Ancora punti su un segmento

[pigkappa]

Ne posto un altro di cui questa volta ho la soluzione (e non richiede conti lunghissimi)

Si scelgano casualmente punti \( x_1, x_2, ..., x_n \) in [0,1] finche' non si trova un numero piu' grande dell'ultimo scelto (ovvero se \( x_n > x_{n-1} \), la sequenza termina). Si determini:
1)In media, quanti punti \( n \) si selezionano prima che la sequenza termini.
2)In media, quanto vale il numero piu' piccolo \( x_{n-1} \).

[orsoulx]

Questo mi pare decisamente più adatto ad un test.
Le risposte sono $ e $ e $3-e$. Metto in spoiler la traccia di un possibile procedimento, nel caso qualcuno voglia pensarci autonomamente.

Per arrivare all'(n+1)-esima estrazione gli n precedenti estratti devono essere comparsi in ordine decrescente, perciò la probabilità a(n+1) corrispondente è $ a(n+1)=1/{n!} $.
La probabilità p(n) di terminare all'n-esima estrazione è allora $ p(n)=a(n)-a(n+1)=(n-1)/{n!} $.
Moltiplicando per $ n $ si semplificano i due termini più elevati di ciascun fattoriale ed il valor medio coincide con $ e $.
Per il secondo punto, osservato che il più piccolo numero presente deve avere un valor medio tale da fornire per la probabilità di proseguire nell'estrazione $ 1/(n+1) $, si ottiene:
$ \sum_{n=1}^{\infty} (n-1)/{(n+1)!} = 3-e $

Ciao
B.
[ot]Per l'altro problema, più complicato, una semplificazione (solo per il calcolo) si poteva trovare utilizzando, al posto del triangolo rettangolo, un triangolo equilatero (il medesimo che si usa per selezionare i colori nella sintesi RGB). In questo modo l'uniformità delle situazione risulta più evidente e basta un solo integrale.[/ot]

[pigkappa]

La soluzione che ho visto io per la seconda parte e' piu' complicata e brutta, per cui non penso valga la pena riportarla, ma posso chiederti come si calcola la serie che hai postato alla fine?

Si riduce a \( \sum{_{n \geq 1}}{\frac{n}{(n+1)!}} = 1\)

[orsoulx]

Basta ricordare che derivando una potenza si ottiene un coefficiente pari all'esponente. Qui abbiamo dei numeratori uguali a $ n-2 $ quando a denominatore c'è $ n! $. Allora se parti dallo sviluppo in serie di $ e^x $, dividi i due membri per $ x^2 $ e derivi. Ponendo $ x=1 $ ottieni:
$ -e=-2-1+S $ dove S è la serie da calcolare.
Ciao
B