Caraterizzazione spazi Lp
ciao ragazzi
recentemente in classe si è discusso di questo teorema:
Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$
dove p e q sono coniugati.
Allora $f \in L^p$.
questo risultato si può dimostrare sfruttando la struttura a spazio di Banach degli $L^p$ e i seguenti fatti:
a) ogni funzionale lineare continuo sugli $L^p$ è della forma $ f \to int_{\Omega} fg d\mu$ con $g \in L^q$
b) il teorema di Banach-Steinhaus ( o uniforme limitatezza).
però il nostro prof sostiene che esista una dimostrazione "diretta", che non faccia uso di questi teoremoni.
Io non ci sono minimamente riuscito e temo di non avere avuto delle idee brillanti, per cui ho pensato di postarlo qui nel caso a qualcuno interessasse e volesse contribuire! magari mettendo più teste insieme possiamo arrivarci
recentemente in classe si è discusso di questo teorema:
Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$
dove p e q sono coniugati.
Allora $f \in L^p$.
questo risultato si può dimostrare sfruttando la struttura a spazio di Banach degli $L^p$ e i seguenti fatti:
a) ogni funzionale lineare continuo sugli $L^p$ è della forma $ f \to int_{\Omega} fg d\mu$ con $g \in L^q$
b) il teorema di Banach-Steinhaus ( o uniforme limitatezza).
però il nostro prof sostiene che esista una dimostrazione "diretta", che non faccia uso di questi teoremoni.
Io non ci sono minimamente riuscito e temo di non avere avuto delle idee brillanti, per cui ho pensato di postarlo qui nel caso a qualcuno interessasse e volesse contribuire! magari mettendo più teste insieme possiamo arrivarci
Risposte
@e^iteta
L'idea è giusta ma come l'hai messa la dimostrazione non funziona. Va bene ragionare per assurdo ma dalla negazione che $F(g_n)$ tenda a zero non trovi che $F(g_n)$ tende a un $\alpha$ diverso da zero (il limite potrebbe benissimo non esistere). Se ti metti con attenzione a negare che $F(g_n)\to0$ ricavi invece che esistono una successione $(g_{n_k})$ e un $\rho>0$ tale che
$|F(g_{n_k)}|>\rho$ per ogni $k$ ( e qui potresti mettere la norma se $F$ fosse a valori in uno spazio di dimensione maggiore di uno).
Ma per ciò che sai esiste una sotto-sottosuccessione $(g_{n_{k_h}})$ su cui $F$ tende a zero e questo ti dà l'assurdo.
Come vedi non c'entra la dimensione in arrivo e non c'entra neppure la linearità (potresti fare tutt in spazi metrici).
P.S. Credevo di avere già spedito questo messaggio ma non l'ho più ritrovato -probabilmente ho scordato di premere "Invia"
L'idea è giusta ma come l'hai messa la dimostrazione non funziona. Va bene ragionare per assurdo ma dalla negazione che $F(g_n)$ tenda a zero non trovi che $F(g_n)$ tende a un $\alpha$ diverso da zero (il limite potrebbe benissimo non esistere). Se ti metti con attenzione a negare che $F(g_n)\to0$ ricavi invece che esistono una successione $(g_{n_k})$ e un $\rho>0$ tale che
$|F(g_{n_k)}|>\rho$ per ogni $k$ ( e qui potresti mettere la norma se $F$ fosse a valori in uno spazio di dimensione maggiore di uno).
Ma per ciò che sai esiste una sotto-sottosuccessione $(g_{n_{k_h}})$ su cui $F$ tende a zero e questo ti dà l'assurdo.
Come vedi non c'entra la dimensione in arrivo e non c'entra neppure la linearità (potresti fare tutt in spazi metrici).
P.S. Credevo di avere già spedito questo messaggio ma non l'ho più ritrovato -probabilmente ho scordato di premere "Invia"
ciao ViciousGoblin!
grazie per la risposta, purtroppo per acquisire certi automatismi matematici c'è bisogno di esercizio e non è sempre facile trovare gente disponibile ad ascoltarti. per questo su questo forum si sta facendo un ottimo lavoro e mi sto trovando benissimo!
ovviamente la tua spiegazione è stata completamente esauriente e istruttiva
grazie e alla prossima!
grazie per la risposta, purtroppo per acquisire certi automatismi matematici c'è bisogno di esercizio e non è sempre facile trovare gente disponibile ad ascoltarti. per questo su questo forum si sta facendo un ottimo lavoro e mi sto trovando benissimo!
ovviamente la tua spiegazione è stata completamente esauriente e istruttiva
grazie e alla prossima!
"e^iteta":
Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$
dove p e q sono coniugati.
Allora $f \in L^p$.
Come si evince dalle dimostrazioni finora postate, il punto della questione è dimostrare che [tex]$F(g):=\int_\Omega fg\ \text{d}\mu$[/tex] è un funzionale limitato su [tex]$L^q(\Omega)$[/tex].
Per aggiungere un po' di carne al fuoco, ho pensato che si potesse fare pure a quest'altro modo...
ciao gugo
la tua dimostrazione mi attira un sacco, soprattutto per la sua semplicità e per l'utilizzo del teorema del grafico chiuso del quale non avevo mai visto un'applicazione!
mi permetto comunque di sottolineare che il teorema del grafico chiuso dipende (almeno nella dimostrazione di cui dispongo io) dal teorema della mappa aperta, che fa uso pesante dell'assioma della scelta e quindi la dimostrazione perde il suo carattere "elementare".. (ma non l'interesse che suscita, anzi devo dire che tra tutte la tua è quella che mi piace di più!)
ho come al solito una domandina: quando dici
è per il solito giochino dovuto all'arbitrarietà di $g_n$, ovvero per lo stesso procedimento che aveva usato VG poco fa??
grazie!
la tua dimostrazione mi attira un sacco, soprattutto per la sua semplicità e per l'utilizzo del teorema del grafico chiuso del quale non avevo mai visto un'applicazione!
mi permetto comunque di sottolineare che il teorema del grafico chiuso dipende (almeno nella dimostrazione di cui dispongo io) dal teorema della mappa aperta, che fa uso pesante dell'assioma della scelta e quindi la dimostrazione perde il suo carattere "elementare".. (ma non l'interesse che suscita, anzi devo dire che tra tutte la tua è quella che mi piace di più!)
ho come al solito una domandina: quando dici
"gugo82":
senza ledere la generalità, posso supporre $g_n\to g\text{ q.o.}$ e $\Phi(g_n)\to u\text{ q.o.}$ in $\Omega$ (se così non fosse basterebbe passare ad un'estratta)
è per il solito giochino dovuto all'arbitrarietà di $g_n$, ovvero per lo stesso procedimento che aveva usato VG poco fa??
grazie!
"e^iteta":
la tua dimostrazione mi attira un sacco, soprattutto per la sua semplicità e per l'utilizzo del teorema del grafico chiuso del quale non avevo mai visto un'applicazione!
Grazie.
"e^iteta":
mi permetto comunque di sottolineare che il teorema del grafico chiuso dipende (almeno nella dimostrazione di cui dispongo io) dal teorema della mappa aperta, che fa uso pesante dell'assioma della scelta e quindi la dimostrazione perde il suo carattere "elementare".. (ma non l'interesse che suscita, anzi devo dire che tra tutte la tua è quella che mi piace di più!)
La dimostrazione del teorema dell'applicazione aperta si basa fondamentalmente sul lemma di Baire, il quale è una proposizione più debole di AC.
Ma lo stesso vale per il teorema di Banach-Steinhaus, che sempre dal lemma di Baire discende se non ricordo male.
"e^iteta":
ho come al solito una domandina: quando dici
[quote="gugo82"]senza ledere la generalità, posso supporre $g_n\to g\text{ q.o.}$ e $\Phi(g_n)\to u\text{ q.o.}$ in $\Omega$ (se così non fosse basterebbe passare ad un'estratta)
è per il solito giochino dovuto all'arbitrarietà di $g_n$, ovvero per lo stesso procedimento che aveva usato VG poco fa??
grazie![/quote]
Sempre la stessa storia...
In fondo si sta applicando due volte quel lemmino che dice che da ogni successione di Cauchy in [tex]$L^p$[/tex] si può estrarre una successione convergente q.o. (che ti serve per dimostrare, ad esempio, la completezza di [tex]$L^p$[/tex]).
Infatti se [tex]$g_n\to g$[/tex] in [tex]$L^q$[/tex], allora posso estrarre [tex]$g_{n_k} \to g$[/tex] sia in [tex]$L^q$[/tex] sia q.o.; se considero [tex]$\Phi (g_{n_k})$[/tex] ho evidentemente [tex]$\Phi (g_{n_k})\to u$[/tex] in [tex]$L^1$[/tex], quindi da [tex]$g_{n_k}$[/tex] posso estrarre [tex]$g_{n_{k_h}}$[/tex] tale che [tex]$\Phi (g_{n_{k_h}}) \to u$[/tex] sia in [tex]$L^1$[/tex] sia q.o.; conseguentemente, a meno di passare ad una sotto-sottosuccessione (:-D), posso sempre pensare che [tex]$g_n\to g$[/tex] in [tex]$L^q$[/tex] e q.o. e che [tex]$\Phi (g_n)\to u$[/tex] in [tex]$L^1$[/tex] e q.o.
perfetto!!
questo topic è stato stra figo, ho visto tre diverse dimostrazioni per uno stesso teorema, tutte e tre mega interessanti e dalle quali ho imparato un casino di cose!!
grazie mille
questo topic è stato stra figo, ho visto tre diverse dimostrazioni per uno stesso teorema, tutte e tre mega interessanti e dalle quali ho imparato un casino di cose!!
grazie mille
Sulla stessa scia propongo un altro metodo per stabilire se una funzione misurabile è in [tex]$L^p$[/tex].
***
Esercizio:
Siano [tex]$(\Omega ,\mu)$[/tex] uno spazio di misura [tex]$\sigma$[/tex]-finito, [tex]$1\leq p\leq \infty$[/tex] ed [tex]$a:\Omega \to \mathbb{R}$[/tex] misurabile.
Risulta [tex]$a\in L^p(\Omega)$[/tex] se esiste un esponente [tex]$1\leq q\leq \infty$[/tex] tale che:
i) [tex]$q\leq p$[/tex];
ii) [tex]$\forall u\in L^r(\Omega),\quad au\in L^q(\Omega)$[/tex], con [tex]$r=\begin{cases} \infty &\text{, se $p=q$} \\ q &\text{, se $p=\infty$} \\ \frac{pq}{p-q} &\text{, se $q
***
Esercizio:
Siano [tex]$(\Omega ,\mu)$[/tex] uno spazio di misura [tex]$\sigma$[/tex]-finito, [tex]$1\leq p\leq \infty$[/tex] ed [tex]$a:\Omega \to \mathbb{R}$[/tex] misurabile.
Risulta [tex]$a\in L^p(\Omega)$[/tex] se esiste un esponente [tex]$1\leq q\leq \infty$[/tex] tale che:
i) [tex]$q\leq p$[/tex];
ii) [tex]$\forall u\in L^r(\Omega),\quad au\in L^q(\Omega)$[/tex], con [tex]$r=\begin{cases} \infty &\text{, se $p=q$} \\ q &\text{, se $p=\infty$} \\ \frac{pq}{p-q} &\text{, se $q
ciao!
dopo qualche tentativo (e un'altra bocciatura ad analisi reale e funzionle) faccio la mia proposta:
STEP I
dimostrare che il funzionale $A : L^r \mapsto L^q$ , $A: u \mapsto au$ è continuo.
per ora e nel seguito considererò solo il caso più generale $q < p < \infty$
seguendo la scia di gugo82 voglio usare grafico chiuso. siano $u_n \to u$ in $L^r$ e $au_n \to y$ in $L^q$. voglio mostrare che $au = y$.
estraggo delle sottosuccessioni:
$u_{n_k} \to u$ q.o.
$au_{n_j} \to y$ q.o.
ora scrivo:
$ y = lim_{L^q} au_n = lim_{\text{q.o.}} au_{n_j} = a lim_{\text{q.o.}} u_{n_j} = a lim_{\text{q.o.}} u_{n_k} = au$
dove la penultima uguaglianza deriva dall'unicità del limite.
il teorema del grafico chiuso mi assicura la limitatezza del funzionale $A$, ovvero $\int_{\Omega} |au|^q \text{d}\mu<= M \int_{\Omega} |u|^r \text{d}\mu$.
STEP II
derivare la limitatezza del funzionale $V$ su $L^{r/q}$ definito da $v \mapsto \int_{\Omega} |a|^qv \text{d}\mu$
qui vorrei fare una cosa di cui non sono sicurissimo:
in pratica io so che se $v \in L^{r/q}$ allora $v^{1/q} \in L^r$.
quindi vorrei dire che $\forall v \in L^{r/q} \exists u \in L^r \text{ tale che } |u|^q = |v|$. che ne dite, si può fare? e se si, qual è la ragione ultima per cui è vero?
comunque posto che sia vero, allora posso dire che
$\int_{\Omega} |a|^q|v| \text{d}\mu = \int_{\Omega} |a|^q|u|^q \text{d}\mu <= M\int_{\Omega} |u|^r \text{d}\mu = M\int_{\Omega} |v|^{r/q} \text{d}\mu $
da cui ottengo la limitatezza e quindi la continuità del funzionale $V$.
STEP III
concludere
per il teorema di rappresentazione di Riesz posso cercare una funzione nel duale di $L^{r/q}$ che mi "rappresenti" il funzionale. ma:
1) il duale di $L^{r/q}$ è $L^{p/q}$
2) tale funzione deve essere uguale q.o. ad $a^q$
da cui ne ricaviamo che $a^q \in L^{p/q}$ da cui $a \in L^p$
cvd
può andare? se si cercherò di mettere a posto i dettagli per i casi particolari $p = q$ e $p = \infty$
ho una domanda: io ho studiato Riesz solo per gli spazi di Hilbert. in che modo si generalizza? (ho visto che sul Rudin c'è qualcosa, ma sentirlo dire in italiano da qualcuno a cui posso fare domande mi servirebbe moltissimo).
grazie mille, buon weekend!
dopo qualche tentativo (e un'altra bocciatura ad analisi reale e funzionle) faccio la mia proposta:
STEP I
dimostrare che il funzionale $A : L^r \mapsto L^q$ , $A: u \mapsto au$ è continuo.
per ora e nel seguito considererò solo il caso più generale $q < p < \infty$
seguendo la scia di gugo82 voglio usare grafico chiuso. siano $u_n \to u$ in $L^r$ e $au_n \to y$ in $L^q$. voglio mostrare che $au = y$.
estraggo delle sottosuccessioni:
$u_{n_k} \to u$ q.o.
$au_{n_j} \to y$ q.o.
ora scrivo:
$ y = lim_{L^q} au_n = lim_{\text{q.o.}} au_{n_j} = a lim_{\text{q.o.}} u_{n_j} = a lim_{\text{q.o.}} u_{n_k} = au$
dove la penultima uguaglianza deriva dall'unicità del limite.
il teorema del grafico chiuso mi assicura la limitatezza del funzionale $A$, ovvero $\int_{\Omega} |au|^q \text{d}\mu<= M \int_{\Omega} |u|^r \text{d}\mu$.
STEP II
derivare la limitatezza del funzionale $V$ su $L^{r/q}$ definito da $v \mapsto \int_{\Omega} |a|^qv \text{d}\mu$
qui vorrei fare una cosa di cui non sono sicurissimo:
in pratica io so che se $v \in L^{r/q}$ allora $v^{1/q} \in L^r$.
quindi vorrei dire che $\forall v \in L^{r/q} \exists u \in L^r \text{ tale che } |u|^q = |v|$. che ne dite, si può fare? e se si, qual è la ragione ultima per cui è vero?
comunque posto che sia vero, allora posso dire che
$\int_{\Omega} |a|^q|v| \text{d}\mu = \int_{\Omega} |a|^q|u|^q \text{d}\mu <= M\int_{\Omega} |u|^r \text{d}\mu = M\int_{\Omega} |v|^{r/q} \text{d}\mu $
da cui ottengo la limitatezza e quindi la continuità del funzionale $V$.
STEP III
concludere
per il teorema di rappresentazione di Riesz posso cercare una funzione nel duale di $L^{r/q}$ che mi "rappresenti" il funzionale. ma:
1) il duale di $L^{r/q}$ è $L^{p/q}$
2) tale funzione deve essere uguale q.o. ad $a^q$
da cui ne ricaviamo che $a^q \in L^{p/q}$ da cui $a \in L^p$
cvd
può andare? se si cercherò di mettere a posto i dettagli per i casi particolari $p = q$ e $p = \infty$
ho una domanda: io ho studiato Riesz solo per gli spazi di Hilbert. in che modo si generalizza? (ho visto che sul Rudin c'è qualcosa, ma sentirlo dire in italiano da qualcuno a cui posso fare domande mi servirebbe moltissimo).
grazie mille, buon weekend!
Scusate se riesumo, vorrei fare una segnalazione.
EDIT 10/07/12
Un altro riferimento è Folland, Real Analysis, 2a edizione, Theorem 6.14.
"e^iteta":Cfr. Hardy-Littlewood-Polya Inequalities 1934, Theorem 190 pag. 141.
Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$
dove p e q sono coniugati.
Allora $f \in L^p$.
EDIT 10/07/12
Un altro riferimento è Folland, Real Analysis, 2a edizione, Theorem 6.14.
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