Densità di $\{sin(n)\ |\ n in NN\}$ in [-1,1]
Salve!
Conoscete una dimostrazione del fatto che $\{sin(n)\ |\ n \in NN\}$ è denso in [-1,1] ? Chiedo in particolare a Gaal Dornick, che ha accennato qui ad una dimostrazione che faceva uso della caratterizzazione topologica dei sottogruppi additivi di $RR$ (se ho capito bene), quale sia questa dimostrazione (anche a grandi linee).
Conoscete una dimostrazione del fatto che $\{sin(n)\ |\ n \in NN\}$ è denso in [-1,1] ? Chiedo in particolare a Gaal Dornick, che ha accennato qui ad una dimostrazione che faceva uso della caratterizzazione topologica dei sottogruppi additivi di $RR$ (se ho capito bene), quale sia questa dimostrazione (anche a grandi linee).
Risposte
La questione dovrebbe essere piu' o meno cosi'
(1) Dati due numeri reali $A$ e $B$ allora l'insieme $G:={nA+mB : n,m \in ZZ}$ è un sottogruppo di $RR$ (rispetto all'addizione)
(2) Prediamo $g_0 := "inf" {g\in G, g>0}$; i sono due possibilità: (a) $g_0>0$ oppure (b) $g_0=0$
(3) Nel caso (a) si può vedere che $G={n g_0 : n\in ZZ}$; se ne ricava facilmente che questo equivale a dire che $A/B$ è razionale.
(4) Nel caso (b) si dimostra che $G$ è denso in $RR$ e che queso avviene se e solo se $A/B$ è irrazionale.
Venendo al problema originale notiamo che $1$ e $2\pi$ hanno rapporto irrazionale. Prendiamo un qualunque numero $y$ tra $-1$ e $1$
e prendiamo un $x$ per cui $\sin(x)=y$. Per le proprietà dette sopra esistono due successioni di interi relativi $n_k$ e $m_k$ tali che
$n_k+2\pi m_k\to x$. E' facile vedere che $|n_k|\to+\infty$ e $|m_k|\to+\infty$ per cui (a meno di sottosuccesioni) possiamo supporre
che una vada a $+\infty$ e l'altra a $-\infty$. Se $n_k\to+\infty$ abbiamo finito perchè $\sin(n_k)=\sin(n_k+m_k2\pi)\to\sin(x)=y$.
Se $n_k\to-\infty$ NON MI RICORDO COME SI FA
(1) Dati due numeri reali $A$ e $B$ allora l'insieme $G:={nA+mB : n,m \in ZZ}$ è un sottogruppo di $RR$ (rispetto all'addizione)
(2) Prediamo $g_0 := "inf" {g\in G, g>0}$; i sono due possibilità: (a) $g_0>0$ oppure (b) $g_0=0$
(3) Nel caso (a) si può vedere che $G={n g_0 : n\in ZZ}$; se ne ricava facilmente che questo equivale a dire che $A/B$ è razionale.
(4) Nel caso (b) si dimostra che $G$ è denso in $RR$ e che queso avviene se e solo se $A/B$ è irrazionale.
Venendo al problema originale notiamo che $1$ e $2\pi$ hanno rapporto irrazionale. Prendiamo un qualunque numero $y$ tra $-1$ e $1$
e prendiamo un $x$ per cui $\sin(x)=y$. Per le proprietà dette sopra esistono due successioni di interi relativi $n_k$ e $m_k$ tali che
$n_k+2\pi m_k\to x$. E' facile vedere che $|n_k|\to+\infty$ e $|m_k|\to+\infty$ per cui (a meno di sottosuccesioni) possiamo supporre
che una vada a $+\infty$ e l'altra a $-\infty$. Se $n_k\to+\infty$ abbiamo finito perchè $\sin(n_k)=\sin(n_k+m_k2\pi)\to\sin(x)=y$.
Se $n_k\to-\infty$ NON MI RICORDO COME SI FA
NON MI RICORDO COME SI FA
La notte porta consiglio ...
Un modo di concludere e' questo - ricordiamo che $sin(x)=y$ e che si trovano due successioni di interi relativi per cui
$n_k+m_k2\pi\to x$.
Troviamo inoltre altre due successioni $n_k'$ e $m_k'$ tali che $n_k'+m_k'2\pi\to\pi$. Come nel caso precedente
devono essere entrambe divergenti in modulo. Se $n_k'\to-\infty$ si ha $-n_k'-m_k'2\pi\to-\pi$ ma allora
$-n_k'-(m_k-1)'2\pi=-n_k'-m_k'2\pi+2\pi\to\pi$: possiamo quindi supporre che $n_k'\to+\infty$.
Torniamo alla $x$ - se $n_k\to+\infty$ allora $\sin(n_k)=\sin(n_k+2\pi m_k)\to\sin(x)=y$; se invece
$n_k\to-\infty$ allora $-n_k-m_k2\pi\to-x$, da cui $n_k'-n_k+(m_m'-m_k)2\pi\to\pi-x$ e $n_k'-n_k\to+\infty$.
Infine $\sin(n_k'-n_k)=\sin(n_k'-n_k+2\pi(m_m'-m_k))\to\sin(\pi-x)=y$.
Mi rimane il dubbio che si possa fare meglio - in particolare non mi è chiaro se $NN+2\pi ZZ$ non sia anche lui denso.
Rileggendo l'altro post mi sembra che avrei dovuto presentare meglio il punto (3) come segue:
(3) Nel caso (a) si puoò vedere che $g_0=\min G$ da cui si deduce che $G={n g_0 : n\in ZZ}$; se ne ricava facilmente che questo equivale a dire che $A/B$ è razionale.
Ah grazie, ora l'idea è molto chiara.
Ma non potresti dire, una volta trovata la successione $n_k+2 pi m_k to x$, che $sin(n_k) to y$ per continuità di $sin$? Perché hai bisogno di distinguere i casi?
Forse mi sfugge qualcosa?
Ma non potresti dire, una volta trovata la successione $n_k+2 pi m_k to x$, che $sin(n_k) to y$ per continuità di $sin$? Perché hai bisogno di distinguere i casi?
Forse mi sfugge qualcosa?
Il problema iniziale era dimostrare che ${\sin(n)}, n\in NN}$ è denso in $[-1,1]$ - se fosse stato
${\sin(n)}, n\in ZZ}$ denso in $[-1,1]$ avrei finito subito dato che se $n_k+m_k 2\pi\to x$ allora
$sin(n_k)\to\sin(x)$. Ma a me serve anche che gli $n_k$ siano positivi ...
${\sin(n)}, n\in ZZ}$ denso in $[-1,1]$ avrei finito subito dato che se $n_k+m_k 2\pi\to x$ allora
$sin(n_k)\to\sin(x)$. Ma a me serve anche che gli $n_k$ siano positivi ...
"ViciousGoblinEnters":
Il problema iniziale era dimostrare che ${\sin(n)}, n\in NN}$ è denso in $[-1,1]$ - se fosse stato
${\sin(n)}, n\in ZZ}$ denso in $[-1,1]$ avrei finito subito dato che se $n_k+m_k 2\pi\to x$ allora
$sin(n_k)\to\sin(x)$. Ma a me serve anche che gli $n_k$ siano positivi ...
Ah già scusa, ero convinto di aver proposto il problema per $ZZ$.. curioso che la restrizione a $NN$ porti problemi inenarrabili.. Secondo me dev'esserci un modo per sviare facilmente l'ostacolo.
Secondo me dev'esserci un modo per sviare facilmente l'ostacolo.
Concordo anch'io - in effetti mi chiedo se si possa dimostrare direttamente che $NN+2\pi ZZ$ è denso, imitando la dimostrazione
utilizzata per $ZZ+2\pi ZZ$
Cavolo, ho provato a pensarci ma la densità di $sin(NN)$ non sembra seguire facilmente da quella di $sin(ZZ)$.
In particolare, mi sono scontrato col seguente problema topologico: sotto quali condizioni un'intersezione di densi inscatolati è densa? Avevo provato a definire $A_m=sin(ZZ)-\{sin(-1),...,sin(-m)\}$ per $m in NN$, che è denso in $sin(ZZ)$, e a mostrare che $sin(NN) = bigcap_m A_m$ è ugualmente un denso. Basterebbe mostrare che tale intersezione è densa in $sin(ZZ)$, e preso dall'entusiasmo mi sono accorto all'ultimo momento che non posso applicare Baire perché $sin(ZZ)$ non è completo
In particolare, mi sono scontrato col seguente problema topologico: sotto quali condizioni un'intersezione di densi inscatolati è densa? Avevo provato a definire $A_m=sin(ZZ)-\{sin(-1),...,sin(-m)\}$ per $m in NN$, che è denso in $sin(ZZ)$, e a mostrare che $sin(NN) = bigcap_m A_m$ è ugualmente un denso. Basterebbe mostrare che tale intersezione è densa in $sin(ZZ)$, e preso dall'entusiasmo mi sono accorto all'ultimo momento che non posso applicare Baire perché $sin(ZZ)$ non è completo
Ho riletto la tua dimostrazione e mi sembra la più ragionevole.
Quello che ho fatto io è stato:
1)dati $p,q in RR$ tali che $p/q in RR-QQ$ ho provato che${px+qy|x,y inZZ}$ è denso in $RR$
2) (e questo penso sia il punto ora) ho visto che: data una funzione continua surgettiva da $RR$ in $[-1,1]$
questa trasforma densi in densi.
Il problema è che questa parte della dimostrazione la concepì un mio amico, e non la ricordo bene...comunque mi pare non ci fosse niente di "difficile", tutto discendeva abbastanza naturalmente, sfruttando un approccio topologico al problema.
1)dati $p,q in RR$ tali che $p/q in RR-QQ$ ho provato che${px+qy|x,y inZZ}$ è denso in $RR$
2) (e questo penso sia il punto ora) ho visto che: data una funzione continua surgettiva da $RR$ in $[-1,1]$
questa trasforma densi in densi.
Il problema è che questa parte della dimostrazione la concepì un mio amico, e non la ricordo bene...comunque mi pare non ci fosse niente di "difficile", tutto discendeva abbastanza naturalmente, sfruttando un approccio topologico al problema.
2) (e questo penso sia il punto ora) ho visto che: data una funzione continua surgettiva da ℝ in [-1,1]
questa trasforma densi in densi.
Il problema è che questa parte della dimostrazione la concepì un mio amico, e non la ricordo bene...comunque mi pare non ci fosse niente di "difficile", tutto discendeva abbastanza naturalmente, sfruttando un approccio topologico al problema.
Non c'e' nulla di difficile - il problema è però che in questo modo dimostri che $\sin(ZZ)$ è denso non che $\sin(NN)$ è denso (grazie a martino per la notazione piu' concisa ...)
Sfruttando le proprietà particolari del seno la cosa si riesce a fare comunque (vedi qualche post sopra), C'e' però il dubbio che si possa per esempio dimostrare che la stessa proprietà è vera per ogni
funzione continua e $2\pi$ periodica.
Io mi chiedevo (e questo darebbe tutto) si può dimostrare che dati $p,q\in RR - QQ$ l'insieme ${n p +m q : n\in NN, m \in ZZ}$ è denso in $RR$ - o si trova facilmente un controesempio?
"ViciousGoblinEnters":
C'e' però il dubbio che si possa per esempio dimostrare che la stessa proprietà è vera per ogni funzione continua e $2\pi$ periodica.
Si, usando la mia dimostrazione, in realtà qualunque funzione continua e $alpha$ periodica, con $alpha$ irrazionale.
Io mi chiedevo (e questo darebbe tutto) si può dimostrare che dati $p,q\in RR - QQ$ l'insieme ${n p +m q : n\in NN, m \in ZZ}$ è denso in $RR$ - o si trova facilmente un controesempio?
Boh, non so... Si può sfruttare in qualche modo la disparità del seno?
Si, usando la mia dimostrazione, in realtà qualunque funzione continua e α periodica, con α irrazionale.
Come? - Ho l'impressione che tu non stia cogliendo la differenza tra $NN$ e $ZZ$
Boh, non so... Si può sfruttare in qualche modo la disparità del seno?
Che c'entra il seno - il problema riguarda solo $p$ e $q$!!
Ok..va bene. Sto facendo confusione.
Il problema per $sin(ZZ)$ è completamente risolto. (con la mia o tua strada)
Il problema per $sin(NN)$ è risolto da te.
A questo punto la domanda è sul sottogruppo additivo.. Vabbè
Il problema per $sin(ZZ)$ è completamente risolto. (con la mia o tua strada)
Il problema per $sin(NN)$ è risolto da te.
A questo punto la domanda è sul sottogruppo additivo.. Vabbè
Non c'e' problema.
La questione di $p NN+ q ZZ$ mi pare comunque interessante e fornirebbe una soluzione più naturale alla questione di $\sin(NN)$
(estendibile a qualunque periodica continua).
La questione di $p NN+ q ZZ$ mi pare comunque interessante e fornirebbe una soluzione più naturale alla questione di $\sin(NN)$
(estendibile a qualunque periodica continua).
Rileggendo la dimostrazione data da Buttazzo della densità di $ZZ+piZZ$,ho visto che non la si può "migliorare".
Per ottenere la densità si prova che esiste un elemento di norma piccola a piacere: in effetti "sotto sotto" c'è un limite, al numeratore un infinito di ordine 1 e al denominatore un infinito di ordine 2. Ma se si scartano i $p$ negativi diventano infiniti di ordine 1 entrambi..e cade la dimostrazione.
Ora che ho un po' di tempo e voglia cerco di dare per sommi capi la sua dimostrazione..se serve.
Per ottenere la densità si prova che esiste un elemento di norma piccola a piacere: in effetti "sotto sotto" c'è un limite, al numeratore un infinito di ordine 1 e al denominatore un infinito di ordine 2. Ma se si scartano i $p$ negativi diventano infiniti di ordine 1 entrambi..e cade la dimostrazione.
Ora che ho un po' di tempo e voglia cerco di dare per sommi capi la sua dimostrazione..se serve.
Mi pare che venga (in maniera un po' sottile ma elementare)
Supponiamo che $A$ e $B$ siano in $RR$ con $A/B\in RR - QQ$ e poniamo $G := {nA+mB : n\in NN, m\in ZZ}$, $G^+ := {g\in G : g>0}$.
Vogliamo mostrare che $G$ è denso in $RR$.
Definiamo $g_0 := "inf" G^+$.
FATTO FONDAMENTALE Se $g_0>0$ allora $g_0=\min G^+$.
DIM. Supponiamo che $g_0$ non sia minimo. Allora esistono $n\in NN$ e $m\in ZZ$ tali che $g_0
$(\star)$ $ n'A+m'B
(a) (questo è il caso più facile) Dato che $n'0$,
dunque $g_1\in G^+$. Infine $g_1<2 g_0-g_0=g_0$ contro l'ipotesi che $g_0="inf" G^+$.
(b) Se $n'\geq n$ allora $2n'> n$. Inoltre $nA+mB<2g_0<2n'A+2m'B<2g_0+2\epsilon
Dunque $g_2 := (2n'-n)A+(2m'-m)B$ è in $G$ (perchè $2n'>n$), e
$0
Una volta dimostrato il "FATTO IMPORTANTE" isi procede in modo standard: se $g_0>0$, essendo il minimo si deduce che $A/B\in QQ$;
quindi e $A/B$ non ha rapporto razionale $g_0=0$, cioè $0$ è nella chiusura di $G^+$. Da qui si ricava facilmente che ogni $x$ è nella chiusura di $G$.
Sempre se non ho fatto qualche errore banale.
Supponiamo che $A$ e $B$ siano in $RR$ con $A/B\in RR - QQ$ e poniamo $G := {nA+mB : n\in NN, m\in ZZ}$, $G^+ := {g\in G : g>0}$.
Vogliamo mostrare che $G$ è denso in $RR$.
Definiamo $g_0 := "inf" G^+$.
FATTO FONDAMENTALE Se $g_0>0$ allora $g_0=\min G^+$.
DIM. Supponiamo che $g_0$ non sia minimo. Allora esistono $n\in NN$ e $m\in ZZ$ tali che $g_0
$(\star)$ $ n'A+m'B
(a) (questo è il caso più facile) Dato che $n'
dunque $g_1\in G^+$. Infine $g_1<2 g_0-g_0=g_0$ contro l'ipotesi che $g_0="inf" G^+$.
(b) Se $n'\geq n$ allora $2n'> n$. Inoltre $nA+mB<2g_0<2n'A+2m'B<2g_0+2\epsilon
Dunque $g_2 := (2n'-n)A+(2m'-m)B$ è in $G$ (perchè $2n'>n$), e
$0
Una volta dimostrato il "FATTO IMPORTANTE" isi procede in modo standard: se $g_0>0$, essendo il minimo si deduce che $A/B\in QQ$;
quindi e $A/B$ non ha rapporto razionale $g_0=0$, cioè $0$ è nella chiusura di $G^+$. Da qui si ricava facilmente che ogni $x$ è nella chiusura di $G$.
Sempre se non ho fatto qualche errore banale.
Per completezza aggiungo qualche dettaglio sulla conclusione della dimostrazione.
Avevamo trovato che se $g_0>0$ allora $g_0=\min G^+$, dunque $g_0=n_0A+m_0B$ per opportuni $n_0\in NN$ e $m_0\in ZZ$.
Voglio ora dedurne che $A/B\in QQ$. Anche qui devo distinguere due casi: $n_0=0$ e $n_0>0$.
Supponiamo $n_0>0$; dico che si trova un $n\in NN$ tale che $n g_0=B$. Se non fosse vero troverei $n\in NN$ tale che
$n g_0
Supponiamo che $n_0=0$, questo implica che $g_0=B
In definitiva se $A/B\notin QQ$ il nostro $g_0$ deve essere zero.
Sia allora $x\geq 0$ qualunque e fissiamo $\delta>0$. Sia $g\in G^+$ tale che $0
E questo è più o meno tutto.
Avevamo trovato che se $g_0>0$ allora $g_0=\min G^+$, dunque $g_0=n_0A+m_0B$ per opportuni $n_0\in NN$ e $m_0\in ZZ$.
Voglio ora dedurne che $A/B\in QQ$. Anche qui devo distinguere due casi: $n_0=0$ e $n_0>0$.
Supponiamo $n_0>0$; dico che si trova un $n\in NN$ tale che $n g_0=B$. Se non fosse vero troverei $n\in NN$ tale che
$n g_0
Supponiamo che $n_0=0$, questo implica che $g_0=B
In definitiva se $A/B\notin QQ$ il nostro $g_0$ deve essere zero.
Sia allora $x\geq 0$ qualunque e fissiamo $\delta>0$. Sia $g\in G^+$ tale che $0
E questo è più o meno tutto.
Ok Vicious, mi pare che la tua prova funzioni.
Propongo una prova non elementare (per il gusto di usare i famosi 'cannoni'
). Spero che funzioni (non ne sono sicurissimo).
Prop: se $p,q$ hanno rapporto irrazionale, allora $pNN+qZZ$ è denso in $RR$.
Dim: possiamo supporre $p=1$ (e quindi $q$ irrazionale), perché se [tex]\mathbb{N}+q/p \mathbb{Z}[/tex] è denso allora lo è anche il suo 'dilatato' (la moltiplicazione per $p$ è una funzione continua e suriettiva da $RR$ in $RR$ quindi manda densi in densi). Possiamo supporre $q>0$. Basta mostrare che [tex](\mathbb{N}+q \mathbb{Z}) / q \mathbb{Z}[/tex] è denso in [tex]\mathbb{R} / q \mathbb{Z}[/tex], per ragioni di 'traslazione'. Ora la successione [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{R}/q \mathbb{Z}[/tex] che manda $n$ nella sua classe modulo $qZZ$ è iniettiva, infatti da $n-m=qz$ (con $n,m in NN$ e $0 ne z in ZZ$) seguirebbe la razionalità di $q$. Quindi essa ammette un punto di accumulazione in [tex]\mathbb{R}/q\mathbb{Z}[/tex] (compatto - quindi sequenzialmente compatto - perché omeomorfo al cerchio [tex]\mathbb{R}/2 \pi \mathbb{Z}[/tex]), e quindi per ogni $epsilon>0$ esistono $a,b in NN$ distinti (data l'iniettività della successione) che distano meno di $epsilon$ sul cerchio. Diciamo $a
Propongo una prova non elementare (per il gusto di usare i famosi 'cannoni'
). Spero che funzioni (non ne sono sicurissimo).Prop: se $p,q$ hanno rapporto irrazionale, allora $pNN+qZZ$ è denso in $RR$.
Dim: possiamo supporre $p=1$ (e quindi $q$ irrazionale), perché se [tex]\mathbb{N}+q/p \mathbb{Z}[/tex] è denso allora lo è anche il suo 'dilatato' (la moltiplicazione per $p$ è una funzione continua e suriettiva da $RR$ in $RR$ quindi manda densi in densi). Possiamo supporre $q>0$. Basta mostrare che [tex](\mathbb{N}+q \mathbb{Z}) / q \mathbb{Z}[/tex] è denso in [tex]\mathbb{R} / q \mathbb{Z}[/tex], per ragioni di 'traslazione'. Ora la successione [tex]\mathbb{N} \to \mathbb{R}/q \mathbb{Z}[/tex] che manda $n$ nella sua classe modulo $qZZ$ è iniettiva, infatti da $n-m=qz$ (con $n,m in NN$ e $0 ne z in ZZ$) seguirebbe la razionalità di $q$. Quindi essa ammette un punto di accumulazione in [tex]\mathbb{R}/q\mathbb{Z}[/tex] (compatto - quindi sequenzialmente compatto - perché omeomorfo al cerchio [tex]\mathbb{R}/2 \pi \mathbb{Z}[/tex]), e quindi per ogni $epsilon>0$ esistono $a,b in NN$ distinti (data l'iniettività della successione) che distano meno di $epsilon$ sul cerchio. Diciamo $a
Caro Martino, il tuo approccio mi piace moltissimo. Tra l'altro mi pare che spieghi molto bene l'altro modo che
conoscevo di dimostrare la densita' di $AZZ+B ZZ$, che credo sia quello a cui si riferisce Gaal Dornick
(se $n,m$ sono tra $-M$ ed $M$ il numero delle combinazioni $nA+mB$ è dell'ordine di $M^2$, mentre tutte
queste combinazioni sono confinate un intervallo di ampiezza dell'ordine di $M$ ... dunque
devono addensarsi da qualche parte). E' molto meglio del mio.
Non ho pero' capito bene (in cauda venenum ...) come mai gli intervalli $[a+nc,a+(n+1)c]$
( che poi sono $[a+nc,b+nc]$, giusto ?) ricoprano il cerchio. Pero' non ci ho pensato molto.
conoscevo di dimostrare la densita' di $AZZ+B ZZ$, che credo sia quello a cui si riferisce Gaal Dornick
(se $n,m$ sono tra $-M$ ed $M$ il numero delle combinazioni $nA+mB$ è dell'ordine di $M^2$, mentre tutte
queste combinazioni sono confinate un intervallo di ampiezza dell'ordine di $M$ ... dunque
devono addensarsi da qualche parte). E' molto meglio del mio.
Non ho pero' capito bene (in cauda venenum ...) come mai gli intervalli $[a+nc,a+(n+1)c]$
( che poi sono $[a+nc,b+nc]$, giusto ?) ricoprano il cerchio. Pero' non ci ho pensato molto.
"ViciousGoblinEnters":
E' molto meglio del mio.
Beh, non saprei... conta che io ho usato i 'cannoni', tu no
Non ho pero' capito bene (in cauda venenum ...) come mai gli intervalli $[a+nc,a+(n+1)c]$
( che poi sono $[a+nc,b+nc]$, giusto ?) ricoprano il cerchio.
Beh perché hanno tutti la stessa lunghezza e due successivi sono adiacenti... Qui sto identificando ogni numero naturale con la sua classe modulo $qZZ$. Se $delta
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