Cubo uguale alla somma di tre cubi consecutivi??
Bisogna trovare un numero $n in NN$ tale che il suo cubo sia uguale alla somma di tre cubi di numeri consecutivi. Ho impostato il calcolo in questo modo :$n^3=a^3+(a+1)^3+(a+2)^3$.
Svolgendo i calcoli viene fuori questa equazione: $n^3-3m^3-6=0$ con $m=a+1$ della quale bisogna cercare le soluzioni intere.
Secondo me non ce ne sono, ma non riesco a dimostrarlo in nessun modo. Ho studiato l' equazione mod. 2,3,4,8 ma niente. A questo punto mi viene il dubbio che potrei sbagliarmi a dire che non ce ne sono...insomma non riesco a venirne a capo.
Grazie
Svolgendo i calcoli viene fuori questa equazione: $n^3-3m^3-6=0$ con $m=a+1$ della quale bisogna cercare le soluzioni intere.
Secondo me non ce ne sono, ma non riesco a dimostrarlo in nessun modo. Ho studiato l' equazione mod. 2,3,4,8 ma niente. A questo punto mi viene il dubbio che potrei sbagliarmi a dire che non ce ne sono...insomma non riesco a venirne a capo.
Grazie
Risposte
$3^3+4^3+5^3=6^3$
Infatti:
$27+64+125=216$
Infatti:
$27+64+125=216$
$3^3+4^3+5^3=6^3$
Forse sarebbe meglio usare: $(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=x^3$
Da cui $3a^3+6a=x^3$
Non so se ci sono altre soluzioni......
Forse sarebbe meglio usare: $(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=x^3$
Da cui $3a^3+6a=x^3$
Non so se ci sono altre soluzioni......
"superpippone":
$3^3+4^3+5^3=6^3$
Forse sarebbe meglio usare: $(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=x^3$
Da cui $3a^3+6a=x^3$
Non so se ci sono altre soluzioni......
La tua soluzione, ovvero (2,3,4,5,6), è deducibile dall' equazione? O si procede "a tentativi"?
Ciao.
Io l'ho fatta a tentativi.
Volendo ci sono anche le terne (-1;0;1) e (-5;-4;-3).
Ho visto la risposta di Ciromario. Ma quando ho scritto io non c'era.
E' strano, anche perchè dice messaggio 913 di 908.....
Io l'ho fatta a tentativi.
Volendo ci sono anche le terne (-1;0;1) e (-5;-4;-3).
Ho visto la risposta di Ciromario. Ma quando ho scritto io non c'era.
E' strano, anche perchè dice messaggio 913 di 908.....
"superpippone":
Ciao.
Io l'ho fatta a tentativi.
Volendo ci sono anche le terne (-1;0;1) e (-5;-4;-3).
Ho visto la risposta di Ciromario. Ma quando ho scritto io non c'era.
E' strano, anche perchè dice messaggio 913 di 908.....
Ma volendo risolvere l' equazione, come si potrebbe fare?
Non so se l'equazione sia risolvibile.
Io non ne sono certamente in grado.....
Io non ne sono certamente in grado.....
"superpippone":
$(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=x^3$
Da cui $3a^3+6a=x^3$
$3a(a^2+2) = x^3$
La scomposizione in fattori primi di un cubo deve contenere ciascuno dei suoi fattori 3 volte un multiplo di 3.
$a^2$ contiene gli stessi fattori primi di $a$, quindi $a^2+2$ non conterrà nessuno di questi fattori, eccetto il 2 (se $a$ è pari).
Consideriamo il caso che $a$ sia dispari, quindi $a$ e $a^2 + 2$ non hanno fattori primi comuni. Allora uno dei due numeri deve essere un cubo perfetto, l'altro deve essere un cubo perfetto moltiplicato per 9.
Se $a$ è multiplo di 9, sostituiamo $a=9b$, $x=3y$, dunque l'equazione diventa:
$b(81b^2 +2) = y^3$
Ovviamente $b$ e $81b^2 + 2$ non possono avere fattori comuni (altrimenti li avrebbero anche $a$ e $a^2 + 2$), dunque devono essere entrambi cubi perfetti.
Concentriamoci sul secondo fattore:
$81b^2 +2 = z^3$
$81b^2 = z^3 -2$
Se consideriamo le classi di resto modulo 9, possiamo verificare che $z^3$ può avere solamente resto 1, 0 o -1. Dunque $z^3 - 2$ non può mai essere un multiplo di 9, quindi questa uguaglianza non può essere verificata.
Pertanto $a$ non può essere multiplo di 9 (e contemporaneamente dispari).
Allora $a^2+2$ deve essere multiplo di 9. Analizzando di nuovo le classi di resto modulo 9 si trova che le uniche possibilità sono $a=9b \pm 4$. Sostituendo nell'equazione di partenza, e sostituendo anche $x=3y$:
$(27b \pm 12)(81b^2 \pm 72 b + 18) = 27 y^3$
che può essere semplificata
$(9b \pm 4)(9b^2 \pm 8b + 2) = y^3$
I due termini in parentesi non possono avere fattori comuni (altrimenti li avrebbero anche $a$ e $a^2 + 2$), dunque devono essere entrambi cubi perfetti. Per il ragionamento precedente con le classi di resto modulo 9, $9b \pm 4$ non può essere un cubo perfetto.
In conclusione non vi sono soluzioni con $a$ dispari.
Consideriamo adesso il caso che $a$ sia pari. $a^2+2$ è multiplo di 2 ma non di 4, quindi $a$ deve essere multiplo di 4.
Sostituiamo $a=4b$, dunque l'equazione diventa:
$24b(8b^2+1) = x^3$
$x$ è pari, quindi sostituiamo $x=2y$ e poi semplifichiamo:
$3b(8b^2+1) = y^3$
$b$ e $8b^2 + 1$ non possono avere fattori comuni, dunque uno dei due deve essere un cubo perfetto, l'altro un cubo perfetto moltiplicato per 9.
Vediamo se $8b^2+1$ può essere un cubo perfetto:
$8b^2+1 = z^3$
$8b^2 = z^3 - 1$
$8b^2 = (z-1)(z^2+z+1)$
$8b^2 = (z-1)[(z-1)^2 + 3z]$
$z$ e $z-1$ ovviamente non hanno fattori comuni, quindi $z-1$ e $(z-1)^2 + 3z$ non possono avere fattori primi comuni, eccetto eventualmente il $3$.
Se non hanno fattori comuni, devono essere un quadrato perfetto e il doppio di un quadrato perfetto.
$z^2 < z^2 + z + 1 < (z+1)^2$, pertanto il secondo termine non può essere un quadrato perfetto. Ma il secondo termine non può neanche essere pari, quindi non è il doppio di un quadrato perfetto.
Vediamo cosa succede se $z-1$ e $z^2 + z + 1$ sono entrambi multipli di 3. Allora possiamo sostituire $z=3w+1$:
$8b^2 = 3w[9w^2 + 9 w +3]$
$8b^2 = 9w(3w^2 + 3w + 1)$
$w$ e $3w^2 + 3w + 1$ non possono più avere fattori comuni (altrimenti li avrebbero anche $z-1$ e $z^2 + z + 1$). $b$ deve essere multiplo di $3$; sostituendo $b=3c$ e semplificando:
$8c^2 = w(3w^2 + 3w + 1)$
A questo punto $w$ e $3w^2 + 3w + 1$ devono essere un quadrato perfetto e il doppio di un quadrato perfetto. Il secondo termine è dispari, quindi deve essere il quadrato perfetto.
Scriviamo dunque:
$3w^2 + 3w + 1 = (2d+1)^2$
$3w^2 + 3w + 1 = 4d^2 + 4d + 1$
$3w(w+1) = 4d(d+1)$
Evidentemente deve essere $w>d$, per cui scriviamo $w=d+k$:
$3(d+k)(d+k+1) = 4d(d+1)$
$3d^2 + 3k^2 + 6kd + 3d + 3k = 4d^2 + 4d$
$d^2 +(1-6k)d - 3k(k+1) = 0$
Risolvendo l'equazione di secondo grado:
$d = \frac{6k-1 \pm \sqrt{(1-6k)^2 + 12k(k+1)}}{2} = \frac{6k-1 \pm \sqrt{48k^2 + 1}}{2}$
Le soluzioni possono essere tra i valori di $k$ tali che $48k^2 + 1$ sia un quadrato perfetto (solo una delle due radici è positiva).
Proseguo in questo nuovo post, perché per i passaggi successivi ho avuto bisogno dell'aiuto del computer.
Ho eseguito uno script per trovare tutti i valori di $k$ tali che $48k^2 + 1$ sia un quadrato perfetto, con $1 \le k \le 100000$, e ho trovato le seguenti soluzioni:
$1$, $14$, $195$, $2716$, $37829$
Osservo che:
$195 = 14 * 14 - 1$
$2716 = 195*14 - 14$
$37829 = 2716*14 - 195$
Questo mi suggerisce la regola di ricorrenza:
$k_{n+1} = 14 k_n - k_{n-1}$
Cerco eventuali soluzioni del tipo $k_n = \alpha^n$. Sostituendo nella relazione di ricorrenza si ottiene:
$\alpha^2 - 14 \alpha + 1 = 0$
$\alpha = 7 \pm \sqrt{48}$
A ciascuno dei due possibili valori di $\alpha$ corrisponde una successione che soddisfa la relazione di ricorrenza.
Una loro combinazione lineare soddisfa ancora la relazione di ricorrenza. Cerco una combinazione lineare tale che i primi due termini coincidano con quelli della successione, quindi automaticamente coincideranno tutti gli altri termini. Il risultato ottenuto è:
$k_n = \frac{ (7 + \sqrt{48})^n - (7 - \sqrt{48})^n }{ 2 \sqrt{48} }$
Adesso posso provare che $48k_n^2 + 1$ è sempre un quadrato perfetto:
$48k_n^2 + 1 = 48 \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{2n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{2n} -2 }{4*48} + 1+$
$= \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{2n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{2n} +2 }{4}$
[tex]= \left ( \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{n}}{2} \right )^2[/tex]
Resta da provare che il numero entro parentesi tonde è intero. Lo si può fare sviluppando secondo il binomio di Newton, oppure osservando che per $n=0$ ed $n=1$ si ottengono degli interi, e i numeri successivi si possono ottenere secondo la solita relazione di ricorrenza.
Ho eseguito uno script per trovare tutti i valori di $k$ tali che $48k^2 + 1$ sia un quadrato perfetto, con $1 \le k \le 100000$, e ho trovato le seguenti soluzioni:
$1$, $14$, $195$, $2716$, $37829$
Osservo che:
$195 = 14 * 14 - 1$
$2716 = 195*14 - 14$
$37829 = 2716*14 - 195$
Questo mi suggerisce la regola di ricorrenza:
$k_{n+1} = 14 k_n - k_{n-1}$
Cerco eventuali soluzioni del tipo $k_n = \alpha^n$. Sostituendo nella relazione di ricorrenza si ottiene:
$\alpha^2 - 14 \alpha + 1 = 0$
$\alpha = 7 \pm \sqrt{48}$
A ciascuno dei due possibili valori di $\alpha$ corrisponde una successione che soddisfa la relazione di ricorrenza.
Una loro combinazione lineare soddisfa ancora la relazione di ricorrenza. Cerco una combinazione lineare tale che i primi due termini coincidano con quelli della successione, quindi automaticamente coincideranno tutti gli altri termini. Il risultato ottenuto è:
$k_n = \frac{ (7 + \sqrt{48})^n - (7 - \sqrt{48})^n }{ 2 \sqrt{48} }$
Adesso posso provare che $48k_n^2 + 1$ è sempre un quadrato perfetto:
$48k_n^2 + 1 = 48 \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{2n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{2n} -2 }{4*48} + 1+$
$= \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{2n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{2n} +2 }{4}$
[tex]= \left ( \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{n}}{2} \right )^2[/tex]
Resta da provare che il numero entro parentesi tonde è intero. Lo si può fare sviluppando secondo il binomio di Newton, oppure osservando che per $n=0$ ed $n=1$ si ottengono degli interi, e i numeri successivi si possono ottenere secondo la solita relazione di ricorrenza.
"robbstark":
Proseguo in questo nuovo post, perché per i passaggi successivi ho avuto bisogno dell'aiuto del computer.
Ho eseguito uno script per trovare tutti i valori di $k$ tali che $48k^2 + 1$ sia un quadrato perfetto, con $1 \le k \le 100000$, e ho trovato le seguenti soluzioni:
$1$, $14$, $195$, $2716$, $37829$
Osservo che:
$195 = 14 * 14 - 1$
$2716 = 195*14 - 14$
$37829 = 2716*14 - 195$
Questo mi suggerisce la regola di ricorrenza:
$k_{n+1} = 14 k_n - k_{n-1}$
Cerco eventuali soluzioni del tipo $k_n = \alpha^n$. Sostituendo nella relazione di ricorrenza si ottiene:
$\alpha^2 - 14 \alpha + 1 = 0$
$\alpha = 7 \pm \sqrt{48}$
A ciascuno dei due possibili valori di $\alpha$ corrisponde una successione che soddisfa la relazione di ricorrenza.
Una loro combinazione lineare soddisfa ancora la relazione di ricorrenza. Cerco una combinazione lineare tale che i primi due termini coincidano con quelli della successione, quindi automaticamente coincideranno tutti gli altri termini. Il risultato ottenuto è:
$k_n = \frac{ (7 + \sqrt{48})^n - (7 - \sqrt{48})^n }{ 2 \sqrt{48} }$
Adesso posso provare che $48k_n^2 + 1$ è sempre un quadrato perfetto:
$48k_n^2 + 1 = 48 \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{2n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{2n} -2 }{4*48} + 1+$
$= \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{2n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{2n} +2 }{4}$
[tex]= \left ( \frac{ ( 7 + \sqrt{48} )^{n} + ( 7 - \sqrt{48} )^{n}}{2} \right )^2[/tex]
Resta da provare che il numero entro parentesi tonde è intero. Lo si può fare sviluppando secondo il binomio di Newton, oppure osservando che per $n=0$ ed $n=1$ si ottengono degli interi, e i numeri successivi si possono ottenere secondo la solita relazione di ricorrenza.
Ti ringrazio davvero tanto per il tempo che mi hai dedicato. Data la complessità della soluzione e considerando che questo quesito compariva in un banale test di logica, mi viene da pensare che a una delle soluzioni ci si debba arrivare "a tentativi", anche perché i numeri sono davvero molto piccoli
Non c'è da ringraziare, sto trovando l'esercizio davvero interessante (ancora non ne sono venuto a capo, nonostante la lunghezza dei post).
Comunque se la richiesta è trovare una soluzione si può fare a occhio, come è stato fatto.
Ma trovare tutte le soluzioni non mi pare per niente banale.
Comunque se la richiesta è trovare una soluzione si può fare a occhio, come è stato fatto.
Ma trovare tutte le soluzioni non mi pare per niente banale.
$48k^2+1=h^2 \Rightarrow h^2-48k^2=1$ si tratta dell' equazione di Pell le cui soluzioni primitive si trovano studiando la frazione continua che è sviluppo di $\sqrt(48)$.
In
http://math.stackexchange.com/questions/120254/sum-of-three-consecutive-cubes
c'e' una discussione rilevante ed interessante.
Ma una soluzione completa non si trova neanche qua. Solo la strada: usare metodi
ormai standard per determinare i punti interi su una certa curva ellittica
http://math.stackexchange.com/questions/120254/sum-of-three-consecutive-cubes
c'e' una discussione rilevante ed interessante.
Ma una soluzione completa non si trova neanche qua. Solo la strada: usare metodi
ormai standard per determinare i punti interi su una certa curva ellittica
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