Caraterizzazione spazi Lp
ciao ragazzi
recentemente in classe si è discusso di questo teorema:
Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$
dove p e q sono coniugati.
Allora $f \in L^p$.
questo risultato si può dimostrare sfruttando la struttura a spazio di Banach degli $L^p$ e i seguenti fatti:
a) ogni funzionale lineare continuo sugli $L^p$ è della forma $ f \to int_{\Omega} fg d\mu$ con $g \in L^q$
b) il teorema di Banach-Steinhaus ( o uniforme limitatezza).
però il nostro prof sostiene che esista una dimostrazione "diretta", che non faccia uso di questi teoremoni.
Io non ci sono minimamente riuscito e temo di non avere avuto delle idee brillanti, per cui ho pensato di postarlo qui nel caso a qualcuno interessasse e volesse contribuire! magari mettendo più teste insieme possiamo arrivarci
recentemente in classe si è discusso di questo teorema:
Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$
dove p e q sono coniugati.
Allora $f \in L^p$.
questo risultato si può dimostrare sfruttando la struttura a spazio di Banach degli $L^p$ e i seguenti fatti:
a) ogni funzionale lineare continuo sugli $L^p$ è della forma $ f \to int_{\Omega} fg d\mu$ con $g \in L^q$
b) il teorema di Banach-Steinhaus ( o uniforme limitatezza).
però il nostro prof sostiene che esista una dimostrazione "diretta", che non faccia uso di questi teoremoni.
Io non ci sono minimamente riuscito e temo di non avere avuto delle idee brillanti, per cui ho pensato di postarlo qui nel caso a qualcuno interessasse e volesse contribuire! magari mettendo più teste insieme possiamo arrivarci
Risposte
Qualcosa di vagamente simile abbiamo visto qui:
https://www.matematicamente.it/forum/dal ... 66134.html
ma non so quanto quella discussione possa tornare utile. Magari inizia a ricordarci come dimostrare questo risultato con tecniche di analisi funzionale, se ti va.
https://www.matematicamente.it/forum/dal ... 66134.html
ma non so quanto quella discussione possa tornare utile. Magari inizia a ricordarci come dimostrare questo risultato con tecniche di analisi funzionale, se ti va.
MI sembra che convenga partire dal caso $f \geq 0$ e cercare di provare, con argomenti di monotonia, che esiste una costante $M$ per cui
$\int_\Omega fg\leq M\|g\|_q$
$\int_\Omega fg\leq M\|g\|_q$
Ciò che ho pensato mi sembra assai contorto e forse errato ma ve lo propongo lo stesso.
Supponiamo che $f\geq0$ (poi si vedrà...) e cosideriamo il funzionale lineare $F:L^q(\Omega)\to L^q(\Omega)$ definito da $f(g):=\int_\Omega f(x)g(x) dx$ che
sappiamo essere finito per ogni $g$ in $L^q$. Mi propongo di dimostrare che $F$ è continuo - per questo, come ben noto, basta provare che è continuo in zero.
Prendiamo una successione $(g_n)_n$ tale che $g_n\to0$ in $L^q$.
Possiamo trovare una successione di indici $(n_k)$ tale che $||g_{n_k}||_q^q\leq\frac{1}{2^k}$.
Per ogni $h$ intero poniamo $w_h(x):=(\sum_{k\geq h}|g_{n_k}(x)|^q)^{1/q}$. Se non sbaglio si ha:
$0\leq|g_{n_h}|\leq w_h\leq w_{h-1}$ e $||w_k||_q^q\leq\sum_{k\geq h}\frac{1}{2^k}$ da cui $(w_h)_h$ tende a zero in $L^q$ e quasi ovunque se si passa a una
(ulteriore) sottosuccesione. D'altra parte, per la decrescenza esiste $w(x)=\lim_{h\to+\infty}w_h(x)="inf"{w_h(x):h\in NN}$ da cui $w(x)=0$ per quasi ogni $x$.
Ora si ha
$"max" \lim_{h\to\infty}F(g_{n_h})\leq "max" \lim_{h\to\infty}F(|g_{n_h}|)\leq "max" \lim_{h\to\infty}F(w_h)\leq F(w)=0$
dove le prime due disuguaglianze sono una questione di monotonia dell'integrale, mentre l'ultima segue dal lemma di Fatou, che si può applicare in quanto per ogni $h$ si ha $fw_h\leq fw_1$ e $fw_1\in L^1(\Omega)$ (per ipotesi - dato che $w_1\in L^q(\Omega)$).
Mi pare che in maniera simmetrica (usando $(-w_h)_h$ si dimostri la disuguaglianza opposta con il minimo limite.
Dunque abbiamo trovato che $\lim_{h\to\infty}F(g_{n_h})=0$.
Ma (questo è un ragionamento standard) dato che la $(g_n)_n$ di partenza è arbitraria si è di fatto dimostrato che $\lim_{g\to 0}F(g)=0$.
Come ben noto la continuità in zero di un'applicazione lineare implicano la limitatezza, cioè l'esistenza di una costante $M$ per cui $|F(g)|\leq M||g||_q$.
A questo punto si conclude con un argomento di approssimazione: dato $m$ definiamo $E_m:={x:f(x)\leq m}$ e $g_m:=|f|^{p-2}f1_{E_m}$ di modo che
$0\leq fg_m=|f|^p1_{E_m}$. E' facile vedere che $g_m$ è in $L^q$ essendo limitata (e avendo $\Omega$ misura finita) e che $||g_m||_q=(\int_{E_m}f^p)^{1/q}$, di modo che
$\int_{E_m}f^p=F(fg_m)\leq M||g_m||_q=M(\int_{E_m}f^p)^{1/q}$ da cui dividendo per l'integrale a destra
$(\int_{E_m}f^p)^{1/p}\leq M$ e passando al limite per $m\to \infty$ si trova $||f||_p\leq M$.
Boh,io lo mando ... vedete un po' se ci sono errori.
Supponiamo che $f\geq0$ (poi si vedrà...) e cosideriamo il funzionale lineare $F:L^q(\Omega)\to L^q(\Omega)$ definito da $f(g):=\int_\Omega f(x)g(x) dx$ che
sappiamo essere finito per ogni $g$ in $L^q$. Mi propongo di dimostrare che $F$ è continuo - per questo, come ben noto, basta provare che è continuo in zero.
Prendiamo una successione $(g_n)_n$ tale che $g_n\to0$ in $L^q$.
Possiamo trovare una successione di indici $(n_k)$ tale che $||g_{n_k}||_q^q\leq\frac{1}{2^k}$.
Per ogni $h$ intero poniamo $w_h(x):=(\sum_{k\geq h}|g_{n_k}(x)|^q)^{1/q}$. Se non sbaglio si ha:
$0\leq|g_{n_h}|\leq w_h\leq w_{h-1}$ e $||w_k||_q^q\leq\sum_{k\geq h}\frac{1}{2^k}$ da cui $(w_h)_h$ tende a zero in $L^q$ e quasi ovunque se si passa a una
(ulteriore) sottosuccesione. D'altra parte, per la decrescenza esiste $w(x)=\lim_{h\to+\infty}w_h(x)="inf"{w_h(x):h\in NN}$ da cui $w(x)=0$ per quasi ogni $x$.
Ora si ha
$"max" \lim_{h\to\infty}F(g_{n_h})\leq "max" \lim_{h\to\infty}F(|g_{n_h}|)\leq "max" \lim_{h\to\infty}F(w_h)\leq F(w)=0$
dove le prime due disuguaglianze sono una questione di monotonia dell'integrale, mentre l'ultima segue dal lemma di Fatou, che si può applicare in quanto per ogni $h$ si ha $fw_h\leq fw_1$ e $fw_1\in L^1(\Omega)$ (per ipotesi - dato che $w_1\in L^q(\Omega)$).
Mi pare che in maniera simmetrica (usando $(-w_h)_h$ si dimostri la disuguaglianza opposta con il minimo limite.
Dunque abbiamo trovato che $\lim_{h\to\infty}F(g_{n_h})=0$.
Ma (questo è un ragionamento standard) dato che la $(g_n)_n$ di partenza è arbitraria si è di fatto dimostrato che $\lim_{g\to 0}F(g)=0$.
Come ben noto la continuità in zero di un'applicazione lineare implicano la limitatezza, cioè l'esistenza di una costante $M$ per cui $|F(g)|\leq M||g||_q$.
A questo punto si conclude con un argomento di approssimazione: dato $m$ definiamo $E_m:={x:f(x)\leq m}$ e $g_m:=|f|^{p-2}f1_{E_m}$ di modo che
$0\leq fg_m=|f|^p1_{E_m}$. E' facile vedere che $g_m$ è in $L^q$ essendo limitata (e avendo $\Omega$ misura finita) e che $||g_m||_q=(\int_{E_m}f^p)^{1/q}$, di modo che
$\int_{E_m}f^p=F(fg_m)\leq M||g_m||_q=M(\int_{E_m}f^p)^{1/q}$ da cui dividendo per l'integrale a destra
$(\int_{E_m}f^p)^{1/p}\leq M$ e passando al limite per $m\to \infty$ si trova $||f||_p\leq M$.
Boh,io lo mando ... vedete un po' se ci sono errori.
wow ragazzi siete fortissimi!
@ViciousGoblin: la tua dimostrazione mi convince, però aspetteri il parere di qualcuno di più autorevole per confermare definitivamente. ho una domanda: c'è differenza tra $max lim$ e $lim "sup"$?
comunque hai avuto un'ottima idea nel dimostrare che vale quella maggiorazione: in effetti nell'esercizio prima (taggato come MOLTO PIU FACILE) chiedeva di dimostrare l'appartenenza ad $L^p$ essendo nota la maggiorazione. Quindi penso che tu fossi sulla buona strada, e mi è sembrato che la tua dimostrazione potesse starci.
per quanto riguarda l'argomentazione di analisi funzionale, ne presento una bozza (l'ho fatta io per cui potrebbe rivelarsi errata!):
$f$ è misurabile e fissata. quindi mi metto in $L^q$ e considero il funzionale lineare $ g \to \int_{\Omega} fg $
per ipotesi si ha che $\forall g \in L^q, \int_{\Omega} fg <= ||fg||_{L^1} = M_g$
ovvero il nostro funzionale è limitato da una costante $M_g$ che a priori dipende da $g$ in maniera non prevedibile.
però allora dal teorema di Banach-Steinhaus (uniforme limitatezza) sappiamo che $\exists M: \int_{\Omega} fg <= M||g||_{L^q}$
da ciò deduciamo che il funzionale in questione è limitato (continuo).
A questo punto, siccome sappiamo che TUTTI e SOLI i funzionali su $L^q$ sono della forma $g \to \int_{\Omega} hg$ con $h \in L^p$
si ha che la f misurabile del problema deve essere uguale q.o. ad una funzione $h \in L^p$, da cui la tesi.
grazie davvero per le risposte, sarei mega felice se qualcuno mi confermasse questa prova che ho fatto
@ViciousGoblin: la tua dimostrazione mi convince, però aspetteri il parere di qualcuno di più autorevole per confermare definitivamente. ho una domanda: c'è differenza tra $max lim$ e $lim "sup"$?
comunque hai avuto un'ottima idea nel dimostrare che vale quella maggiorazione: in effetti nell'esercizio prima (taggato come MOLTO PIU FACILE) chiedeva di dimostrare l'appartenenza ad $L^p$ essendo nota la maggiorazione. Quindi penso che tu fossi sulla buona strada, e mi è sembrato che la tua dimostrazione potesse starci.
per quanto riguarda l'argomentazione di analisi funzionale, ne presento una bozza (l'ho fatta io per cui potrebbe rivelarsi errata!):
$f$ è misurabile e fissata. quindi mi metto in $L^q$ e considero il funzionale lineare $ g \to \int_{\Omega} fg $
per ipotesi si ha che $\forall g \in L^q, \int_{\Omega} fg <= ||fg||_{L^1} = M_g$
ovvero il nostro funzionale è limitato da una costante $M_g$ che a priori dipende da $g$ in maniera non prevedibile.
però allora dal teorema di Banach-Steinhaus (uniforme limitatezza) sappiamo che $\exists M: \int_{\Omega} fg <= M||g||_{L^q}$
da ciò deduciamo che il funzionale in questione è limitato (continuo).
A questo punto, siccome sappiamo che TUTTI e SOLI i funzionali su $L^q$ sono della forma $g \to \int_{\Omega} hg$ con $h \in L^p$
si ha che la f misurabile del problema deve essere uguale q.o. ad una funzione $h \in L^p$, da cui la tesi.
grazie davvero per le risposte, sarei mega felice se qualcuno mi confermasse questa prova che ho fatto
Il $"maxlim"$ è un artificio che ho usato perchè sembra non ci sia la macro "\limsup" in mathml 
(o almeno a me non lo visualizzava correttamente).
Credo che la tua dim. sia corretta. Ti faccio notare che non ti serve tutta la caratterizzazione del duale di $L^q$ ma solo una parte: ammesso che \(g\mapsto\int_{\Omega}fg\) sia continuo., allora $f\in L^p$
(hai già la \(f\), al contrario del caso generale in cui devi usare Radon - Nicodym per trovarla). In effetti se guardi la seconda parte della mia dimostrazione vedi che faccio proprio quello (con un procedimento standard).
Riguardo alla prima parte - che è il punto chiave - aspetto anch'io qualcuno di autorevole (uno a caso ...dove sei dissonance
) che controlli la dimostrazione. La mia idea guida è stata, come accennavo, di sfruttare la monotonia. Rimarrebbe tra l'altro il caso generale di $f$ a segno variabile, che però mi sembra facilmente riconducibile a quello di $f$ (casomai . ne riparliamo).
(o almeno a me non lo visualizzava correttamente).Credo che la tua dim. sia corretta. Ti faccio notare che non ti serve tutta la caratterizzazione del duale di $L^q$ ma solo una parte: ammesso che \(g\mapsto\int_{\Omega}fg\) sia continuo., allora $f\in L^p$
(hai già la \(f\), al contrario del caso generale in cui devi usare Radon - Nicodym per trovarla). In effetti se guardi la seconda parte della mia dimostrazione vedi che faccio proprio quello (con un procedimento standard).
Riguardo alla prima parte - che è il punto chiave - aspetto anch'io qualcuno di autorevole (uno a caso ...dove sei dissonance
) che controlli la dimostrazione. La mia idea guida è stata, come accennavo, di sfruttare la monotonia. Rimarrebbe tra l'altro il caso generale di $f$ a segno variabile, che però mi sembra facilmente riconducibile a quello di $f$ (casomai . ne riparliamo).
è vero, non ci avevo pensato al fatto che non ho bisogno di tutto radon nykodym!
grazie mille intanto
grazie mille intanto
In primo luogo sentire ViciousGoblin che dà a me dell' "autorevole" è decisamente spiazzante... 
E infatti, non ho chiara la prima parte della dimostrazione, quella che mostra la continuità del funzionale $F$ mediante principio della limitatezza uniforme. Spiego.
Il principio della limitatezza uniforme asserisce che, data una famiglia di operatori limitati tra spazi di Banach, se la famiglia è puntualmente limitata allora è limitata in norma. Ma gli operatori devono a priori essere limitati, se non si sa se sono limitati non so come si possa applicare, né se sia vero.
Quindi, non capisco proprio questo passaggio:
@e^itheta: Mi dovresti dire, per favore, qual è la famiglia di operatori limitati a cui stai applicando il principio. Io non riesco proprio a vederla, purtroppo. O forse usi una differente formulazione del principio? Nonostante l'apprezzamento di VG io sono un pivellino di queste tecniche!
Invece la dimostrazione diretta mi convince e anzi mi piace molto: in sostanza, VG, ti sei ricondotto ad una forma lineare positiva con l'ipotesi $f ge 0$ e poi traffichi un po' con $g_{n_k}, w_h$ in modo da avere qualcosa che converge monotonamente a $0$. Quindi concludi con Fatou, io per la verità avrei faticato meno a tirare giù il libro dallo scaffale (
) se tu avessi applicato il teorema di Beppo Levi, motivato dal fatto che $w_h \downarrow 0$ e $fw_h \le fw_1 \in L^1$. Che poi, a vedere bene, è esattamente la stessa cosa.
Il resto della dimostrazione mi pare pacifico in tutti e due i casi, così come l'eliminazione dell'ipotesi tecnica $f ge 0$.
E infatti, non ho chiara la prima parte della dimostrazione, quella che mostra la continuità del funzionale $F$ mediante principio della limitatezza uniforme. Spiego.
Il principio della limitatezza uniforme asserisce che, data una famiglia di operatori limitati tra spazi di Banach, se la famiglia è puntualmente limitata allora è limitata in norma. Ma gli operatori devono a priori essere limitati, se non si sa se sono limitati non so come si possa applicare, né se sia vero.
Quindi, non capisco proprio questo passaggio:
in $L^q$ e considero il funzionale lineare $ g \to \int_{\Omega} fg $ [...]
il nostro funzionale è limitato da una costante $M_g$ che a priori dipende da $g$ in maniera non prevedibile[...]
però allora dal teorema di Banach-Steinhaus (uniforme limitatezza) sappiamo che $\exists M: \int_{\Omega} fg <= M||g||_{L^q}$
@e^itheta: Mi dovresti dire, per favore, qual è la famiglia di operatori limitati a cui stai applicando il principio. Io non riesco proprio a vederla, purtroppo. O forse usi una differente formulazione del principio? Nonostante l'apprezzamento di VG io sono un pivellino di queste tecniche!
Invece la dimostrazione diretta mi convince e anzi mi piace molto: in sostanza, VG, ti sei ricondotto ad una forma lineare positiva con l'ipotesi $f ge 0$ e poi traffichi un po' con $g_{n_k}, w_h$ in modo da avere qualcosa che converge monotonamente a $0$. Quindi concludi con Fatou, io per la verità avrei faticato meno a tirare giù il libro dallo scaffale (
) se tu avessi applicato il teorema di Beppo Levi, motivato dal fatto che $w_h \downarrow 0$ e $fw_h \le fw_1 \in L^1$. Che poi, a vedere bene, è esattamente la stessa cosa. Il resto della dimostrazione mi pare pacifico in tutti e due i casi, così come l'eliminazione dell'ipotesi tecnica $f ge 0$.
@dissonance Comunque ti meriti l'aturorevolezza guadagnata sul campo 
. Tra l'altro mi sono accorto ieri del thread di dicembre in cui hai annuciato la tua laurea - mi spiace non essermi unito allora alle congratulazioni: lo faccio ora con grande piacere 
(poi comunque risponderò al tuo messaggio privato).
Rigurardo alla dimostrazione di ei^teta mi pare che abbia ragione lui: cosa impedisce di usare una famiglia di funzionali costituita da un solo elemento? (devo dire che alla prima lettura aveva colpito anche me...). Quindi se non ci sfugge qualcosa un funzionale lineare definito su uno spazio di Banach che sia FINITO ini ogni punto è automaticamente continuo.
Poi hai ragione riguardo a Beppo Levi, e infatti così l'avevo pensato. Poi mi sono venuti dei dubbi strani sul fatto che fosse un'applicazione meno standard di Beppo Levi
(la monotonia va nell'altro verso, però il primo elemento della successione è integrabile ...) così ho trasformato tutto in termini di Fatou (avevo premesso che era contorto ...)
. Tra l'altro mi sono accorto ieri del thread di dicembre in cui hai annuciato la tua laurea - mi spiace non essermi unito allora alle congratulazioni: lo faccio ora con grande piacere (poi comunque risponderò al tuo messaggio privato).Rigurardo alla dimostrazione di ei^teta mi pare che abbia ragione lui: cosa impedisce di usare una famiglia di funzionali costituita da un solo elemento? (devo dire che alla prima lettura aveva colpito anche me...). Quindi se non ci sfugge qualcosa un funzionale lineare definito su uno spazio di Banach che sia FINITO ini ogni punto è automaticamente continuo.
Poi hai ragione riguardo a Beppo Levi, e infatti così l'avevo pensato. Poi mi sono venuti dei dubbi strani sul fatto che fosse un'applicazione meno standard di Beppo Levi
(la monotonia va nell'altro verso, però il primo elemento della successione è integrabile ...) così ho trasformato tutto in termini di Fatou (avevo premesso che era contorto ...)
Ma sai VG, è che io nell'ipotesi del principio della limitatezza uniforme leggo: "Sia data una famiglia di operatori lineari continui...". Anche a volere prendere una famiglia costituita da un solo operatore, ma se non è continuo cosa ce ne facciamo? Non sto facendo il sarcastico, eh, davvero non ci arrivo. Forse si potrebbe usare il teorema del grafico chiuso... Però non vorrei adesso introdurre un altro strumento ancora e creare confusione.
P.S.: grazie per le congratulazioni...
P.S.: grazie per le congratulazioni...
"dissonance":
Ma sai VG, è che io nell'ipotesi del principio della limitatezza uniforme leggo: "Sia data una famiglia di operatori lineari continui...". Anche a volere prendere una famiglia costituita da un solo operatore, ma se non è continuo cosa ce ne facciamo? Non sto facendo il sarcastico, eh, davvero non ci arrivo. Forse si potrebbe usare il teorema del grafico chiuso... Però non vorrei adesso introdurre un altro strumento ancora e creare confusione.
P.S.: grazie per le congratulazioni...
ECCO perchè mi suonava male! Infatti con quei macelli di basi di $RR$ sui razionali (di cui si era parlato tempo fa) si vede che esistono funzioni lineari da $RR$ in $RR$ che non sono continue. Il fatto è che con l'analisi funzionale, dopo un po' che non la usi, cominci a perderci la mano. A questo punto sono curioso di capire come si sarebbe dovuto fare con Banach Steinhaus.
Per l'applicazione di Banach-Steinhaus penso si possa procedere così.
Indichiamo con $f_n$ la troncata a quota $n$ di $f$, definita salvo errori da $f_n = "min"(n, "max"(f, -n))$.
Sia $L_n : L^q\to \mathbb{R}$ il funzionale lineare continuo definito da $L_n(g) = \int f_n g$.
Dal momento che $|f_n g| \le |f g|$ per ogni $n$, per il teorema di convergenza dominata abbiamo che $L_n(g) \to L(g) = \int fg$ per ogni $g\in L^q$.
Inoltre $"sup"_n |L_n(g)| \le L(|g|) < \infty$ per ogni $g\in L^q$; possiamo dunque applicare il teorema di Banach-Steinhaus alla famiglia $(L_n)$ di funzionali lineari continui su $L^q$ per concludere che anche $L$ è un funzionale lineare continuo su $L^q$.
Non so se ho risposto alla vostra domanda, visto che non ho seguito molto il thread...
Indichiamo con $f_n$ la troncata a quota $n$ di $f$, definita salvo errori da $f_n = "min"(n, "max"(f, -n))$.
Sia $L_n : L^q\to \mathbb{R}$ il funzionale lineare continuo definito da $L_n(g) = \int f_n g$.
Dal momento che $|f_n g| \le |f g|$ per ogni $n$, per il teorema di convergenza dominata abbiamo che $L_n(g) \to L(g) = \int fg$ per ogni $g\in L^q$.
Inoltre $"sup"_n |L_n(g)| \le L(|g|) < \infty$ per ogni $g\in L^q$; possiamo dunque applicare il teorema di Banach-Steinhaus alla famiglia $(L_n)$ di funzionali lineari continui su $L^q$ per concludere che anche $L$ è un funzionale lineare continuo su $L^q$.
Non so se ho risposto alla vostra domanda, visto che non ho seguito molto il thread...
Mmm. Penso che si potesse fare così (lo metto in spoiler per dare la possibilità a e^iteta di provarci ache lui).
OOPS Rigel ha avuto la mia stessa idea
OOPS Rigel ha avuto la mia stessa idea
@VG: La tua soluzione mi piace assai.
Ho una domanda abbastanza niubba, però...
Non si potrebbe evitare di passare "a una (ulteriore) sottosuccessione"?
Voglio dire, [tex]$w_h$[/tex] è monotona decrescente, quindi ha limite q.o.; detto [tex]$w$[/tex] tale limite, si ha necessariamente [tex]$w=0$[/tex] (perchè [tex]$w$[/tex] è il limite q.o. di ogni sottosuccessione estratta da [tex]$(w_h)$[/tex]).
Sbaglio?
Inoltre non riesco a capire come fare a trovare [tex]$0\leq \liminf_n F(g_n)$[/tex] usando [tex]$F(-w_h)$[/tex]... Ma probabilmente mi sto solo incasinando con i versi delle disuguaglianze, data l'ora.
Ho una domanda abbastanza niubba, però...
"ViciousGoblin":
Per ogni $h$ intero poniamo $w_h(x):=(\sum_{k\geq h}|g_{n_k}(x)|^q)^{1/q}$. Se non sbaglio si ha:
$0\leq|g_{n_h}|\leq w_h\leq w_{h-1}$ e $||w_k||_q^q\leq\sum_{k\geq h}\frac{1}{2^k}$ da cui $(w_h)_h$ tende a zero in $L^q$ e quasi ovunque se si passa a una (ulteriore) sottosuccesione.
Non si potrebbe evitare di passare "a una (ulteriore) sottosuccessione"?
Voglio dire, [tex]$w_h$[/tex] è monotona decrescente, quindi ha limite q.o.; detto [tex]$w$[/tex] tale limite, si ha necessariamente [tex]$w=0$[/tex] (perchè [tex]$w$[/tex] è il limite q.o. di ogni sottosuccessione estratta da [tex]$(w_h)$[/tex]).
Sbaglio?
Inoltre non riesco a capire come fare a trovare [tex]$0\leq \liminf_n F(g_n)$[/tex] usando [tex]$F(-w_h)$[/tex]... Ma probabilmente mi sto solo incasinando con i versi delle disuguaglianze, data l'ora.
"gugo82":
@VG: La tua soluzione mi piace assai.
Ho una domanda abbastanza niubba, però...
[quote="ViciousGoblin"]Per ogni $h$ intero poniamo $w_h(x):=(\sum_{k\geq h}|g_{n_k}(x)|^q)^{1/q}$. Se non sbaglio si ha:
$0\leq|g_{n_h}|\leq w_h\leq w_{h-1}$ e $||w_k||_q^q\leq\sum_{k\geq h}\frac{1}{2^k}$ da cui $(w_h)_h$ tende a zero in $L^q$ e quasi ovunque se si passa a una (ulteriore) sottosuccesione.
Non si potrebbe evitare di passare "a una (ulteriore) sottosuccessione"?
Voglio dire, [tex]$w_h$[/tex] è monotona decrescente, quindi ha limite q.o.; detto [tex]$w$[/tex] tale limite, si ha necessariamente [tex]$w=0$[/tex] (perchè [tex]$w$[/tex] è il limite q.o. di ogni sottosuccessione estratta da [tex]$(w_h)$[/tex]).
Sbaglio?
Inoltre non riesco a capire come fare a trovare [tex]$0\leq \liminf_n F(g_n)$[/tex] usando [tex]$F(-w_h)$[/tex]... Ma probabilmente mi sto solo incasinando con i versi delle disuguaglianze, data l'ora.[/quote]
Boh, mi pare che se vuoi dimostrare che da:
(a) $w_n\leq w_{n-1}$
(b) $w_n\to 0$ il $L^1$
segue $w_n\to 0$ q.o. devi - a rigore - passare per una sottosuccessione dato che da (b) sai solo che una sottosuccessione di $(w_n)$ tende puntualemte q.o a $0$.
Però forse tu hai un ragionamento più diretto - comunque è una minuzia.
Riguardo l'altra parte fidati
(non vedo perché dovrebbe andare in maniera diversa )
ciao ragazzi,
scusate ma non avevo internet durante il weekend.
Ho capito l'errore nella dimostrazione che usava l'uniforme limitatezza, mi spiace che la mia non fosse giusta, d'altronde parafrasando ciò che mi disse Fioravante Patrone una volta: "non si possono leggere le ipotesi di un teorema come se si leggesse Topolino"!
comunque grazie mille per le risposte, ho imparato un sacco di cose nuove!
scusate ma non avevo internet durante il weekend.
Ho capito l'errore nella dimostrazione che usava l'uniforme limitatezza, mi spiace che la mia non fosse giusta, d'altronde parafrasando ciò che mi disse Fioravante Patrone una volta: "non si possono leggere le ipotesi di un teorema come se si leggesse Topolino"!
comunque grazie mille per le risposte, ho imparato un sacco di cose nuove!
"gugo82":Pure a me. Questa idea di tirare fuori una successione monotona $w_h$ da una successione qualsiasi $g_n$ me la sono appuntata mentalmente, è una tecnica che mi sembra utile tenere nella cassetta degli attrezzi.
@VG: La tua soluzione mi piace assai.
Comunque, a parte questo. Ma serve davvero l'ipotesi che $Omega$ abbia misura finita? Direi di no, mi sbaglio?
"dissonance":
Comunque, a parte questo. Ma serve davvero l'ipotesi che $Omega$ abbia misura finita? Direi di no, mi sbaglio?
Dico la mia.
La condizione [tex]$|\Omega|<+\infty$[/tex] serve quando consideri le funzioni [tex]$g_m:=|f|^{p-2} f\ \chi_{E_m}$[/tex] a garantire che esse siano in [tex]$L^q$[/tex]: infatti:
[tex]$\int_\Omega g_m^q =\int_{E_m} |f|^{(p-1)q} \leq m^p |E_m|$[/tex]
e perciò ti serve che [tex]$|E_m|<+\infty$[/tex]; ciò viene garantito dal fatto che [tex]$|\Omega|<+\infty$[/tex].
Per eliminarla servirebbe qualche ipotesi in più che garantisca la misura finita di ogni sottolivello [tex]$E_m$[/tex]...
Ma questa mi pare una richiesta insensata in un insieme non limitato: infatti se prendi [tex]$\Omega =\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$f(x)$[/tex] una funzione [tex]$L^p$[/tex] fatta a triangolini che se ne vanno a [tex]$\infty$[/tex] con altezze che vanno a [tex]$+\infty$[/tex], vedi che gli insiemi [tex]$E_m$[/tex] hanno tutti misura infinita.
Sbaglio?
Ma probabilmente a quel punto si può fare in qualche altro modo... Non sò.
La condizione è stata usata in tutte due le dimostrazioni. Però forse non serve, come dice dissonance.
Infatti prendiamo una successione di insiemi di misura finita $\Omega_n$ che invade $RR^N$. Per il risultato precedente si ha che
$f1_{\Omega_n}\inL^p$. Ma allora, se $F_n(g)=\int_{\Omega_n}fg$ . ogni $F_n$ è lineare e continuo su $L^q(RR^N)$ e per $g$ fissata
$F_n(g)\leq \int_{\Omega_n}f|g|\leq\int_{RR^N} f|g|$ (sto sempre pensando a $f\geq0$).
Usando ancora Banach-Steinhaus ...
Notate tra l'altro che anche nelle dimostrazioni con l'uniforme limitatezza conta una monotonia dei funzionali (dove si trova la maggiorazione puntuale indipendente da $n$)
EDIT Stavolta mi è venuta pe prima la dimostrazione con Banach-Steinhais. Però mi pare che se si ragiona come nella dim. diretta e si prova che $|\int fg|\leq M||g||_q$ per ogni $g$ in $L^q$, ( e fino a lì la misura finita non ha contato) allora il fatto che $f\in L^p$ è vero anche se la misura non è finita. Per vederlo si può passare per il fatto che $||f\_{\Omega_n}||_p\leq M$ ($\Omega_n$ come nella prima parte)
Infatti prendiamo una successione di insiemi di misura finita $\Omega_n$ che invade $RR^N$. Per il risultato precedente si ha che
$f1_{\Omega_n}\inL^p$. Ma allora, se $F_n(g)=\int_{\Omega_n}fg$ . ogni $F_n$ è lineare e continuo su $L^q(RR^N)$ e per $g$ fissata
$F_n(g)\leq \int_{\Omega_n}f|g|\leq\int_{RR^N} f|g|$ (sto sempre pensando a $f\geq0$).
Usando ancora Banach-Steinhaus ...
Notate tra l'altro che anche nelle dimostrazioni con l'uniforme limitatezza conta una monotonia dei funzionali (dove si trova la maggiorazione puntuale indipendente da $n$)
EDIT Stavolta mi è venuta pe prima la dimostrazione con Banach-Steinhais. Però mi pare che se si ragiona come nella dim. diretta e si prova che $|\int fg|\leq M||g||_q$ per ogni $g$ in $L^q$, ( e fino a lì la misura finita non ha contato) allora il fatto che $f\in L^p$ è vero anche se la misura non è finita. Per vederlo si può passare per il fatto che $||f\_{\Omega_n}||_p\leq M$ ($\Omega_n$ come nella prima parte)
Con questa discussione sto rivalutando il teorema di Banach-Steinhaus...
Non mi era mai capitato di vederlo usare in maniera così massiccia, perciò non ne avevo mai realizzato la potenza.
Grazie a VG e Rigel: come al solito c'è molto da imparare da voi.
Non mi era mai capitato di vederlo usare in maniera così massiccia, perciò non ne avevo mai realizzato la potenza.
Grazie a VG e Rigel: come al solito c'è molto da imparare da voi.
ciao
un piccolo spin off per vedere se ho ben capito una cosa: vorrei dimostrare il procedimento standard usato da VG qui di seguito
in pratica quindi voglio mostrare che:
Sia $X$ uno spazio di Banach e sia $F: X \to RR$ un funzionale lineare,
se per ogni successione $g_n \sub X$ tale che $g_n \to 0$ (nella norma Banach) esiste una sottosuccessione $g_{n_k}$ tale che $F(g_{n_k}) \to 0$
Allora $F(g_n) \to 0$ ovvero $F$ è continuo.
dimostrazione:
per assurdo chiamo $\alpha$ il limite non nullo di $F(g_n)$, considero il caso $\alpha > 0$ e posso dire che:
poiché $lim F(g_n) = \alpha$ esiste, si ha che $lim "inf " F(g_n) = \alpha$. Ma per ipotesi esiste una sottosuccessione tale che $F(g_{n_k}) \to 0$, quindi $lim "inf " F(g_n) <= 0$, che contraddice $\alpha > 0$.
Ci sta? si può dire che siccome esiste il limite allora coincide col $lim "inf"$?
Inoltre, nella dimostrazione uso l'ordinamento di $RR$, per cui sembra che la proposizione debba valere solo per i funzionali e non per gli operatori in generale. è vera questa cosa, o è solo a causa di come l'ho voluta dimostrare?
grazie come sempre
un piccolo spin off per vedere se ho ben capito una cosa: vorrei dimostrare il procedimento standard usato da VG qui di seguito
"ViciousGoblin":
Dunque abbiamo trovato che $\lim_{h\to\infty}F(g_{n_h})=0$.
Ma (questo è un ragionamento standard) dato che la $(g_n)_n$ di partenza è arbitraria si è di fatto dimostrato che $\lim_{g\to 0}F(g)=0$.
in pratica quindi voglio mostrare che:
Sia $X$ uno spazio di Banach e sia $F: X \to RR$ un funzionale lineare,
se per ogni successione $g_n \sub X$ tale che $g_n \to 0$ (nella norma Banach) esiste una sottosuccessione $g_{n_k}$ tale che $F(g_{n_k}) \to 0$
Allora $F(g_n) \to 0$ ovvero $F$ è continuo.
dimostrazione:
per assurdo chiamo $\alpha$ il limite non nullo di $F(g_n)$, considero il caso $\alpha > 0$ e posso dire che:
poiché $lim F(g_n) = \alpha$ esiste, si ha che $lim "inf " F(g_n) = \alpha$. Ma per ipotesi esiste una sottosuccessione tale che $F(g_{n_k}) \to 0$, quindi $lim "inf " F(g_n) <= 0$, che contraddice $\alpha > 0$.
Ci sta? si può dire che siccome esiste il limite allora coincide col $lim "inf"$?
Inoltre, nella dimostrazione uso l'ordinamento di $RR$, per cui sembra che la proposizione debba valere solo per i funzionali e non per gli operatori in generale. è vera questa cosa, o è solo a causa di come l'ho voluta dimostrare?
grazie come sempre
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo