per il teorema di Van Kampen; immagino ne esistano anche di più semplici, ma non me ne vengono in mente. In ogni caso ti do il mio suggerimento:
Penso che il problema possa essere insiemi tipo Cantor! non sono convinto che l'insieme sia fatto solo di un numero finito di punti... o già prendi la successioni di [tex]\frac{1}{n}[/tex] più lo zero, che mi pare funzioni pur non essendo finito...
"Maldenbrot":
Penso che il problema possa essere insiemi tipo Cantor! non sono convinto che l'insieme sia fatto solo di un numero finito di punti... o già prendi la successioni di [tex]\frac{1}{n}[/tex] più lo zero, che mi pare funzioni pur non essendo finito...
Sì, hai ragione. In pratica il problema si può riformulare dicendo che \(C\) ha misura Peano-Jordan nulla. Tenendo conto di questo il problema diventa più complesso ma in sostanza non credo cambi molto perché il numero di punti di accumulazione per \(C\) è finito, quindi fissato un qualsiasi \( \varepsilon > 0 \) si ha a che fare sempre con un numero finito di palle. Indubbiamente è più problematico, ma la sostanza non dovrebbe cambiare troppo, specie per la connessione per archi. Sicuramente, così come l'ho formulato, il ragionamento sulla semplice connessione cade, ma penso si possa adattare, ad esempio (per ogni \(\varepsilon > 0\)) detta \(\mathscr{C}_{\varepsilon}\) una copertura di \(C\) di misura \(2 \varepsilon \), si può considerare \(\mathbb{R}^n \setminus \mathscr{C}_{\varepsilon}\), che ha lo stesso tipo di omotopia di \(\mathbb{R}^n\) senza un numero di punti minore o uguale al numero di palle di \(\mathscr{C}_{\varepsilon}\).
Per amor di completezza, ora che ne ho il tempo provo a scrivere una soluzione un po' più formale/ordinata.
Per ogni \(\displaystyle \varepsilon > 0 \) indico con
\[ \mathscr{C}_{\varepsilon} = \{ \mathcal{B}_{r_i} (\mathbf{x}_i) , \ i \in I( \varepsilon), \ I( \varepsilon ) = \{1, \ldots , n( \varepsilon )\} \}\]
una copertura di \( C \) tale che \( \sum r_i \leq \varepsilon / 2 \).
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle C \) contenga una curva continua con sostegno \(\displaystyle \gamma \), allora esisteranno due punti distinti \(\displaystyle \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \gamma \). Sia \(\displaystyle \varrho = \lVert \mathbf{y} - \mathbf{z} \rVert \). Si consideri \(\displaystyle \mathscr{C}_{\varepsilon} \) copertura di \(\displaystyle C \) e si prendano \(\varepsilon >0, \ \delta > 0 \) tali che \(\displaystyle \mathscr{D} = \mathscr{C}_{\varepsilon} \cup \{ \mathcal{B}_{\delta} (\mathbf{y}) , \mathcal{B}_{\delta} (\mathbf{z}) \} \) sia tale che la somma dei raggi delle palle che lo compongono sia strettamente minore di \(\displaystyle \varrho / 4 \). In particolare si avrà che l'intera copertura \(\mathscr{D}\) non potrebbe coprire il segmento \( [\mathbf{y}, \mathbf{z}] \), assurdo.
Combinando questa informazione con le ipotesi, si ottiene che \(\displaystyle C \) è composto di punti isolati, a meno di un numero finito (eventualmente nullo) di punti di accumulazione.
Sia ora \(\displaystyle n \geq 2 \). Presi due punti \(\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \), se \(\displaystyle [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ] \cap C = \emptyset \) non c'è niente da dimostrare. Se fosse \(\displaystyle [\mathbf{x}, \mathbf{y}] \cap C = \{ \mathbf{z} \} \), fissato un \(\displaystyle \varepsilon > 0 \) tale che \(\displaystyle C \setminus \mathcal{B} \ne \emptyset, \ \mathcal{B} = \mathcal{B}_{\varepsilon}(\mathbf{z}) \) si considera \(\displaystyle \varrho = \inf_{\mathbf{x} \in C \setminus \mathcal{B}} d( \mathcal{B}, \mathbf{x} ) \) (dove \(d\) è la distanza euclidea e la distanza punto-insieme è definita al solito modo) e si prende (fissato \(\displaystyle \eta : \varepsilon < \eta < \varrho \)) una funzione definita a tratti con sostegno il segmento \(\displaystyle [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ] \) all'esterno di \(\displaystyle \mathcal{B}_{\eta}(\mathbf{z}) \) ed un arco continuo col sostegno su \(\displaystyle \partial \mathcal{B}_{\eta}(\mathbf{z}) \) e con estremi le intersezioni di questa (iper)sfera con \(\displaystyle [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ] \). Se \(\displaystyle [\mathbf{x}, \mathbf{y}] \cap C\) fosse costituito da un numero finito di punti si può ripetere quanto detto per ciascuno di essi, se fosse costituito da infiniti punti si può ripetere quanto detto per i punti di accumulazione in esso presenti. Resta così dimostrato che \(\mathbb{R}^n \setminus C\) è connesso per archi, e quindi connesso.
Spero sia corretta. Il secondo punto provo a scriverlo appena trovo il tempo per farlo.
Sia \(\displaystyle C \) un insieme compatto in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) tale che per ogni \(\displaystyle \varepsilon > 0 \) esista un ricoprimento finito di \(\displaystyle C \) fatto di palle aperte i cui raggi soddisfano \( \sum r_i \leq \varepsilon \). Mostrare che il complementare di \(\displaystyle C \) è connesso per \( n>1 \), semplicemente connesso per \( n>2 \).
Per ogni \(\displaystyle \varepsilon > 0 \) indico con
\[ \mathscr{C}_{\varepsilon} = \{ \mathcal{B}_{r_i} (\mathbf{x}_i) , \ i \in I( \varepsilon), \ I( \varepsilon ) = \{1, \ldots , n( \varepsilon )\} \}\]
una copertura di \( C \) tale che \( \sum r_i \leq \varepsilon / 2 \).
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle C \) contenga una curva continua con sostegno \(\displaystyle \gamma \), allora esisteranno due punti distinti \(\displaystyle \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \gamma \). Sia \(\displaystyle \varrho = \lVert \mathbf{y} - \mathbf{z} \rVert \). Si consideri \(\displaystyle \mathscr{C}_{\varepsilon} \) copertura di \(\displaystyle C \) e si prendano \(\varepsilon >0, \ \delta > 0 \) tali che \(\displaystyle \mathscr{D} = \mathscr{C}_{\varepsilon} \cup \{ \mathcal{B}_{\delta} (\mathbf{y}) , \mathcal{B}_{\delta} (\mathbf{z}) \} \) sia tale che la somma dei raggi delle palle che lo compongono sia strettamente minore di \(\displaystyle \varrho / 4 \). In particolare si avrà che l'intera copertura \(\mathscr{D}\) non potrebbe coprire il segmento \( [\mathbf{y}, \mathbf{z}] \), assurdo.
Combinando questa informazione con le ipotesi, si ottiene che \(\displaystyle C \) è composto di punti isolati, a meno di un numero finito (eventualmente nullo) di punti di accumulazione.
Sia ora \(\displaystyle n \geq 2 \). Presi due punti \(\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \), se \(\displaystyle [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ] \cap C = \emptyset \) non c'è niente da dimostrare. Se fosse \(\displaystyle [\mathbf{x}, \mathbf{y}] \cap C = \{ \mathbf{z} \} \), fissato un \(\displaystyle \varepsilon > 0 \) tale che \(\displaystyle C \setminus \mathcal{B} \ne \emptyset, \ \mathcal{B} = \mathcal{B}_{\varepsilon}(\mathbf{z}) \) si considera \(\displaystyle \varrho = \inf_{\mathbf{x} \in C \setminus \mathcal{B}} d( \mathcal{B}, \mathbf{x} ) \) (dove \(d\) è la distanza euclidea e la distanza punto-insieme è definita al solito modo) e si prende (fissato \(\displaystyle \eta : \varepsilon < \eta < \varrho \)) una funzione definita a tratti con sostegno il segmento \(\displaystyle [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ] \) all'esterno di \(\displaystyle \mathcal{B}_{\eta}(\mathbf{z}) \) ed un arco continuo col sostegno su \(\displaystyle \partial \mathcal{B}_{\eta}(\mathbf{z}) \) e con estremi le intersezioni di questa (iper)sfera con \(\displaystyle [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ] \). Se \(\displaystyle [\mathbf{x}, \mathbf{y}] \cap C\) fosse costituito da un numero finito di punti si può ripetere quanto detto per ciascuno di essi, se fosse costituito da infiniti punti si può ripetere quanto detto per i punti di accumulazione in esso presenti. Resta così dimostrato che \(\mathbb{R}^n \setminus C\) è connesso per archi, e quindi connesso.
Spero sia corretta. Il secondo punto provo a scriverlo appena trovo il tempo per farlo.
Andiamo con il secondo. Siamo nell'ipotesi che \(n \geq 3\).
Prima di tutto dimostro che se \(\lvert C \rvert < \infty \), allora \(\mathbb{R}^n \setminus C\) è semplicemente connesso.
Se \(\lvert C \rvert = 1\), allora \(\mathbb{R}^n \setminus C\) ha lo stesso tipo di omotopia di \(\mathbf{S}^{n-1}\) (sfera \(n-1\)-dimensionale), che è semplicemente connessa (entrambi i fatti sono ben noti, non riporto la dimostrazione ma è possibile trovarne almeno una su ogni testo di topologia algebrica).
Sia \(\lvert C \rvert = m > 1\). Per induzione su \(m\). Sia l'affermazione vera \(\forall r \in \mathbb{N}, r < m \). Sia \(H\) un iperpiano che separa \(\mathbb{R}^n \) in due semispazi tali da contenere ciascuno almeno un punto di \(C\). Si considerino due intorni aperti \(U\) e \(V\) dei due semispazi così generati, con intersezione \(K\) tale che \(K \cap C \ne C\). Si consideri un punto \(\mathbf{p} \in K, \ \mathbf{p} \not\in C\). Il teorema di Van Kampen ci dice che:
\[
\pi_1(U,\mathbf{p}) *_{\pi_1 (K, \mathbf{p}) } \pi_1 (V, \mathbf{p})
\]
ed il fatto che \(U\), \(V\) e \(K\) sono omeomorfi ad \(\mathbb{R}^n\) a meno di un numero finito minore di \(m\) di punti ci permette di concludere per l'ipotesi induttiva.
Il caso \(\lvert C \rvert = \infty\) si è rivelato più complicato del previsto, non sono ancora riuscito a trovare una dimostrazione valida del fatto che anche in quel caso \(\mathbb{R}^n \setminus C\) sia semplicemente connesso. Se mi verrà in mente qualcosa tornerò a scrivere qui. Nel frattempo correzioni o suggerimenti su come proseguire sono più che graditi.
Prima di tutto dimostro che se \(\lvert C \rvert < \infty \), allora \(\mathbb{R}^n \setminus C\) è semplicemente connesso.
Se \(\lvert C \rvert = 1\), allora \(\mathbb{R}^n \setminus C\) ha lo stesso tipo di omotopia di \(\mathbf{S}^{n-1}\) (sfera \(n-1\)-dimensionale), che è semplicemente connessa (entrambi i fatti sono ben noti, non riporto la dimostrazione ma è possibile trovarne almeno una su ogni testo di topologia algebrica).
Sia \(\lvert C \rvert = m > 1\). Per induzione su \(m\). Sia l'affermazione vera \(\forall r \in \mathbb{N}, r < m \). Sia \(H\) un iperpiano che separa \(\mathbb{R}^n \) in due semispazi tali da contenere ciascuno almeno un punto di \(C\). Si considerino due intorni aperti \(U\) e \(V\) dei due semispazi così generati, con intersezione \(K\) tale che \(K \cap C \ne C\). Si consideri un punto \(\mathbf{p} \in K, \ \mathbf{p} \not\in C\). Il teorema di Van Kampen ci dice che:
\[
\pi_1(U,\mathbf{p}) *_{\pi_1 (K, \mathbf{p}) } \pi_1 (V, \mathbf{p})
\]
ed il fatto che \(U\), \(V\) e \(K\) sono omeomorfi ad \(\mathbb{R}^n\) a meno di un numero finito minore di \(m\) di punti ci permette di concludere per l'ipotesi induttiva.
Il caso \(\lvert C \rvert = \infty\) si è rivelato più complicato del previsto, non sono ancora riuscito a trovare una dimostrazione valida del fatto che anche in quel caso \(\mathbb{R}^n \setminus C\) sia semplicemente connesso. Se mi verrà in mente qualcosa tornerò a scrivere qui. Nel frattempo correzioni o suggerimenti su come proseguire sono più che graditi.
Combinando questa informazione con le ipotesi, si ottiene che C è composto di punti isolati, a meno di un numero finito (eventualmente nullo) di punti di accumulazione.
Pensa sempre al Cantor! Essendo perfetto tutti i suoi punti sono di accumulazione, ma ha addirittura cardinalità del continuo... secondo me serve qualche approccio più generale e qualche idea, a mano non si riesce a fare più di tanto...
Non ho letto tutto il thread...
Per ipotesi \(\displaystyle C\) è un insieme compatto, in particolare chiuso perché \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) è uno spazio di Hausdorff con la topologia naturale; per definizione \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus C=A\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\), e gli aperti sono connessi se e solo se sono connessi per cammini.
Per il teorema di caratterizzazione dei compatti di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\), \(\displaystyle C\) è un insieme limitato, ovvero:
\[
\exists R>0,c\in\mathbb{R}^n\mid C\subseteq B(c,R)=B
\]
quindi \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus B\) è un insieme connesso per cammini.
Siano \(\displaystyle P,Q\in A\mid P\notin B,Q\in B\), per definizione:
\[
Q\notin C\iff dist({Q},C)=d>0
\]
e per le ipotesi esiste un ricoprimento finito di \(\displaystyle C\) composto da palle aperte tale che la somma dei raggi sia minore o uguale a \(\displaystyle\frac{d}{2}\); considerato il segmento \(\displaystyle\overline{PQ}\), si può costruire un cammino che parte da \(\displaystyle Q\), il sostegno sia composto dal segmento \(\displaystyle\overline{PQ}\) meno le parti in comune col ricoprimento di \(\displaystyle C\) e i "vuoti" siano colmati da un arco sul bordo delle date palle che congiunge gli estremi "tagliati".
In tal modo si incollano finiti segmenti ed archi, e ciò che si ottiene è un cammino da \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle P\).
Lo stesso ragionamento lo si può ripetere con \(\displaystyle P,Q\in B\); dulcis in fundo, \(\displaystyle A\) è un insieme aperto connesso per cammini, ovvero connesso!
Troppo intuitiva come soluzione per il primo punto?
Per ipotesi \(\displaystyle C\) è un insieme compatto, in particolare chiuso perché \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) è uno spazio di Hausdorff con la topologia naturale; per definizione \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus C=A\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\), e gli aperti sono connessi se e solo se sono connessi per cammini.
Per il teorema di caratterizzazione dei compatti di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\), \(\displaystyle C\) è un insieme limitato, ovvero:
\[
\exists R>0,c\in\mathbb{R}^n\mid C\subseteq B(c,R)=B
\]
quindi \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus B\) è un insieme connesso per cammini.
Siano \(\displaystyle P,Q\in A\mid P\notin B,Q\in B\), per definizione:
\[
Q\notin C\iff dist({Q},C)=d>0
\]
e per le ipotesi esiste un ricoprimento finito di \(\displaystyle C\) composto da palle aperte tale che la somma dei raggi sia minore o uguale a \(\displaystyle\frac{d}{2}\); considerato il segmento \(\displaystyle\overline{PQ}\), si può costruire un cammino che parte da \(\displaystyle Q\), il sostegno sia composto dal segmento \(\displaystyle\overline{PQ}\) meno le parti in comune col ricoprimento di \(\displaystyle C\) e i "vuoti" siano colmati da un arco sul bordo delle date palle che congiunge gli estremi "tagliati".
In tal modo si incollano finiti segmenti ed archi, e ciò che si ottiene è un cammino da \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle P\).
Lo stesso ragionamento lo si può ripetere con \(\displaystyle P,Q\in B\); dulcis in fundo, \(\displaystyle A\) è un insieme aperto connesso per cammini, ovvero connesso!
Troppo intuitiva come soluzione per il primo punto?
Ah bene... Ho iniziato a leggerla ora, però mi sono subito stancato 
Prometto, che cercherò di studiarla
Se vedi bene, la soluzione al punto \(\displaystyle 3\) è già bella e servita...
Se ti consola, c'ho messo \(\displaystyle 10\) minuti tra il capire che \(\displaystyle C\) ha interno vuoto, è Peano - Jordan misurabile ed ha misura nulla!, mentro ero in attesa di una pizza margherita, e mi domandavo quale fosse la domanda del problema...
Prometto, che cercherò di studiarla
Se vedi bene, la soluzione al punto \(\displaystyle 3\) è già bella e servita...
Se ti consola, c'ho messo \(\displaystyle 10\) minuti tra il capire che \(\displaystyle C\) ha interno vuoto, è Peano - Jordan misurabile ed ha misura nulla!, mentro ero in attesa di una pizza margherita, e mi domandavo quale fosse la domanda del problema...
La differenza fondamentale direi che è il fatto che con la tua impostazione la soluzione funziona, con la mia no 
Può essere pure che funzioni... vediamo un pò! 
"Epimenide93":Perché?
...Combinando questa informazione con le ipotesi, si ottiene che \(\displaystyle C \) è composto di punti isolati, a meno di un numero finito (eventualmente nullo) di punti di accumulazione...
Hai dimostrato che \(\displaystyle C\) è totalmente sconnesso per cammini, non che i suoi punti siano isolati; se \(\displaystyle C\) fosse finito sarebbe sicuramente composto da punti isolati!
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