Densità di $\{sin(n)\ |\ n in NN\}$ in [-1,1]

[Studente Anonimo]

Salve!

Conoscete una dimostrazione del fatto che $\{sin(n)\ |\ n \in NN\}$ è denso in [-1,1] ? Chiedo in particolare a Gaal Dornick, che ha accennato qui ad una dimostrazione che faceva uso della caratterizzazione topologica dei sottogruppi additivi di $RR$ (se ho capito bene), quale sia questa dimostrazione (anche a grandi linee).

[ViciousGoblin]

Beh perché hanno tutti la stessa lunghezza e due successivi sono adiacenti...

adiacenti! - mi sembra convincente. In effetti direi che hai trovato il modo (che poi è semplice) di "trasportare"
arbitrariamente gli intervalli usando solo gli $n$ positivi. Con quest'idea credo che anche la dimostrazione "diretta"
si semplifichi.
Ripeto cmunque che l'idea del cerchio è molto chiarificante.
In qualche senso hai dimostrato direttamente che $\sin(NN)$ è denso e ne deduci che $NN+qZZ$ è denso.

[Studente Anonimo]

Vogliamo domandarci quali sono i sottoinsiemi $A$ di $NN$ tali che $A+2 pi ZZ$ è denso in $RR$ o ci fermiamo qui?

[ViciousGoblin]

Ti prego no Rischio di diventare "addicted" di questo forum (che ho soperto da poco)

[Livius1]

"ViciousGoblin": $g_0=n_0A+m_0B$ per opportuni $n_0\in NN$ e $m_0\in ZZ$.
[...]
$g'=(n+1)g_0-B=(n+1)n_0A+(m_0-1)B\in G$

in realtà è $(n+1)g_{0}-B=(n+1)n_{0}A+((m_{0}-1)+nm_{0})B$,
ma questa piccola inesattezza non compromette la dimostrazione.

Comunque oltre ad essere palese il fatto che $\cos(\mathbb{Z})=\cos(\mathbb{N})$ (ovvio dato che $\cos(\mathbb{Z})\subseteq\cos(\mathbb{N})$ perchè $\cos(-x)=\cos x$), è vera anche l'uguaglianza $\sin(\mathbb{Z})=\sin(\mathbb{N})$; infatti $\sin(\mathbb{N})={\pm\sqrt{1-(\cos n)^{2}}:n\in\mathbb{N}$, avendo cura di scegliere $+$ ogni qualvolta $\sin n\ge
0$, e $-$ altrimenti$}$, cosicchè $\sin(\mathbb{Z})\subseteq\sin(\mathbb{N})$ dato che $\pm
\sqrt{1-(\cos(-n))^{2}}=\pm\sqrt{1-(\cos n)^{2}}$, per ogni $n\in\mathbb{N}$.

[Studente Anonimo]

"Livius":Comunque oltre ad essere palese il fatto che $\cos(\mathbb{Z})=\cos(\mathbb{N})$ (ovvio dato che $\cos(\mathbb{Z})\subseteq\cos(\mathbb{N})$ perchè $\cos(-x)=\cos x$), è vera anche l'uguaglianza $\sin(\mathbb{Z})=\sin(\mathbb{N})$; infatti $\sin(\mathbb{N})={\pm\sqrt{1-(\cos n)^{2}}:n\in\mathbb{N}$, avendo cura di scegliere $+$ ogni qualvolta $\sin n\ge
0$, e $-$ altrimenti$}$, cosicchè $\sin(\mathbb{Z})\subseteq\sin(\mathbb{N})$ dato che $\pm
\sqrt{1-(\cos(-n))^{2}}=\pm\sqrt{1-(\cos n)^{2}}$, per ogni $n\in\mathbb{N}$.

Scusa non ho capito l'argomento.

Per esempio mi puoi scrivere $sin(-1)$ come $sin(n)$ per un opportuno $n \in NN$?

[ViciousGoblin]

WOW questa è stata la prima discussione interessante che ho intrattenuto su questo forum che ormai non frequento più da qualche anno. Che nostalgia. Vedo scritto Brasilia sulla residenza di Martino

[Livius1]

Ma scusa a te (Martino) per la tua infinita pazienza.

In effetti secondo la mia formula $\sin 1=\sqrt{1-(\cos 1)^{2}}=\sqrt{1-(\cos (-1))^{2}}=\sin 1 \ne\sin (-1)$.
In generale credo che se $\sin (n)=\sqrt{1-(\cos n)^{2}}$ non è in generale vero allora che $\sin (-n)=\sqrt{1-(\cos (-n))^{2}}$, questo è il mio errore, credo.
Se $\sin (-1)=\sin(n)$ per un opportuno $n\in \mathbb{N}$?
Non saprei proprio, ma non credo....

[Studente Anonimo]

Eh, ho idea che sia [tex]\sin(\mathbb{Z}) \neq \sin(\mathbb{N})[/tex] ...

ViciousGoblin, sì sono stabile a Brasilia adesso